Chủ Đề hệ ph ơng trình.. I, Hệ ph ơng trình hai ẩn.. Dạng: Khi đổi x cho y và y cho x thì các phơng trình không đổi nên hệ không đổi.. d.dạng hệ đối xứng kiểu ii hai ẩn: x,y Dạng: Khi đổ
Trang 1Chủ Đề hệ ph ơng trình.
I, Hệ ph ơng trình hai ẩn
ph ơng pháp giải :
P2 định thức : D=
, , b
b a
a
=ab,-a,b Dx=
, , b
b c
c
=cb,-c,b Dy=
, , c
c a
a
=ac,-a,c
bậc hai của hai ẩn:x,y
ph ơng pháp giải :
Rút một ẩn từ phơng trình bậc nhất ( chẳng hạn y=f(x) ) thế vào phơng trình bậc hai giải
đợc x từ đó tìm đợc nghiệm của hệ.
Dạng: Khi đổi x cho y và y cho x thì các phơng trình không đổi nên hệ không đổi.
ph ơng pháp giải :
đặt
=
=
+
P
xy
S
y
x
thay vào hệ giải tìm đợc S,P khi đó x,y là nghiệm
của phơnh trình: X2-SX+P=0
L
u ý:
1) x2+y2=(x+y)2-2xy=S2-2P
2) x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=S3-3SP
3) x4+y4=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=S4-4PS2+2P2
4) (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx
5) để hệ có nghiệm thì: S2 ≥ 4P.
⇔
=− − yx
Pyx
Syx Pxy
Syx ,
)(
)(
X2-Sx-P=0
d.dạng hệ đối xứng kiểu ii hai ẩn: x,y
Dạng: Khi đổi x cho y và y cho x thì phơng trình (1) trở thành phơng trình (2)
và phơng trình (2) trở thành phơng trình (1) nên hệ không đổi.
Trang 2Trừ từng vế hai phơng trình cho nhau đặt hiệu hai ẩn làm nhân tử chung giải tích các nhân
tử đó tìm đợc mối quan hệ giữa x và y sau đó thay vào phơng trình (1) giải tìm đợc nghiệm của hệ
L u ý: *) Nếu (x0;y0) là nghiệm thì (y0;x0) cũng là nghiệm
*) Hệ đ/x Kiểu I & Hệ đ/x Kiểu II Khác nhau là : Khi đổi x cho y & y cho x Thì Kiểu I phơng trình (1) vẫn là (1) và (2) vẫn là (2)
Trong khi đó Kiểu II phơng trình (1) trở thành (2) và (2) trở thành (1)
e.dạng hệ đẳng cấp bậc hai hai ẩn: x,y
ph ơng pháp giải :
P 2 1 Đa một phơng trình nào đó của hệ về dạng: ax2+bxy+cy2=0 (*)
*) Thử trực tiếp y=0
*) khi y≠ 0 từ (*) suy ra ( ) 2 + +c= 0
y
x b y
x
y
x
= hay x=ky thay vào hệ giải đợc nghiệm
P 2 2 Đa về dạng không có chứa x2(hoặc y2) Từ đó rút x theo y ( hoặc y theo x) thay vào phơng trình (1) đợc phơng trình trùng phơng giải tìm đợc nghiệm
P 2 3 *) Kiểm tra trực tiếp x=0
*) Khi x≠ 0 đặt y=kx (3) Thì hệ trở thành
= +
+
= +
+
)5 (, 2 2 , , ,
)4 2 2
) (
) (
d x k c k b a
d x ck bk
a
Từ đây giải
