Luyện thi vào 10 và thi chuyên - Phương trình và hệ phương trình

Phơng trình IV.1- Phơng trình bậc nhất một ẩn – Giải và biện luận: Giải và biện luận: 1... b 3 Tính giá trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình.. b 5 Tìm hệ thức giữa các ngh

IV Phơng trình

IV.1- Phơng trình bậc nhất một ẩn – Giải và biện luận: Giải và biện luận:

1 Kiến thức cơ bản

- Phơng trình bậc nhất 1 ẩn có dạng: ax + b = 0 (a0) với a, b là 2 số đã cho

- Giải và biện luận phơng trình bậc nhất 1 ẩn:

Ví dụ: Giải và biện luận phơng trình sau với m là tham số

m2 (x – Giải và biện luận: 1) = x – Giải và biện luận: 2m + 1 (1)

Giải: Phơng trình (1) <=> m2x – Giải và biện luận: m2 = x – Giải và biện luận: 2m + 1

<=> m2x – Giải và biện luận: x = m2 – Giải và biện luận: 2m + 1

<=> (m – Giải và biện luận: 1) (m + 1) x = (m – Giải và biện luận: 1)2

Ví dụ1: Giải phơng trình: 3x2 – Giải và biện luận: 7x + 4 = 0 (1)

Cách 1: Phơng trình (1) <=> 3x2 – Giải và biện luận: 3x – Giải và biện luận: 4x + 4 = 0

<=> (3x – Giải và biện luận: 4) (x – Giải và biện luận: 1) = 0 <=>

4 0

1

0 4 3

x

x x

1 7

; 3

4 6

1 7

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.c) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm nguyên

Giải: Phơng trình (1) <=> mx2 – Giải và biện luận: 2x (2m – Giải và biện luận: 1) + 3m – Giải và biện luận: 2 = 0

b) Với m = 0, phơng trình (1) là: 2x – Giải và biện luận: 2 = 0 ; PT có nghiệm x = 1

Với m 0,  ’ = 4m2 – Giải và biện luận: 4m + 1 – Giải và biện luận: 3m2 + 2m = m2 – Giải và biện luận: 2m + 1 = (m – Giải và biện luận: 1)2  0 Với

2

2 3 1 1

x

m

m m

m m

x

x2  Z => để phơng trình luôn có nghiệm nguyên thì

2

; 1 2

2 3 2

m

Z m

m



Vậy với m = 0;  1  ; 2 thì phơng trình (1) luôn có nghiệm nguyên

Ví dụ 3: Giải phơng trình: x4 + x3 – Giải và biện luận: 3a2x2 – Giải và biện luận: 2a2x + 2a4 = 0 (1)

Giải: Phơng trình (1) <=> 2a4 – Giải và biện luận: a2(3x2 + 2x) + x4 + x3 = 0 (2)

Coi phơng trình (2) là phơng trình với ẩn a, tham số x

Đặt a2 = t ( t  0) ta đợc phơng trình:

2t2 – Giải và biện luận: (3x2 + 2x) t + x4 + x3 = 0 (3)

 = (3x2 + 2x)2 – Giải và biện luận: 8 (x4 + x3)

t

x x x x x x

2 2

2 2 2

2 1

4

22

3

24

24

22

3

* Với

2

2 1

4 1 1

2 6

2 5

a x

a x

Nếu a  0 , phơng trình có 4 nghiệm là:

x1;2 = a 2; x3;4 =

2

4 1

* Quan hệ giữa các nghiệm của 2 phơng trình bậc 2:

Ví dụ: Tìm các giá trị của m để 2 phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung.

x2 + (m – Giải và biện luận: 8)x + m + 3 = 0 (1)

x2 + (m – Giải và biện luận: 2)x + m - 9 = 0 (2)

Giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phơng trình, thế thì:

x0 + (m – Giải và biện luận: 8) x0 + m + 3 = 0 (1’)

x0 + (m – Giải và biện luận: 2) x0 + m – Giải và biện luận: 9 = 0 (2’)

=> - 6x0 + 12 = 0 <=> x0 = 2

Thay vào (1’) tìm đợc m = 3

Với m = 3 thì phơng trình (1) là: x2 – Giải và biện luận: 5x + 6 = 0

<=> (x – Giải và biện luận: 2) (x – Giải và biện luận: 3) = 0 => x1 = 2; x2 = 3

Phơng trình (2) là: x2 +x – Giải và biện luận: 6 = 0 <=> (x – Giải và biện luận: 2) (x + 3) = 0

=> x1 = 2; x2 = -3

Khi đó nghiệm chung của 2 phơng trình là x = 2

Vậy với m = 3 thì 2 phơng trình có nghiệm chung là x = 2

2 Hệ thức Viét áp dụng cho phơng trình bậc hai.

P

a b x

x

S

2 1

2 1

.

