Toán ứng dụng trong kinh doanh MS07-R03aV

Toán ứng dụng trong kinh doanh

Chương 3 HÀM TĂNG TRƯỞNG

(Growth Function)

1 HÀM SỐ MŨ:

1.1 Định nghĩa:

Hàm số mũ cơ số a với a>0 và a ≠1 có dạng y = ax Điều kiện a>0 và a ≠ 1

D = R, V = R+

1.2 Đồ thị của hàm số mũ:

x

= ⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟

1

2 hay y = 2

-x

y 0 1/4 1/2 1 2 4 ∞ y +∞ 4 2 1 1/2 1/4

0 1 2 3 4 5 6 -1

-2 -3 -4

y

a > 1 + 0 < a < 1

y

0

y

0

y

a

y

a 1

Nhận xét: f(x) = ax , a> 0, a ≠ 1

+ Tất cả đồ thị của hàm số mũ đều đi qua điểm (0,1)

+ a > 1 hàm số đồng biến

+ 0 < a <1 hàm số nghịch biến

+ y = ax > 0

+ Hàm số có đường tiệm cận là trục ox

1.3 Các phép tính về hàm số mũ:

1/ Cho a > 0, a ≠ 1

b > 0, b ≠ 1

∀x, y ∈ R

axay = ax+y (ab)x = axbx

a

a

Χ

b

a b

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =

Χ

( )aΧ Υ =aΧ Υ×

a

⎝⎜ ⎞⎠⎟

Χ Χ

Χ

2/ ax = ay ⇔ x = y

3/ Nếu x ≠ 0, ax = ay ⇔ a = b

1.4 Hàm số mũ cơ số e

y = ex e = 2,71828 e = lim 1⎛ + 1

⎝⎜ m⎞⎠⎟

m

= 2,71828

⎝⎜ m⎞⎠⎟

m

1 2

10 2,59374

100 2,70481

… …

Vấn đề: Mô Hình Tăng Trưởng Dân Số

P = Po * 2t/d ( Doubling time growth model) P: dân số ở thời điểm t

Po: Dân số ở thời điểm t = 0

d: Số năm để dân số tăng lên gấp đôi, vì t = d ⇒ P = 2Po

m→∞

Nước Ethiopia hiệncó dân số vào khoảng 42 triệu người, người ta đã ước tính sau 22 năm dân số Ethiopia đã tăng lên gấp đôi Nếu mức tăng dân số tiếp tục như trên, thì dân số của Ethiopia sẽ là bao nhiêu sau 10 năm và 35 năm

P = P0*2t/d = 42 *2 t/22

t = 10 ⇒ P = 42 * 2(10/22) = 58 triệu

t = 35 ⇒ P = 42 * 2(35/22) = 127 triệu

Vấn đề: Lãi Kép (Compounded Interest)

Giả sử vốn gốc là P được đem cho vay với lãi suất là r% năm và ghép lãi theo năm Hỏi lượng tiền thu lại được vào năm thứ t sẽ là bao nhiêu

Cuối năm 0: P0 = P

(Đầu năm 1):

Cuối năm 1: P1 = P + Pr = P(1+r)

Cuối năm 2: P2= P1 + P1r = P1(1+r) = P(1+r)2

Cuối năm 3: P3 = P2 + P2r = P2(1+r) = P(1+r)3

Cuối năm t: Pt = P(1+r)t

2 HÀM SỐ LOGARIT:

2.1 Định nghĩa:

Hàm số Logarit cơ số a với a> 0 và a≠1 có dạng y = logax ⇔ x = ay

+ D = R+ = (0,+∞) vì x = ay>0

+ V = R

Hàm Logarit là hàm số mũ ngược của hàm số mũ

y = log10x ⇔ x = 10y

y = logex ⇔ x = ey

2.2 Đồ thị của hàm số logarit:

Đồ thị của hàm số mũ đối xứng

với đồ thị của hàm số mũ qua

phân giác thứ 1

y = ax y

a

y = logax

x a

1 1

2.3 Các phép tính về logaarit:

(b>0, b≠1, M>0, N>0)

logaax = x hay alogΧa = x

loga1 = 0 a0 = 1

logaMN = logaM + logaN

loga M N =loga M−loga N

logaMk = k logaM

logaM = logaN ⇔ M = N

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a/ 2x = 4x+1

2x = (22)x+1 = 22(x+1)

x = 2x + 2

x = -2

b/ logax = 3

2loga4 - 2

3loga8+loga 2 = loga43/2 - loga83/2 + loga2

= loga8 - loga4 + loga2

= loga 8 2

4

×

logax = loga4

c/ log10x + log10(x+1) = log106

Điều kiện x o

≥ + ≥ ⇒ ≥ −

⎧

⎨

⎩ 1 0 1 ⇒ x ≥ 0

log10(x)(x+1) = log106

x2 + x - 6 = 0

⇒ x = -3 hay x = 2

Chọn x = 2