tìm đợc k thay vào (4) hoặc (5) tìm đợc x thay vào (3) tìm đợc y
L u ý : Nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì (-x0;-y0) cũng là nghiệm
Bài Tập
1
= +
+
= +
+
+
7
8
2
2
2
2
xy
y
x
y x
y
x
2
= + +
= +
+
21
7
2 2 4 4
2 2
y x y x
xy y
x
3
=
+
=
+
+
30
11
2
2y xy
x
xy
y
x
4
= + +
= +
+
2
4 2
2
xy y x
xy y x
5
=
+
=
+
26
2
3
x
y
x
6
= +
=
+
1
1
4 4
3 3
y x
y
x
7
=
+
=
+
45
9
2
2 y
x
y
x
8
= +
=
193
84
2
x xy
Trang 3
9
=
+
=
+
+
2 5 2 7
2
2y xy
x
xy
y
x
10
+
= +
= +
1 7 78
xy x
y y x
x y y
x
11
−=
=
+
8
7
3
3
3
3
y
x
y
x
12
= + +
−
= +
+
5
13
2 2
xy y x
xy y
x
13
−=
+
−
= +
−
+
1
2
2
2
xy
y
x
y
x
y
x
14
= +
=
+
5
35
3 3
y x
y x
15
=
+
+
=
+
6
) (3
)
(2
3
3
3 2
3 2
y
x
xy y x y
x
16
= +
= +
35
30
y y x x
x y y
x
17
=
+
−
=
+
1
2
1
2
x
xy y
x
18
−=
+
=
+
2 2
3 3 3
6
19 1
x xy
y
x y
x
19
=
+
=
+
2 2
2 2
2
6
5 1
x xy
y
x y
x
20
= +
= +
+
8
2
2
3
x
xy y x
21
= + +
+
= +
+
28 ) (3
11
2
x
xy
y
x
22
=
−
−
= +
+
2 )1 )(
1 (
72 )1 )(
1
(
y x
y x
xy
23
=
+
=
+
3
17
4
y
x
24
= +
= +
+
17
3
4 4
2 2
y x
y xy
x
25
= +
+
= +
+
25 )1 )(
(
10 )1
)(
1
(
xy
y
x
y
x
26
= +
=
+
4
28
3
y x
Trang 4
= +
=
+
20
6 2
2y y x
x
x y
y
x
28
+
= +
+
=
+
3
13 2
2
xy y x
xy y
x
29
=
+
=
+
6
13
5
x
y
y
x
y
x
30
= + + +
= + + +
4 1 1
4 1 1
2 2 2 2
y x y x
y x y x
31
= +
= + +
xy y x
y x xy
2 3 2
7 1 1
32
=
+
=
+
+
4
3
1
1
3
10
2
2
y
x
y
x
y
x
33
=
+
=
+
13 1
1
5
1
1
2
2 y
x
y
x
34
= +
= + +
20 ) (
9
y
y x x
y
x y x
35
=
−
=
+
−
2
)
(
3
y
y
x
x
y
x
y
x
36
= +
+
−
−
− +
= +
2 5
10 5
y x y
y x
y x y x
y x
y x
37
=
−
+
+
=
−
+
+
3 4
4
20 ) (
)
y
x
y
x
y x
y
x
38
= +
− +
− +
= +
6 5
20
2 2
y x
y x y x
y x
y x
39
=
− + + + +
− + +
+
= + + + + + + + +
+
2 1 1
18 1
1
2 2
2 2
y y x y x y
x
x
y y x y x y
x
x
40
= +
= +
+
4
2 8 2
2 2
y x
xy y
x
41
+ +
= +
+
+ +
= +
+
56 2
4
4
2 2 4 4
2 2
2
2
y x y xy
x
y xy x y
x
42
= +
−
= +
−
4 3
1 4
2
2 2
y xy
y xy x
Trang 5
=
−
−
−
=
−
+
−
18
1 2
1 2
2
2
1 2
3 2
2
y x
y
x
y x
y
x
44
=
−
+
−
=
−
−
−
5
3 3
2 3
1
3 3
5 3
2
y x y x
y x y
x
45
−
= + +
−
−
+
−
= + +
+
−
+
12
7 1 4
2 2
3
1
24
7 1 4
3 2
3
2
y x
y
x
y x
y
x
46
−
= +
−
+
− +
−
= +
−
−
− +
5
7 3 2
1 1
3
2
5 3 2
5 1
4
y x y
x
y x y
x
47
−
− +
=
−
+
+ +
−
= +
+
31 )1 2 )(
2 ( )3 )(
1
2(
18 )2 )(
1 ( )3
)(
1
(
y x
y
x
y x y
x
48
= +
−
=
−
+
4 3 2
3 2 4