+ Ngợc lại: Nếu có 2 số x1; x2 sao cho x1 + x2 = S; x1.x2 = P thì x1; x2 là các nghiệm của phơngtrình: X2 – Giải và biện luận: SX + P = 0

b) Một số áp dụng:

Hệ thức Viét thờng đợc ứng dụng để giải một số dạng bài tập sau:

b 1 ) Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai:

Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a  0 )

- Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

- Nếu a – Giải và biện luận: b + c = 0 thì x1 = -1; x2 =

-a c

Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:

a) 2.x2 – Giải và biện luận: (3 - 2)x + ( 2 - 1)2 = 0 (1)

b) mx2 – Giải và biện luận: (1 – Giải và biện luận: m) x – Giải và biện luận: 1 = 0 (2)

S P

S P

Ví dụ: Cho phơng trình: x2 + 2( m – Giải và biện luận: 2)x – Giải và biện luận: 2m + 1 = 0 (1)

Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm cùng dơng? 2 nghiệm trái dấu

2

0 1 2

0 ) 1 2

(

2 2

m m

m m

2

1

0 3

2

m m m

Vậy với m <

2

1

thì phơng trình có 2 nghiệm dơng

b 3 ) Tính giá trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình.

Trớc hết, kiểm tra điều kiện có nghiệm của phơng trình Sau đó tính S = x1 + x2; P =

x1.x2 và biến đổi hệ thức cần tính theo S và P

Ví dụ: Cho phơng trình x2 – Giải và biện luận: 5x + 3 = 0 (1)

Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình Không giải phơng trình, hãy tính:

x

x 

Giải: Phơng trình (1) có:  = 25 – Giải và biện luận: 12 = 13 > 0 -> Phơng trình luôn có 2 nghiệm x1; x2 Theo

định lý Viét ta có: x1 + x2 = 5; x1.x2 = 3

a) x1 + x2 = (x1 + x2)2 – Giải và biện luận: 2x1x2 = 52 – Giải và biện luận: 2.3 = 19

b) (x1 – Giải và biện luận: x2)2 = (x1 + x2)2 – Giải và biện luận: 4 x1x2 = 52 – Giải và biện luận: 4.3 = 13  x1 - x2 =  13

Ta có: x1 – Giải và biện luận: x2 = (x1 – Giải và biện luận: x2)(x1 + x2) = 5 13

80

3 

b 4 ) Xác định hệ số của phơng trình, biết hệ thức giữa các nghiệm

Ví dụ: Cho phơng trình: x2 – Giải và biện luận: 3x + (k – Giải và biện luận: 1) = 0 (1)

Xác định hệ số k để phơng trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 1 trong các điều kiện sau:a) 2x1 – Giải và biện luận: 5x2 = - 8

b) x1 – Giải và biện luận: x2 = 15

c) x1 + x2 = 3

Giải: Điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm là:   0

 = 9 – Giải và biện luận: 4 (k – Giải và biện luận: 1) = 9 – Giải và biện luận: 4k + 4 = 13 – Giải và biện luận: 4k

 0 <=> 13 – Giải và biện luận: 4k 0 <=> k

2

3

2 1 2 1

x x x x

2

6 2

2 1 2 2 2

x x x x x x

x

x

x

TM với mọi m

Khi đó, thay vào (3) ta có: 1.2 = k – Giải và biện luận: 1 => k = 3 (TMĐK (2))

(

3 15

3

2 1 2 2 2 2

2

x x x x x

3 3

2 1

2 2

2 1

k x

x

x x

x x

Ta có: x1 + x2 = (x1 + x2)2 – Giải và biện luận: 2x1x2

=> 3 = 32 – Giải và biện luận: 2 (k – Giải và biện luận: 1)

<=> k = 4, không TMĐK (2)

Vậy không tồn tại số k để thoả mãn x1 + x2 = 3

b 5 ) Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số.

