Toán ứng dụng trong kinh doanh MS07-R07aV

Toán ứng dụng trong kinh doanh

Chương 7:

LỢI ÍCH VÀ CHI PHÍ BIÊN

(Marginal Benefit and Cost)

1 Gia số, đường tiếp tuyến và tỷ lệ thay đổi:

(Increments, Tangent Lines and Rates of Change)

1.1 Gia số:

x

∆y

∆x

y = f(x) f(x 2 )

x 2

f(x 1 )

x 1

0

Cho hàm y = f(x)

∆x = x2 - x1

∆y = f(x2) - f(x1) = f(x1+∆x) - f(x1)

∆y là sự thay đổi của y khi biến x thay đổi một lượng ∆x

Ví dụ: Cho hàm y= x2

2 a/ Tìm ∆x, ∆y và ∆

∆

y

x đối với x1 = 1 và x2 = 2

b/ Tìm f x( x) f x

x

∆

( ) với x1 = 1 và ∆x = 2

Giải:

a/ ∆x = x2 - x1 = 2 - 1 = 1

∆y = f(x2) - f(x1) = f(2) - f(1) = 2

2

1 2

3 2

∆

∆

y

x = 32 =

1

3 2

x

2

9

2 12

∆

∆

1.2 Độ dốc và đường tiếp tuyến:

10 20

x

y

tiếp tuyến

cát tuyến

∆y

∆x

P2

P1

a Độ dốc đường cát tuyến: (Secant line) P 1 (x 1 ,y 1 ) và P 2 (x 2 ,y 2 )

m y y

x x

f x x f x

x

y x

=

∆

∆

∆ ( )

b Độ dốc đường tiếp tuyến: (Tangent line)

x

=

→

lim

∆Χ

∆

∆

∆Χ

∆

∆

→

0

f x x f x

x

Độ dốc của tiếp tuyến cũng là độ dốc của đồ thị tại điểm (x1, f(x1))

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x2 Tìm độ dốc và phương trình của tiếp tuyến tại x = 1

Vẽ đồ thị của hàm số f, đường tiếp tuyến tại điểm (1, f(1)) và đường cát tuyến đi qua 2 điểm (1, f(1)) và (2, f(2))

Giải:

+ Tính gia số ∆x, ∆y và ∆

∆

y x

∆

∆

∆

∆

∆

∆

y

x

f x f

x

x x

x x

= (1+ )− ( )1 = (1+ ) −1 =1 2+ + −1= +2

+ Tính độ dốc của đường tiếp tuyến

∆

+ Tính tọa độ tiếp điểm: x = 1 ⇒ f(x) = f(1) = 12 = 1 ⇒ tiếp điểm (1,1)

+ Phương trình tiếp tuyến

y - y1 = m(x-x1)

y - 1 = 2(x - 1)

y = 2x – 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

2 4 6 8 10 12

x y

+ Phương trình cát tuyến

x1 = 1 ⇒ y1 = f(1) = 12 = 1

x2 = 2 ⇒ y2 = f(2) = 22 = 4

y y

y y

x x

x x

−

−

−

1

1

−

−

1

4 1

1

2 1 Vậy: y = 3x - 2

1.3 Tỉ lệ thay đổi (tốc độ thay đổi)

Cho hàm y = f(x)

Tỉ lệ thay đổi trung bình (Average Rate) =∆

∆

∆

∆

y x

f x f x

x x

f x x f x

x

Tỉ lệ thay đổi tức thời (Instantaneaus) = lim

∆Χ

∆

∆

→∞

y x

Ví dụ: Cho phương trình đường cầu của sản phẩm kẹo như sau:

D(x) = 100 - x2 với 0 ≤ x ≤ 10$

D(x) = là số kg kẹo ở mức giá x($)

20 40 60 80 100

x y

a/ Tìm tỉ lệ thay đổi trung bình về lượng khi giá thay đổi từ 2$ lên 5$, nghĩa là tìm ∆y/∆x ứng với x1 = 2$ và x2 = 5$

b/ Khi ∆x→0 thì ∆y/∆x có giá trị là bao nhiêu? (Đó cũng là tỉ lệ thay đổi tức thời của D(x) ứng với x tại điểm x = 2)

Giải: ∆x = x2 - x1 = 5-2 = 3

a/

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

y

x

D x x D x

x

x y

x

x x

x x

4

Với ∆x = 3 ⇒ ∆ = −

∆

y

x 7

b/ lim

∆Χ

∆

∆

x

2 Đạo hàm

2.1 Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x), đạo hàm của hàm số f tại điểm x được ký hiệu là y’ = f’(x)

x

→

∆Χ

∆

∆ 0

Nếu giới hạn f’(x) tồn tại thì f được gọi là có vi phân tại x

Ví dụ: Tìm đạo hàm f’(x) của hàm f tại x, cho biết f(x) = x2

Giải:

x

( +∆ )− ( )

