Hệ Phương Trình

Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt đường thẳng u + v = 21 nằm trong hình vuông... Ta nhận thấy 1 là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định 0;1.. Do số giao điể

MỘT SỐ KIẾN THỨC

*Phương trình đường tròn :

( ) (2 )2 2

R b y a

x − + − =

Hay : x 2 + y 2 − 2 ax − 2 by + c = 0

Cótâm là: I(a ; b)và bán kính :R = a 2 + b 2 − c ≥ 0

*Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là:

( ) (2 )2 2

R b

y

a

x − + − ≤ ( là miền gạch hình 2)

*Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là: ( ) (2 )2 2

R b y a

x − + − ≥

(là miền gạch hình 3)

*Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c ≥ 0 và ax + by + c ≤ 0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại

Xét đường thẳng : -x + y – 2 ≤ 0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y – 2) ta được -2 ≤ 0 Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên hình vẽ

* cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói:

Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m ≤ y ≤ M trong mxđ

f(x)≥α có nghiệm khi M ≥α trong mxđ

f(x)≥α đúng ∀x khi m ≥α trong mxđ

f(x) ≤α có nghiệm khi m ≤α trong mxđ

f(x) ≤α đúng ∀x khi M ≤α trong mxđ

*Cho A(x0 , y0 ) và đường thẳng (∆) có phương trình : ax + by + c = 0 , khoảng cách từ

A đến đường thẳng là :

d(A; ∆) = 0 2 02

b a

c by ax

+

+ +

*Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ]

Đổi trục oxy →IXY







+

=

+

= b Y y

a X x

phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.

( )*

m y cos x

1 y sin x sin









= +

= +

Giải :

Đặt u = sinx , v = siny

Bài toán trơ ûthành tìm m để hệ sau có nghiệm :

(*)⇔

( ) ( ) ( ) ( )

















≤

≤

−

= +

= +

4 1

3 1

2 2

2

1 2 1

2 2

v u

m v

u

v u

Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ , (2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R =

2

m

2 − , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt đường thẳng u + v = 21 nằm trong hình vuông Dễ thấy

M(1 ; -12 ) và OM = ON

OM =

4

5 , OH =

2 2

1

−

= 18 , suy ra ycbt là

8

1

≤ 2−2m ≤ 45

⇔

-2

1

≤ m ≤ 47

Cho hệ phương trình.







=

− +

=

−

+

0 x y x

0 a ay x

2

a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt b)gọi (x 1 ; y 1 ) , (x 2 ; y 2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng

(x2 – x1) 2 + (y2 – y1) 2 ≤ 1

Giải :

a) Hệ đã cho có thể viết lại :

(*)⇔









= +

−

=

− +

)2

( 4

1 y

) 2

1 x(

)1 ( 0 )1 y(

a x

2 2

Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định (0;1) (2) là phương trình đường tròn có tâm I(21 ;0) bán kính R = 12 Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi :

D(I ;d) =

2 m 1

m 0 m 2 1 +

− +

< 21

⇔ 0 <m < 34

1 2

2 1

2 x ) ( y y ) x

(x2 –x1) 2 + (y2 – y1) 2 ≤ 4R =1 (đpcm)

Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm :

Hay : 12 - a = 0 ⇔ a = 21

Cho hệ phương trình.









=

− + + + +

<

+

−

0 2 a a x) 1 a2 ( x

0 4 x x

2 2

2 4

(*)

Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm.

Giải :

Hệ đã cho có thể viết lại :

( )* ⇔

















−<

<

−

<

<

= + +

−

+

)3 ( 1 x

2

)2 ( 2 x

1

)1 ( 0 )2 a x )(

1 a

x(

Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ

Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch

Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4)

Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3.

Cho hệ phưong trình.









= +

= + +

−

+

2 2 2

2

m y x

0 2 )y x(

3 )y

x(

(*)

Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm

Giải :

Hệ đã cho có thể viết lại :

(*) ⇔







= +

=

− +

−

+

)2 ( m

y x

)1(

0 )1 y x )(

2 y

x(

2 2 2

Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ

Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R =

m , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì :

R = ON , mà ON =

2

2

= 2 (áp dụng đktx) do đó :

⇔









−

=

=

2

m

2

m

Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.







=

−

−

= +

0 ) a y )(

a 2 x (

2 y 2 x

Giải :

Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:

Đổi trục oxy →0XY







=

= Y 2 y

X x

Hệ đã cho có thể viết lại :

( ) ( )







=

−

−

= +

2 0 ) a 2 Y )(

a 2 X (

1 2 Y X

Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I / (1;1) như hình vẽ ,

do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm

nên ta có :

Nếu 





−

<

>

2

a

2

2

a

2

⇔ 





−

<

>

1 a

1 a

hệ vô nghiệm.

Nếu 





−

=

=

2

a

2

2

a

2

⇔ 





−

=

= 1 a

1 a

hệ có 2 nghiệm.