Ví dụ: Cho phơng trình bậc 2: ( m – Giải và biện luận: 2)x2 – Giải và biện luận: 2(m + 2)x + 2 (m – Giải và biện luận: 1) = 0 (1)

Khi phơng trình có nghiệm, hãy tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham

số m

Giải: Vì phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai nên m 2

'

 =[-(m+2)]2 – Giải và biện luận: 2(m – Giải và biện luận: 2) (m – Giải và biện luận: 1) = -m2 + 10m

Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

'

 0 <=> m2 – Giải và biện luận: 10m  0 <=> m ( m – Giải và biện luận: 10)  0 <=> 0 m10

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình (1) Theo hệ thức Viét ta có:

) 1 ( 2

) 1 ( 2 ) 2 ( 2

2 1

2 1

m m x

x

m m x

x

8

2)(

2

12

822

84

m m

2

22

12

222

2422

m

m m

m

2

2.8

2

2 1 2 1 2

1 2

x x

x

Vậy hệ thức cần tìm là: 4x1x2 – Giải và biện luận: (x1 + x2) = 6

b 6 ) Lập phơng trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó

Ví dụ: Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình:

x2 – Giải và biện luận: (1 + 2) x + 2 = 0 (1) (m < n)

Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là:

n

x m

1

2 1

Giải: Phơng trình (1) có: a + b + c = 1 – Giải và biện luận: (1 + 2) + 2 = 0

=> Phơng trình có 2 nghiệm là 1 và 2

Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình (1) với m < n

=> m = 1; n = 2

2 1

1 1

1

; 2 1

1 2

1

2 1

x

x1 + x2 = 2

2 1

1 2 1

1 2 1

1 Giải và biện luận phơng trình bậc nhất 1 ẩn

Bài 1: Giải các phơng trình sau:

a) (2x – Giải và biện luận:1)2 – Giải và biện luận: (2x – Giải và biện luận: 2) (2x + 2) = x (2x – Giải và biện luận: 1) – Giải và biện luận: (2x2 + 5x – Giải và biện luận: 3)

b)

2002

4 3 2003

3 3 2004

2 3 2005

1070 941

1065 946

1060 951

1055 956

4 201

148 1

99 97

1

7 5

1 5 3

1 3

4 2 5

3 5 7

2 2

x x

x x

Bài 2: Giải các phơng trình sau (với x là ẩn số):

a) 4m2 (x – Giải và biện luận: 1) = x – Giải và biện luận: 4m + 1

32

)1(

a x a

a x

d)

c b a

x a

x c b b

x c a c

x b a

2 Phơng trình bậc hai – Giải và biện luận: Hệ thức Viét và ứng dụng:

Bài 3: Giải các phơng trình sau:

a) 2 3x2 – Giải và biện luận: ( 3+1)x - 3 + 1 = 0

b) 2x2 + (2 2-3)x + 2-3 = 0

3

3 2 2

x x

Bài 4: Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m.

(m – Giải và biện luận: 2) x2 – Giải và biện luận: (5m2 + 4m – Giải và biện luận: 1)x – Giải và biện luận: m + 2 = 0

Bài 5: Tìm các số nguyên n để các nghiệm của phơng trình sau là các số nguyên.

x2 – Giải và biện luận: 2(2n + 1)x + 4 (n – Giải và biện luận: 2) = 0

Bài 6: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – Giải và biện luận: x – Giải và biện luận: 1 = 0

a) Tính x1 + x2

b) Chứng minh: Q = (x1 + x2 + x1 + x2 )  5

Bài 7: Tìm m để phơng trình: x2 – Giải và biện luận: mx + m2 – Giải và biện luận: 7 = 0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 8: Cho phơng trình: x2 – Giải và biện luận: mx + m2 – Giải và biện luận: 3 = 0

a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm dơng phân biệt.

b) Tìm m để phơng trình chỉ có 1 nghiệm là dơng

Bài 9: Cho phơng trình: x2 – Giải và biện luận: 2( m+ 1) x + m2 + 3m + 2 = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 12

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m?