∆

f x x f x

x

x x x x

x x x

∆

∆

∆

∆

2 Bước 2: Tìm giới hạn

f x f x x f x

∆

Vậy f’(x) = 2x

2.2 Phương trình của đường tiếp tuyến

Phương trình của đường tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f(x) tại x = x1 sẽ là:

y - y1 = m(x-x1) với m = f’(x1)

Ví dụ: Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm y = f(x) = x2 tại x = 1

f’(x) = 2x ⇒ m = f’(1) = 2

y - f(1) = m(x-1)

y - 1 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x – 1

2.3 Chi phí biên (Marginal Cost)

a/ Hàm tổng chi phí C(x) = là tổng chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm trong một thời đoạn nào đó

b/ Hàm chi phí biên C’(x) = là tỉ lệ thay đổi chi phí ứng với sự thay đổi một đơn vị sản phẩm (nói cách khác là lượng chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm) ở mức sản lượng là x

C x C x x C x

x

'( )= lim ( + )− ( )

→

∆Χ

∆

∆ 0

2.4 Các công thức tính theo đạo hàm ký hiệu y’, f(x), dy

dx

y = xn (n số nguyên dương) y’ = nxn-1

y u v

v

'= ' −2 '

y x

x

'= − 12

y v

v

'= − 2'

y ax b

cx d

ad bc

cx d

+

x

'= 1 2

u

'= ' 2

x

'= 1

x a

' ln

Ví dụ: Cho hàm chi phí C’(x) = 2+8x-x2 với 0 ≤ x ≤ 4 đơn vị, C tính theo ngân $

a/ Tìm chi phí biên tại x

b/ Tìm chi phí biên tại x = 1, 2 và 3 Giải thích ý nghĩa

Giải:

'( )= lim ( + )− ( ) = −

→

∆Χ

∆

∆

b/ + x = 1 ⇒ C’(x) = 6 (=6000$)

Ở mức sản lượng x = 1 Để sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm sẽ cần 1 chi phí là 6000$ + x = 2 ⇒ C’(x) = 4

+ x = 3 ⇒ C’(x) = 2

c/ Chi phí trung bình (Average Cost): là chi phí cho 1 đơn vị sản phẩm

x

( ) = ( )

d Chi phí trung bình biên (Marginal Average Cost) C x '( )

C x'( ) là đạo hàm của C(x)

Ví dụ:

C(x) = x2 + 4x → C’(x) = 2x +4

C x C x

x x

( ) = ( ) = + 4 → C x'( ) = 1

3 Phân tích biên trong kinh tế:(Marginal Analysis)

3.1 Chi phí, doanh thu và lợi nhuận biên:

(Marginal Cost, Revenue and Profit)

Nếu x là số đơn vị sản phẩm được sản xuất trong một thời đoạn nào đó, ta có: + Tổng chi phí (Total cost) = C(x)

+ Chi phí biên (Marginal Cost) = C’(x) = MC(x)

+ Tổng doanh thu (Total Revenue) = R(x)

+ Doanh thu biên (Marginal Revenue) = R’(x) = MR(x)

+ Tổng lợi nhuận (Total Profit) = P(x) = R(x) - C(x)

+ Lợi nhuận biên = P’(x) = R’(x) - C’(x) = MP(x)

Ví dụ: Bộ phận nghiên cứu thị trường của Công ty sản xuất radio xác định phương trình của đường cầu như sau:

x = 10000 - 1000p (Số lượng sản phẩm là x ở mức giá p$)

hay p=10− x

1000 Với x là số lượng máy radio được tiêu thụ hàng tuần ở mức giá p$/mỗi radio

Bộ phận tài chánh của Công ty ước tính phương trình tổng chi phí như sau:

Hãy tìm C’)x), R(x), R’(x), P(x) và P’(x)

Giải:

Chi phí

Tổng chi phí: C(x) = 7000 + 2x

Chi phí biên tế:

C’(x) = 2 C’(x) > 0 ⇒ C(x) đồng biến với x Doanh thu

Tổng doanh thu

R(x) = p*x = (10

1000

1000

2

x− x Doanh thu biên

R’(x) = 10

500

R’(2000) = 6 R’(5000) = 0

Ở mức x = 2000 nếu x tăng 1 đơn vị thì R(x) tăng 6$ ⇒ R→ max

Lợi nhuận

Tổng lợi nhuận

P(x) = R(x) - C(x)

2

⎛

⎝

⎠

Lợi nhuận biên:

P x'( ) = − x +

500 8 P’(4000) = 0

⇒ P→ maxp’(1000) = 6$

Điểm hòa vốn

Tại điểm hòa R(x) = C(x) hay P(x) = 0

2

x2 - 8000x + 7000000 = 0

x

x

x

=

=

⎧

⎨

⎩

8000 36 000 000

2 1000 7000

1

2

3.2 Chi phí, doanh thu và lợi nhuận trung bình biên:

Chi phí trung bình (Average Cost) = C x C x

x

( ) = ( )