2 2
2 2
y xy x
y xy
x
49
=
−
−
=
−
+
15 3
9
5
38 4
5
3
2 2
2 2
y
xy
x
y xy
x
50
= +
−
= +
−
4 3
1 4
2
2 2
y xy
y xy x
51
+
−
=
+
−
=
5 4
2
5 4
2
2
2
x x
y
y y
x
52
+
=
+
=
x x y
y y x
1 2
1 2
2
2
53
=
−
=
−
4
1
1
4
1
1
2
2
x
y
y
x
54
+
−
= +
−
= 2 2 2 2
1 1 1 1
x
x y y
y x
55
−
=
−
=
2
2
1
1
x
y
y
x
56
=
−
=
−
x y y
y x x
2
2
2
2
57
=
+
+
= + +
+
5
8
2
2
xy
y
x
y x
y
x
58
=
−
=
−
x y y
y x x
2 3
2 3
2 2
Trang 6
=
+
=
208
96
2
x
xy
60
=
−
=
55
24
2
x
xy
61
=
−
+
= +
+
3
7
2
2
2
2
xy
y
x
xy
y
x
62
= +
=
−
+
0
1 )
(2
2 2
2
xy y x
xy y
x
63
=
+
+
= +
+
5
7
2
2
y
xy
x
xy
y
x
64
= +
=
+
160
) (3
2
2 y x
xy y
x
65
= +
+
=
−
−
+
69
102
2
2
y
xy
x
y x
y
x
66
= +
=
−
2
1 2
2
2 2
x xy
y x
67
=
+
−
=
+
10 )
(
2 25
2
2
y
x
y
xy y
x
68
= +
−
=
− +
+
20
) (5
) (2 ) (2
2 2
2 2 2 2
y x
y x y
x y
x
69
= +
−
+
= +
− +
− +
+
0 6 )
(2
0 9 )3 ( 2 )3 ( 2
2
2
xy y
x
x y y
x y
x
70
=
−
=
−
y x y
x y x
7 2
7 2
2 2
2 2
71
=
−
=
−
+
y y
y
x
xy y
x
)
2(
7 2
72
−=
+ +
= + +
+
35 3
0 19 2 )
(5
y xy x
xy y
x
73
=
−
+
=
−
+
3
13 2
2
xy
y
x
xy
y
x
74
= + +
=
−
−
15 ) )(
(
3 ) )(
(
2 2
2 2
y x y x
y x y x
75
= + +
= + +
+
72 )1
)(
1
(
18
2
2
xy y
x
y x y
x
76
= +
−
= +
−
5 5 4
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy
x
77
= + +
=
+
2 2
1
3 2 2
3
3
y xy
y
x
y
x
78
= + + +
=
−
+
7
5
2 2
3 3
y x y x
xy y x
Trang 7
79
= + +
= +
−
931
19
4 2
2
4
2 2
y y
x
x
y xy
x
80
= +
+
=
+
6
)2 (2
2 2
y x
xy y
x
81
−
=
−
−
=
−
2 3
2
2 3
2
2 2
2 2
x y
y
y x
x
82
−=
+
−
=
−
1
) (3
3 3
y x
y x y
x
83
=
+
+
= +
+
3
2 4 1 3
2
2 y
x
y xy
x
84
= + + +
=
− +
4 1 1
3
y x
xy y
x
85
+
=
− +
−
=
+
2 1
1
1 1
1
2 2
2
2
xy y
x
y
x 86
= +
= +
2 1
2 1
x y
y
x
87
= + +
=
+
5
1 ) (8
1
4
4
xy y
x
y
x
88
= + + +
− +
− +
−
= + + + +
+
80
5 3
1 5
3 1
2
2 y x y x
y y
y x
x
x
88
=
+
=
+
3
7
1
2
7
1
x
y
y
x
89
= +
=
− +
2
3 1 1
1
2
2 y x
xy y x
90
=
+
−
= +
−
1
1 3
6
2
2
2
y
x
y x xy
x
91
=
−
=
+
3 )2 (
1 ) 3
2(
3
3
y x
y
x
92
=
−
−
+
=
− +
+
1
2
x y x
y
y x y
x
93
= + +
−
= + +
+
65 )
(
185 )
(
2 2 2 2
2 2 2 2
y x y xy x
y x y xy
x
94
= +
=
−
y x
y
x
x y
y
x
3 )
(
2
)
(
95
= +
= +
280
420
2
2
xy x y
xy y x
Trang 8
96
= +
+
= +
+
84
14 2
2 y xy
x
xy
y
x
97
= +
= +
6 3 3
2 5
10
xy y
x
y x
98
= + + +
+
=
− +
−
− +
−
−
−
+
52 4 )
(
4 17
2
2 2
2 2 2
2