Bài 10: Cho phơng trình: x2 – Giải và biện luận: 2(m + 1)x + 2m – Giải và biện luận: 15 = 0

Gọi các nghiệm của phơng trình là x1; x2

a) Tìm m sao cho x1 + 5x2 = 4

b) Tìm số nguyên m sao cho F =

2 1

1 1

2 1





x x

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x1 + 2x2 + x1x2

Bài 12: Cho phơng trình bậc hai:

x2 – Giải và biện luận: 2( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (1) (m là tham số)

x x x

x x

x x

x

3

1 4 3

5 : 9

4 3

3 3

3

Biết với x ≥ 0, x9, x1 thì P có nghĩa

a) Rút gọn P

b) Gọi x0 là nghiệm của phơng trình: x2 – Giải và biện luận: 11x + 18 = 0 Tính giá trị của P tại x0

Bài 14: Cho phơng trình: (m – Giải và biện luận: 1) x2 – Giải và biện luận: 2mx+ m + 2 = 0 (với m là tham số)

a) Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Khi đó tìm hệ thức liên hệgiữa x1; x2 không phụ thuộc vào m

b) Tìm m để phơng trình trên có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn hệ thức:

Bài 16: Cho phơng trình: x – Giải và biện luận: m2 = 3 - 2 - mx 2 (1)

a) Tìm tham số m để phơng trình có nghiệm duy nhất

Tính nghiệm đó với m = 2 + 1

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) nhận x = 5 2 - 6 là nghiệm

c) Gọi m1; m2 là hai nghiệm của phơng trình (1) ẩn m tìm x để m1; m2 là số đo 2 cạnh gócvuông của 1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 2 2

Bài 17: Cho phơng trình bậc hai đối với x: x2 – Giải và biện luận: 2(m – Giải và biện luận: 1)x + m – Giải và biện luận: 3 = 0 (1)

a) Giải phơng trình (1) với m = 0

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m

c) Tìm 1 hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc m

d) Xác định giá trị của m sao cho phơng trình có 2 nghiệm bằng nhau về GTTĐ và tráidấu nhau

Bài 18: Giải phơng trình:

x4 – Giải và biện luận: 10x3 – Giải và biện luận: 2( a – Giải và biện luận: 11)x2 + 2(5a + 6)x + 2a + a2 = 0 (a > -6)

Bài 19: Giải phơng trình: x4 - 2 2 x2 – Giải và biện luận: x + 2 - 2 = 0

Hớng dẫn giải bài tập tự luyện

1 Giải và biện luận phơng trình bậc nhất.

Bài 1: Giải các phơng trình sau:

Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2: Giải các phơng trình sau (với x là ẩn số)

a, 4m x2( 1) x 4m 1 4m x2  4m2 x 1 4m

 x m(4 21) 4 m2 4m 1 x m(2 1)(2m1) (2 m1)2

* Nếu (2 1)(2 1) 0

1 2 1 2

m   ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 12 5

m x

2 1 0

1 2 1

a a

a a

2 2

Bµi 8: a, §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng ph©n biÖt cÇn

b, Tõ (3): x1x2 2m2

1 2 2

(*)2

3 52

m x

m x

3215

m m

Vậy để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì m    ( ; 1) ( 1;3) 

A A

VËy víi m 2 th× Amin 28.

Bµi 13: Cho biÓu thøc.

11

4

m m

2 (3 2 5) 9 6 2 0(3 2 5) (9 6 2 ) 34 24 2 (3 2 4)

VÝ dô: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a) 2x3 + x2 – Gi¶i vµ biÖn luËn: 13x + 6 = 0

b) (3x + 4) (x + 1) (6x + 7)2 = 6

c) (4x + 5)3 + (2x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 7)3 – Gi¶i vµ biÖn luËn: (6x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 2)3 = 0

Gi¶i:

a) 2x3 + x2 – Gi¶i vµ biÖn luËn: 13x + 6 = 0

<=> 2x3 – Gi¶i vµ biÖn luËn: 4x2 + 5x2 – Gi¶i vµ biÖn luËn: 10x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 3x + 6 = 0

<=> 2x2( x- 2) + 5x( x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 2) – Gi¶i vµ biÖn luËn: 3( x- 2) = 0

<=> ( x- 2) (2x2 + 5x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 3) = 0

<=> (x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 2) 2x2 – Gi¶i vµ biÖn luËn: x + 6x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 3) = 0

<=> (x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 2) (2x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 1) (x + 3) = 0