Nếu









−

≠

≠

<

<

−

1 a

2

1 a

2

2 a

2

2

⇔

















−

≠

≠

<

<

−

2

1 a 2

1 a

1 a 1

hệ có 4 nghiệm.

Nếu 





−

=

=

1

a

2

1

a

2

⇔











−

=

=

2

1 a 2

1 a

hệ có 3 nghiệm.

Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm

x a x

x − 2 = − (*)

Giải :

Với điều kiện x – x 2 ≥ 0 , đặt y = x − x 2 ≥ 0

(*) trở thành

( ) ( ) ( )











≥

=

− +

= +

3 0

y

2 0 x x y

1 a x y

2 2

⇔

( ) ( ) ( )











≥

= +

−

= +

3 0

y

2 4

1 y ) 2

1 x (

1 a x y

2 2

(2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I(

2

1

;0) bán kính R = 21 (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng













>

=

−

1 a

2

1 2

a 2

1

⇔













−

=

+

=

) l ( 2

2 1 a

) n ( 2

2 1 a

hay 1≤ a <

2 2

1 +

định a để phương trình sau có 4 nghiệm

2x 2 − x + 4 = x 2 − x + a (*)

Giải :

Đặt

4

9 4

9 2

5 x 4 x

x

t

2









 −

= +

−

=

( )







≥

=

−

<

−

=

−

⇔

0 t , 2 t 4 a

0 t , 1 t3 4 a

Nhận xét ∀t > −94 thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t

4

9

−

>

Dễ thấy A( ;274

4

9

− ) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì ( t 0

4

9 < <

(2) là phương trình đường thẳng y = t ,∀t ≥ 0

Vậy đểâ phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì:

4

27

4

a

0 < − < ⇔ 4 < a < 434

Cho hệ bất phưong trình.

( ) ( )









≤ + +

≤ +

+

2 a y 1 x

1 a 1 y x

2 2

2 2

(*)

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất

Giải :

Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O2(0;-1) bán kính R2 = a (như hình vẽ)

Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O1(-1;0) bán kính R1 = a

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R1 + R2 = O1O2

Hay : 2 a = (0 + 1)2 +(− 1 + 0)2

2

1

=

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.

( )







≥

− +

−

≤ +

0 ) m 6 ( m x x

0 2 x x

2 2

Giải :

Hệ (*) cho có thể viết lại







≥

− +

−

≤

≤

* 2 0 6 m x m x

1 2

x 1

Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa.

Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo nằm trên và trong hình thang ABCD Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi :

a = 1 hoặc a = 5

Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm.







=

− +

−

=

− +

−

2 2

) 1 x (

1 1 y 1 x

Giải :

Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận.

Đổi trục oxy →0XY

Hệ đã cho có thể viết lại

( ) ( )







= +

= +

2 m Y X

1 1 Y X

2 2 2







+

=

+

= 1 Y y

1 X x

Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh R = m Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có 8 nghiệm khi : OH < R < OB

Mà : OH = 12 ( áp dụng đktx) , OB = 1

Vậy 12 < m < 1













−

<

<

−

<

<

⇔

2

2 m 1

1 m 2

2

đó là ycbt

Biện luận số nghiệm của phương trình

( )* x m 2 x

12 − 2 = −

Giải : Với điều kiện 12 – 3x 2 ≥0 đặt y = 12 − x 2 Phương trình có thể viết lại

⇔

(*)

( ) ( ) ( )















= +

= +

≥

3 m 2 y

x

2 1 12

y 4

x

1 0

y

2 2

Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa ellip lấy phần dương , như trên hình vẽ Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (3) là phương trình đường thẳng luôn di động và có hệ số góc là -1

Xét các vị trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1

Vị trí tiếp xúc trên 2

0

4 12

4 2

=⇔







>

m

m

Tại B ứng với m = 1

Vậy ta có : Nếu 1≤ m <2 phương trình có 2 nghiệm.

Nếu m = 2 hoặc -1≤ m <1 phương trình có 1 ngiệm.

Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm.

Cho hệ : ( )*

0 a 6 x x

0 a x x

2 2







≤

−

−

≤ + +

a) tìm a để hệ có nghiệm.

b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.

Giải : Hệ đã cho có thể viết lai

( ) ( )2 ( )* 6

x x a

1 x x a

2 2









−

≥

−

−

≤

Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có, S1(2;−23 ) , S2(-1;1) và

xA =

-7

8

< -1





=

= 0

1

a a

tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất

( ) * 1

y x

1 m xy 2 y

x









≤+

≥ + ++

Giải : Hệ đã cho có thể viết thành









≤+

−−≥

+⇔









≤+

−−≥

+

1yx

yx1

mxy2 1yx

yx1

( ) ( )







≤+

+

≤

−

+

−

⇔







≤+

− +

− + +≥

+

⇔

2 1

y

x

1 1 m )1 y(

)1

x(

1

y

x

y2 xy2 x2 y x 1

m

xy2

2 2

2 2

Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy

Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I(1;1) bán kính R = m+ 1 (như hình vẽ) , những điểm M(x;y) thỏa mãn (2) là miền gạch chéo và đường thẳng x +y =1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R = OH , Mà OH =

2

2 ( áp dụng đktx) vậy :

2

2 1

m + =

2

1

−

=

tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.