2 2
xy x y
x
x
y x x
y x x y x
x
y x
x
99
= + +
= + +
− +
8
1 2
3
1 3
y y x
y x y
x
100
− +
=
+
−
=
−
4 3
3
y x y
x
y x y
x
101
=
−
−
=
−
3
)
( 2 7
3 3
3 2
3 2
y x
xy y x y
x
102
= +
=
+
1
1
2005 2005
2
2
y
x
y
x
103
= +
=
+
1
1
2007 2006
2 2
y x
y
x
104
= +
=
+
1
1
2008 2007
2
2
y
x
y
x
105
= +
=
+
1
1
2008 2008
2 2
y x
y
x
1 Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ:
− +
= +
−
=
+
3 2
1
2
2 2
x
a y
x
Xác định a để tích xy nhỏ nhất?
2 Cho hệ:
= +
+
=
+
4 ) (
) 1(
2
2
2 2
y x
a y
x
Tìm a để hệ có đúng hai nghiệm
3 Cho hệ
= +
= +
+
a y x
a xy y
x
2
2 Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm.
Trang 94 Cho hệ
−
= +
= +
+
8 3
2
x
a xy y
x
Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm
5 Cho hệ
= +
+
= +
+
a xy y x
a xy y
x
2 2
1
Với giá trị nào của a thì hệ có ít nhất một nghiệm thoả điều kiện : x>0 ; y>0
6 Cho hệ
−
−
= +
+
=
+
3 2
1
2 2
x
a y
x
Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với ∀a∈R
7 Cho hệ
+
= +
+
= +
+
1
2
2
x
a xy y
x
Xác định a để hệ có: Nghiệm; nghiệm duy nhất; 4 nghiệm
8 Cho hệ
−
= +
=
+
2 3
4 4
2 2
a y x
a y
x
Tìm a để hệ có nghiệm
9 Cho hệ
= + + + + + + +
= + + +
a y x
x y y x
y x
1 1
1 1
3 1
1
Tìm a để hệ có nghiệm
10 Cho hệ
=
− +
−
− +
+
= +
1 )1 (
1
1 2
x
xy y
x
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
11 Cho hệ
=
− +
=
− + +
a y x
y x
y x y x
2 2
5 2
1 2
Tìm a để hệ có nghiệm
12 Giải và biện luận hệ:
= +
=
+
4 4
x
a y
x
Với a thuộc R
13 Giải và biện luận hệ:
−=
= +
+
a y x
a y
x
3 3
3 3
1
Với a thuộc R
Trang 10II, Hệ ph ơng trình Ba ẩn
α dạng hệ ph ơng trình bậc nhất Ba ẩn: x,y,z.
ph ơng pháp giải :
Rút một ẩn từ một phơng trình nào đó thế vào hai phơng trình còn lại ta đợc hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn,giải hệ này tìm đợc nghiệm thay giá vừa tìm đợc này vào biểu thức rút ra ban đầu để tìm nghiệm.
L u ý:
*) Dạng:
= +
= +
= +
c x z
b z y
a y x
ph
ơng pháp giải : Cộng từng vế các phơng trình ta đợc:
2
c b a z y
lấy biểu thức này trừ lần lợt từng vế cho các phơng trình của hệ ta sẽ đợc nghiệm.
*) Dạng:
=
=
=
c zx
b yz
a xy
ph
ơng pháp giải : Nhân từng vế các phơng trình ta đợc: xyz= ± abc Nếu abc≥
o.Lấy biểu thức này chia lần lợt từng vế cho các phơng trình của hệ ta sẽ đợc hai nghiệm.