0 3

0 1 2

0 2

x x x

x

x x

VËy ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm: x1 = 2; x2 =

2

1

; x3 = -3b) (3x + 4) (x+ 1) (6x + 7)2 = 6

<=> 12(3x + 4) (x + 1) (6x + 7)2 = 6.12

<=> (6x + 8) (6x + 6) (6x + 7)2 = 72

<=> (36x2 + 84x + 48) (36x2 + 84x + 49) – Gi¶i vµ biÖn luËn: 72 = 0

§Æt 36x2 + 84x + 48 = t, ta cã ph¬ng tr×nh: t (t + 1) – Gi¶i vµ biÖn luËn: 72 = 0

<=> t2 + t – Gi¶i vµ biÖn luËn: 72 = 0

12 9

2

30 9

2



c) áp dụng hằng đẳng thức: Nếu a + b + c = 0 thì a + b + c = 3abc.

Phơng trình: (4x + 5)3 + (2x – Giải và biện luận: 7)3 – Giải và biện luận: (6x – Giải và biện luận: 2)3 = 0

<=> (4x + 5)3 + (2x – Giải và biện luận: 7)3 + (2- 6x)3 = 0 (1)

Ta có: (4x + 5) + (2x – Giải và biện luận: 7) + (2 – Giải và biện luận: 6x) = 0

=> (4x + 5)3 + (2x – Giải và biện luận: 7)3 + (2 – Giải và biện luận: 6x)3 = 3(4x + 5) (2x – Giải và biện luận: 7) (2 – Giải và biện luận: 6x)

0 6 2

0 7 2

0 5 4

x x x

x x x

120

9

112

7

16

5

1

2 2

3 2 (

5 4 2

1 3

x x

=> 2(x- 2) + (x – Giải và biện luận: 1) (2x + 3) – Giải và biện luận: (x2 + 4x – Giải và biện luận: 5) = 2x2 – Giải và biện luận: x - 6

<=> 2x – Giải và biện luận: 4 + 2x2 + 3x – Giải và biện luận: 2x – Giải và biện luận: 3 – Giải và biện luận: x2 – Giải và biện luận: 4x + 5 – Giải và biện luận: 2x2 + x + 6 = 0

5 (

1 )

5 )(

4 (

1 )

4 )(

3 (

1 )

3 )(

2 (

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

=> 2(x + 6) – Giải và biện luận: 2( x + 2) = (x + 2) (x + 6)

<=> 2x + 12 – Giải và biện luận: 2x – Giải và biện luận: 4 = x2 + 8x + 12

13

x

(1)Giải phơng trình (1) => 3x – Giải và biện luận: 1 = x3 + 3x + 7

<=> x3 = -8 <=> x = 3  8 = -2

Với x = -2 thì x3 + 3x + 7 = (-2)3 + 3 (-2) + 7 = -7 0

Vậy nghiệm của phơng trình là x = - 2

- Chú ý: Với một số bài toán, việc tìm ĐKXĐ khó khăn, ta giải bình thờng để tìm ra giá trị của ẩn Sau đó thay giá trị của ẩn tìm đợc vào mẫu thức để kiểm tra điều kiện mẫu thức khác 0 Nếu giá trị của ẩn TMĐK mẫu khác 0 thì giá trị đó là nghiệm của phơng trình

) 1 ( 2

(1)

Giải: ĐKXĐ:

m

x  1

Từ phơng trình (1) => (1 + x)2 = (1 – Giải và biện luận: x) (1 + mx)

<=> 1 + 2x + x2 = 1 + mx – Giải và biện luận: x – Giải và biện luận: mx2

<=> mx2 + x2 + 3x – Giải và biện luận: mx = 0

<=> x[(m + 1) x – Giải và biện luận: (m – Giải và biện luận: 3)] = 0

0

m x m x

- Xét phơng trình: (m + 1)x – Giải và biện luận: (m – Giải và biện luận: 3) = 0

<=> (m + 1)x = m – Giải và biện luận:3 (*)

m = 1, phơng trình có 1 nghiệm: x = 0

3 Phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải các phơng trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta cần xét giá trị của biến làm chobiểu thức trong dấu GTTĐ âm hay không âm để khử dấu GTTĐ





A A A

( thoả mãn điều kiện)

+ Với 5 – Giải và biện luận: 2x < 0 <=> x 5

2

Phơng trình (1) là: - 5 + 2x + 3 = x + 1 <=> x = 3 ( thoả mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S =

(không thuộc khoảng đang xét)