Chi phí trung bình biên (Marginal Average Cost) = C x'( ) = MC x( )

Doanh thu trung bình = R x R x

x

( )= ( ) Doanh thu trung bình biên = R x'( )= MR x( )

Lợi nhuận trung bình = P x P x

x

( )= ( )

Lợi nhuận trung bình biên = P x'( )= MP x( )

4 Sự co giãn của cung và cầu:

4.1 Các định nghĩa:

Sự co giãn của cầu:

Sự co giãn của cầu đo lường sự đáp ứng của lượng cầu với thay đổi về giá

Độ co giãn của cầu là tỉ lệ giữa phần trăm thay đổi của lượng cầu và phần trăm thay đổi của giá

ηD = %thay đổi lượng cầu/% thay đổi về giá= %

%

∆

∆

Q P

Q Q P P

P Q

Q P

∆

∆

∆

∆

ηD

Q Q Q

P P P

−

/ /

Sự co giãn của cung:

Sự co giãn của cung đo lường sự đáp ứng của lượng cung và sự thay đổi về giá

Độ co giãn của cung là tỉ lệ phần trăm giữa thay đổi của lượng cung và phần trăm thay đổi của giá

εS = % thay đổi lượng cầu / % thay đổi về giá = %

%

∆

∆

Q P

ε

ε

S

S

Q Q P P

P Q

Q P

−

∆

∆

∆

∆

/ /

4.2 Cách xác định độ cao giãn tại một điểm

Giá và độ co giãn của cầu:

Cho phương trình đường cầu x = f(p) với x là số lượng đơn vị sản phẩm ở mức giá p

p x

0

D

p p + ∆p

x = f(p)

∆x = f(p+∆p) - f(p)

∆p > 0 ⇒ ∆x < 0

∆p < 0 ⇒ ∆x > 0

Độ co giãn của cầu ở mức giá p là:

ηD

x x p p

∆

∆ % thay đổi về lượng cầu / % thay đổi về giá Gọi: E(p) là độ co giãn tức thời của cầu (Point Elasticly of Demand)

( )

E p

x x p p

f p p p

p

P

f p

f p

p

p

p

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

→

→

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

0

0

Ví dụ: Cho phương trình đường cầu x = f(p) = 500(20 - p)

a/ Tìm phương trình của độ co giãn cầu tức thời E(p)

b/ Tìm E(p) tại p = 4$, P = 16$ và p = 10$ Giải thích ý nghĩa

Giải:

a/

E p P

f p f p

P p

E p P

P

( )

( )

−

20

0 ≤ P ≤ 20

vì E p

( )<

≥

⎧

⎨

0

b/ E(4) = − 4

16= -0.25

E(16) = −16

4 = -4 E(10) = -1

Ở mức giá p = 4 nếu giá p tăng 1% thì lường sản phẩm giảm 0.25%

Ở mức giá p = 6 nếu giá p tăng 1% thì lường sản phẩm giảm 4%

Ở mức giá p = 10 nếu giá p tăng 1% thì lường sản phẩm giảm 1%

Tóm lại: Cho phương trình cầu: x = f(p) Độ giãn tức thời của cầu là:

E p P

f p f p

( )

o -1 ≤ E(p) ≤ 0 ⇒ Cầu không (hoặc ít) co giãn (theo giá) (Demand is inelastic)

o E(p) < -1 ⇒ Cầu co giãn (theo giá)

o E(p) = -1 ⇒ Cầu có độ co giãn đơn vị

5 Đạo hàm và khào sát hàm số y = f(x)

5.1 Sự biến thiên của hàm số

Hàm số đồng biến: ∀x∈(a,b), f’(x) >0 ⇒ f(x) đồng biến trên (a,b)

Hàm số nghịch biến: ∀x∈(a,b), f’(x) < 0 ⇒ f(x) ngịvh biến trên (a,b)

5.2 Tính lồi, lõm của đồ thị hàm số:

a Dấu hiệu lồi:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x)

∀x∈(a,b), f’’(x) < 0 ⇒ (C) lồi trên (a,b)

b Dấu hiệu lõm:

∀x∈(a,b), f’’(x) > 0 ⇒ (C) lõm trên (a,b)

5.3 Điểm cực đại, cực tiểu và điểm uốn:

a Cực đại: Tại x0∈(a,b), f’(x0) = 0 và f’’(x0) < 0 ⇒ (x0,y0) là điểm cực đại

b Cực tiểu: ∃ x0∈(a,b), f’(x0) = 0 và f’’(x0) > 0 ⇒ (x0,y0) là điểm cực tiểu

c Điểm uốn: ∃ x0∈(a,b), f’’(x0) = 0 và f’’(x) đổi dấu tạix0 ⇒ (x0,y0) là điểm uốn