Bài Tập
1
=
+
=
+
=
+
29
30
25
x
z
z
y
y
x
2
= +
= +
= + 22 28 16
x z
z y
y x
3
=
+
+
=
+
+
=
+
+
5 2 1
zx
x
z
yz
z
y
xy
y
x
4
−
= + +
−
= + +
−
= + +
xy z
y x z
xz z
y x y
yz x
y x x
6 ) (
3 ) (
2 ) (
5
=
+
+
−
=
+
−
=
−
+
3 7
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
6
−
= + +
−
=
−
−
=
− +
1 4 2
3 3 2 4
13 5 3 2
z y x
z y x
z y x
Trang 11
A) Gi¶i c¸c hÖ ph ¬ng tr×nh sau:
1
=
+
=
+
=
+
z xy
z
y xz
y
x yz
x
2
2
2
2
2
2
2
= + +
= + +
= + +
1 1 1
2 2
2 2
2 2
z y x
z y x
z y x
3
=
+
+
=
+
+
=
+
+
4
1 1
1
3
1 1
1
2
1 1
1
y
x
z
x
z
y
z
y
x
4
= +
= +
= +
3 2 1
x z zx
z y yz
y x xy
5
= +
+
=
−
+
=
+
+
14 7 6
2 2
2 y z
x
xz
yz
xy
z
y
x
6.
+
=
+
=
+
=
1 1 1
2 2 2
x z
z y
y x
7
= + + + +
+
= + + +
+
+
16
771 1 1 1
4
51 1 1 1
2 2 2 2
2
2
z y x z
y
x
z y x
z
y
x
8.
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
0 ) ( ) ( ) (
0
2 2
z z
y
y y
x x
x z
z z y
y y x x
9
= +
+
−
=
−
+
=
+
+
14 1 6
2 2
x
xz
yz
xy
z
y
x
10.
=
− +
=
− +
=
− +
16 ) (
30 ) (
2 ) (
2 3
2 3
2 3
y x z z
x z y y
z y x x
11
+
= + +
+
= +
+
3
1(
) 1 )(
1
)(
1(
3
xyz z
y x
z y
x
12.
= + +
= + +
= + +
1 1 1 1
27 9
z y x
zx yz xy
z y x
13
= +
+
−
=
−
+
= +
+
18 1 4
2 2
2 y z
x
xz yz
xy
z y
x
14:
= + + +
= + + +
= + + +
5 4 3
x z z y
y x x z
z y y x
Trang 1215
= + + +
= + + +
= + + +
0 3 3 2
2
0 3 3 2
2
0 3 3 2
2
2
3
2
3
2
3
x x
y
z z
x
y y
z
16
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
0 8 12 6
0 8 12 6
0 8 12 6
2 3
2 3
2 3
y y z
x x y
z z x
17
=
= +
+
= +
+
6
11
14 2 2
2
xyz
zx
yz
xy
z
y
x
1 Cho (x,y,z) là nghiệm của hệ:
= + +
= +
+
4
1
2 2 2
zx yz xy
z y
x
3
8 , , 3
2 Giải và biện luận hệ:
= + +
= + +
= + +
2
1
m mz y x
m z my x
z y mx
với m là tham số.
3 Giải hệ:
= + +
= + +
= + +
1 0 0
abz cay bcx
cz by ax
z y x
với: a,b,c là các số thực và đôi một khác 0.
4 Giải hệ:
= + +
= + +
= + +
1 0 0
abz cay bcx
cz by ax
z y x
với: a,b,c là các số thực và đôi một khác 0.
5 Giải hệ:
− +
− +
−
= + +
= + +
= + +
) ( ) ( ) ( 0 0
2 2
2 3 3 3
2 2 2
b a c a c b c b a z c y b x a
z c y b x a
cz by ax
với: a,b,c∈ R, đôi một khác 0.
6 Giải hệ:
= + + +
= + + +
= + + +
0 0 0
3 2
3 2
3 2
c z c cy x
b z b by x
a z a ay x
với: a,b,c là các số thực và đôi một khác 0.
Trang 137 Giải hệ:
= + + +
= + + +
= + + +
0 0 0
4 2
4 2
4 2
c z c cy x
b z b by x
a z a ay x
với: a,b,c là các số thực và đôi một khác 0.