Vậy phơng trình có vô số nghiệm thoả mãn

3

5 3

2



x Cách 2: Do 3x 2  3x 2 Dấu “=” xảy ra <=> 3x – Giải và biện luận: 2 0 <=> x

3

2



x x

 , phơng trình (3’’) là: -2x – Giải và biện luận: 3 = 2x + 5

<=> 4x = - 8 <=> x = -2 thuộc khoảng đang xét

Vậy phơng trình có 1 nghiệm là x = - 2

4 Phơng trình có hệ số đối xứng

Phơng trình có hệ số đối xứng là phơng trình có dạng f(x) = 0 trong đó f(x) là đa thứcvới đầy đủ các số hạng sắp xếp từ bậc cao tới bậc thấp (kể cả hệ số bằng 0) sao cho từng cặp hệ

số cách đều 2 đầu thì bằng nhau, nghĩa là:

anxn + an -1xn – Giải và biện luận:1 + + a1x + a0 = 0

với ai = an – Giải và biện luận: i ( i = 0, 1, 2, , n)

a) Phơng trình: ax3 + bx2 + bx + a = 0 ( a0) (1) là phơng trình hệ số đối xứngbậc 4

Cách giải: x = 0 không là nghiệm của phơng trình

2 2 2 2

Phơng trình (2) trở thành: at2 + bt + c – Giải và biện luận: 2a = 0 Nếu phơng trình này vô nghiệm thì

ph-ơng trình (2) vô nghiệm => Phph-ơng trình (1) vô nghiệm

Nếu phơng trình này có nghiệm t thì thay vào (3) ta tìm đợc nghiệm x

b) Phơng trình: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0 (4) là phơng trình hệ số đốixứng bậc 5

Cách giải: x = -1 là 1 nghiệm của phơng trình (4).

Đặt x + 1 làm nhân tử chung thì nhân tử còn lại là đa thức đối xứng bậc 4 Từ đó dẫn

đến giải phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 nh trên

- Chú ý: Các phơng trình hệ số đối xứng bậc lẻ có nghiệm x0 = - 1 và việc giải nó chuyển vềgiải phơng trình hệ số đối xứng bậc n – Giải và biện luận: 1 chẵn

Ví dụ: Giải các phơng trình sau:

a) 2x4 – Giải và biện luận: 5x3 + 4x2 – Giải và biện luận: 5x + 2 = 0 (1)

b) 2x5 – Giải và biện luận: 3x4 – Giải và biện luận: x3 – Giải và biện luận: x2 – Giải và biện luận: 3x + 2 = 0 (2)

Giải: a) Vì x = 0 không là nghiệm của phơng trình (1) Chia cả 2 vế của phơng trình này cho x2

ta đợc: 2x2 – Giải và biện luận: 5x + 4 - 5 22

<=> 2t2 – Giải và biện luận: 5t = 0 <=> t (2t – Giải và biện luận: 5) = 0

0

t t





x

x <=> 2x2 – Giải và biện luận: 5x + 2 = 0

 = 25 – Giải và biện luận: 16 = 9;  = 3

x1 =

2

1 4

3 5

; 2 4

3 5

Cách 2: Ta có thể giải phơng trình (1) bằng phơng pháp nhẩm nghiệm

Do x = 2 là nghiệm của phơng trình (1) nên VT phân tích thành tích có 1 thừa số là x– Giải và biện luận: 2 Từ đó hạ bậc dần của tích

b) 2x5 – Giải và biện luận: 3x4 – Giải và biện luận: x3 – Giải và biện luận: x2 – Giải và biện luận: 3x + 2 = 0 (2)

<=> 2x5 + 2x4 – Giải và biện luận: 5x4 – Giải và biện luận: 5x3 + 4x3 + 4x2 – Giải và biện luận: 5x2 – Giải và biện luận: 5x + 2x + 2 = 0

<=> (x + 1) (2x4 – Giải và biện luận: 5x3 + 4x2 – Giải và biện luận: 5x + 2) = 0

Sử dụng kết quả câu a, phơng trình (2) có 3 nghiệm là: x1 = -1; x2 = 2; x3 =

2 1

Nếu phơng trình (3) vô nghiệm thì phơng trình (1) vô nghiệm

Nếu phơng trình (3) có nghiệm t Khi đó thay vào (*) ta tìm đợc x

Ví dụ: Cho phơng trình: 3x4 – Giải và biện luận: 4x3 + mx2 + 4x + 3 = 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì phơng trình vô nghiệm?