( ) * 0 m 18 x8 x6 x

0 m 4 x2

x

2 4

2









≤

− +

−

−

≤ +−

−

Giải : Hệ đã cho có thể viết thành

( ) ( ) 2 ( ) * 18

8 6

1 4

2

2 4

2









≤ +

−

−

+ +

−≤

m x x x

x x m

phương trình m = -x 2 + 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do đó các điểm M(x;y)thoả (1 ) là những điểm nằm trong parabol chứa miền thỏa (0;0)

Xét hàm số:

m = x 4 -6x 2 -8x+18

Đạo hàm :

m / = 4x 3 -12x-8 = 4(x+1) 2 (x-2)

m / = 0 





=

−

=

⇔

2

1

x x bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại







−=

=

6

2

ct

ct

y x

Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5)

các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ từ đồ thị ta thấy hệ có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay -6 ≤m≤5

Cho hệ : ( )*

4 a x

0 a 2 a 4 x ) 2 a 5 ( x

2 2

2 2







≤ +

≤ + + +

a) tìm a để hệ có nghiệm.

b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.

Giải : Hệ đã cho có thể viết lại

4 a x

1 0 ) 2 a 4 x )(

a x (

2 2







≤ +

≤ + + +

Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa

Dễ nhận thấy A(-2;0) , B(- 2; 2) O1(32 ;−32 ) , F(- 2- 2)

M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ, như vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền gạch sọc

Vậy theo ycbt thì

a) hệ có nghiệm khi - 2 ≤a≤ 2

b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = - 2 hoặc a = -32 hoăc a = 2

Cho hệ : ( )*

0 m x ) 1 m ( m x

0 2 x x

3 2

2







≤ + +

−

≤

− +

a) tìm m để hệ có nghiệm.

b) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Giải :

Hệ đã cho có thể viết lại như sau

( )









≤

−

−

≤

≤

−

2 0 ) m x )(

m

x

(

1 2

1 x 2

2

Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxm

Các điểm M(x;m) thỏa mãn (1) nằm trong giới hạn của 2 đường thẳng x =-2 và.x =12 , các điểm M(x;m) thỏa mãn (2) nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ Dễ thấy A(

2

2

; 2 1

) , vậy để phương trình có nghiệm thì đường thẳng m = α phải cắt miền gạch sọc trong giới hạn cho phép cũa (1) hay.

a) hệ có nghiệm khi m

2

2

≤

b) hệ có nghiệm duy nhất khi











=

=

0 m 2

2 m

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

( )*

m y x

1 1 y 1 x

2 2 2







= +

=

− +

−

Giải :

Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:

Đổi trục oxy →0XY







+

=

+

= 1 Y y

1 X x

Hệ đã cho có thể viết lại

( )







= + + +

= +

* 2 m ) 1 Y ( ) 1 X (

1 1 Y X

2 2 2

Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(-1;-1) bán kímh R = m Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi : ON ≤ R≤ OM

Mà : ON = 12 ( áp dụng đktx) , OB = 5.

Vậy 12 ≤ m ≤ 5













−

≤

≤

−

≤

≤

⇔

2

2 m

5

5 m 2

2

đó là ycbt

MỘT SỐ BÀI TẬP

Tìm m để phương trình có nghiệm

m x cos 1 x sin

Cho phương trình

m x ) x 9 ( x x

a) tìm gtln và gtnn ( 9 − x + x )

b) tìm m để phương trình có nghiệm

Cho hệ ( )*

0 a x

0 a 2 a 4 x ) 2 a 5 ( x

2 2

2 2







= +

<

+ + +

tìm a để hệ có nghiệm.

Tìm m để bất phương trình sau đúng ∀ x : − 4 ≤ x ≤ 6

m x x ) x 6 )(

x 4

Cho hệ ( )*

1 x

0 ) 2 x m )(

x m (

2 2







≤

<

− +

−

tìm m để hệ vô nghiệm.

Cho hệ ( )*

m y x

1 ) y x ( log x 2 y 2







= +

≥ +

+

tìm m để hệ có nghiệm.

Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm.

loga+x(x(a-x)) < loga+x x

Cho hệ phưong trình.







=

− +

=

−

−

+

0 y y x

0 2 a5 y ax

2

a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.

b) gọi A(x 1 ; y 1 ) , B(x 2 ; y 2 ) là 2 nghiệm của hệ Tìm a để độ dài dây cung AB đạt giá trị lớn nhất