12 2

x

Không TMĐK (*)TMĐK (*)

Phơng trình trên trở thành: 3t2 – Giải và biện luận: 4t + m + 6 = 0 (2)

Phơng trình (2) vô nghiệm <=>  ’ = 4 – Giải và biện luận: 3m – Giải và biện luận: 18 < 0

<=> 3m + 14 > 0 <=> m >

-3 14

Khi đó phơng trình (1) vô nghiệm

b) Với m = - 5, phơng trình (2) là: 3t2 – Giải và biện luận: 4t + 1 = 0

Phơng trình này có a + b + c = 3 – Giải và biện luận: 4 + 1 = 0 => t1 = 1; t2 =

3 1

* Với t = 1, thay vào (*) ta có: x -

x

k = t2 – Giải và biện luận: 2k

Phơng trình (2) trở thành: at2 + bt + c – Giải và biện luận: 2ak = 0 (3)

Nếu phơng trình (3) vô nghiệm thì phơng trình (1) vô nghiệm

Nếu phơng trình (3) có nghiệm t thì thay vào (*) ta tìm đợc nghiệm x

Ví dụ: Giải phơng trình x4 – Giải và biện luận: 7x3 + 18x2 – Giải và biện luận: 21x + 9 = 0

Giải:

x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình Chia 2 vế cho x2, ta đợc:

x2 – Giải và biện luận: 7x + 18 - 21 92 0

x x

x

Điều kiện:   3   3  2 3

x

x x x

Ph¬ng tr×nh (2) lµ: t – Gi¶i vµ biÖn luËn: 6 – Gi¶i vµ biÖn luËn: 7t + 18 = 0

<=> t2 – Gi¶i vµ biÖn luËn: 7t + 12 = 0

<=> ( t – Gi¶i vµ biÖn luËn: 3) (t – Gi¶i vµ biÖn luËn: 4) = 0

3

0 1

x

x x

2

1 01 0 4

x x

x

(1)Ph¬ng tr×nh viÕt l¹i díi d¹ng: x4  1 2x 1 x

(1 – Gi¶i vµ biÖn luËn: 2x) (1 – Gi¶i vµ biÖn luËn: x) = (2x + 1)2

2 7

) 2 (

&

) 1 ( (

0

0TMDK K

x

TMDK x

<=> (3x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 1) (x + 1) 2x = 8x3

<=> 2x [(3x – Gi¶i vµ biÖn luËn: 1) (x + 1) – Gi¶i vµ biÖn luËn: 4x2] = 0

<=> x (x2 – Gi¶i vµ biÖn luËn: 2x + 1) = 0

) 1 (

0 0

1 2

0

2

x x

x x

x x

Thay x = 0 vµo ph¬ng tr×nh (1): Tho¶ m·n

Thay x = 1 vào phơng trình (1): không thoả mãn

Vậy phơng trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 0

b) Phơng pháp 2: Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ:

2x  x   x  x  

 2  1  12   2  1  12  2

 x x

2 1 1 2 1 1

2      

* Nếu 2x 1  1  2x 1  1  x 1

Phơng trình (*) là: 2x 1  1  2x 1  1  2

<=> 2x 11 Hai vế không âm, bình phơng 2 vế ta đợc: 2x – Giải và biện luận: 1 = 1

<=> x = 1 (2) (Thoả mãn ĐKXĐ và thuộc khoảng đang xét)

6x2 + 15x = 6x2 + 15x + 3 – Giải và biện luận: 3 = 3(2x2 + 5x + 1) – Giải và biện luận: 3 = 3t2 – Giải và biện luận: 3

Ta có phơng trình (1) là: 3t2 + t – Giải và biện luận: 4 = 0 => (3t + 4) (t – Giải và biện luận: 1) = 0

3

4 0

1

0 4

t

TMDK k

t t

0

x x

Ví dụ: Giải phơng trình: 8x  8x3 12x 12x7 2(2x 2x1) (1)Giải: VT = 24 2 4 1 1 34 2 4 1 4

VP = 2 ( -2x2 + 2x + 1) = -4x2 + 4x – Giải và biện luận: 1 + 3 = - (2x – Giải và biện luận: 1)2 + 3  3

Cả 2 vế đều bằng 3 khi và chỉ khi x =

2 1

Vậy phơng trình có nghiệm là x =

2 1

8 Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phơng trình sau:

a) x4 – Giải và biện luận: 2x3 – Giải và biện luận: x2 + 8x – Giải và biện luận: 12 = 0

b) 2x3 – Giải và biện luận: 3x2 – Giải và biện luận: 11x + 6 = 0

c) (x2 – Giải và biện luận: 2x + 3)2 – Giải và biện luận: 2 (x + 3) (x – Giải và biện luận: 3) = 36 (x + 3)2

d) x4 – Giải và biện luận: 2x2 = 400x + 9999

e) (2x - 5)3 + (x + 7 )3 + ( 5- 7-3x)3 = 0

g) (4x + 1) (12x – Giải và biện luận: 1) (3x + 2) (x+1) = 4

Bài 2: Giải phơng trình: 2

5 3 2

3 2

Bài 3: Giải các phơng trình sau:

6

213

12

x x

x

8

232342

22

3

3 2

x x

x x

c)

) 9 (

10 3

2 3

a) Giải phơng trình với m = 3

b) Tìm các giá trị nguyên của m để phơng trình có nghiệm nguyên

Bài 5: Giải các phơng trình sau:

a) 3x – Giải và biện luận: 2.3  x  1

b) x 1  2x 3  5

c) x  3  2x 4

Bài 6: Giải các phơng trình sau:

1 1

)

4 3 2 2 3

)

1 2 3 2 )

3 3

2 2

x

c

x x x

b

x x

x

a

Bài 7: Giải phơng trình:

42

63

2

22

2

1

2 2

Bài 8: Giải các phơng trình sau:

a) x4 – Giải và biện luận: 2x3 + 8x2 – Giải và biện luận: 2x + 1 = 0

b) x5 – Giải và biện luận: x4 + 6x3 + 6x2 – Giải và biện luận: x + 1 = 0

c) 2x4 – Giải và biện luận: 3x3 – Giải và biện luận: 9x2 + 3x + 2 = 0

d) 2x4 – Giải và biện luận: 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0

Bài 9: Cho phơng trình: 3x4 – Giải và biện luận: 4x3 + mx2 + 4x + 3 = 0

a) Giải phơng trình với m = - 5

b)Với giá trị nào của m thì phơng trình vô nghiệm

Bài 10: Giải các phơng trình sau:

a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16

b) 2x + x - 3.x + 1 = 0

c) x4 – Giải và biện luận: 5x2 + 18x – Giải và biện luận: 5 = 0

Bài 11: Giải phơng trình: (x – Giải và biện luận: 2005)6 + (x – Giải và biện luận: 2006)8 = 1

Bài 12: Giải các phơng trình sau:

27 10 4

6 )

4 3 25

9 2 )

5 2 3 )

2 4 3 4 1 2 3 4 1 2 )

3 2 3 2 2

3 2 )

5 1 4 4 4 4 )

9 2 9 12 4

)

2 2 1

)

1 2 5 3

)

2

2 2

x k

x x x

h

x x

f

x x

x x

g

x x x

x

e

x x x

x d

x x

x c

x x

b

x x

a

Bài 13: Giải phơng trình: 1

1

2 2

Bài 14: Giải phơng trình:

2 2

1 2

1 1

2 )

2

) 1 ( 2 2 3 2 )

x b

x x

x

a

Bài 15: Giải các phơng trình sau (với a, y là ẩn số)

a) 4x2 + y2 – Giải và biện luận: 12x + 2y + 10 = 0

b) x2 + y2 + x – Giải và biện luận: y + xy + 1 = 0

c) x2 + 5y2 + 4xy – Giải và biện luận: 2y – Giải và biện luận: 2x + 2 = 0

Bài 16: Tìm tất cả các cặp số (x; y) nghiệm đúng phơng trình:

(16x4 + 1) (y4 + 1) = 16x2y2

Bài tập tự luyện(Một số dạng phơng trình thờng gặp và cách giải)

Bài 1: Giải các phơng trình sau:

Do vậy phơng trình đã cho tơng đơng với:

VËy víi m = 0; m = 2 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn.

Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a, 3x 2 3 x 1

 2 3 x 3x 1

Ta cã: 3 3

3x1   x x



nÕu -3 + x nÕu x > 3