Hệ phương trình đại số

Hệ phương trình đại số

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN

I Hệ phương trình đối xứng loại 1:

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng

Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x i bởi x j ; x j bởi x i thì phương trình không thay đổi

Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

x1 + x2 + + xn

x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn

x1x2 x n

Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng

Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét

* Nếu đa thức F(x) = a0x n + a1x n 1 + a n , a0 ≠ 0, a i P có nhgiệm trên P là c1, , c n thì:

1

0

2

0

1 1

0

( 1)

n

n n n

a

a

a

a

a

c c c

a

(Định lý Viét tổng quát)

Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:

A LÝ THUUYẾT

1 Định lý Viét cho phương trình bậc 2:

Nếu phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

1 2

b

a c

P x x

a

Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có 1 2

1 2

x x P thì x1, x2 là nghệm của phương trình X

2

SX + P = 0

2 Định nghĩa:

( , ) 0 ( , ) 0

f x y

g x y , trong đó ( , ) ( , )

( , ) ( , )

f x y f y x

g x y g y x

3.Cách giải:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P

Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý:

+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ

4 Bài tập:

Loại 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 2 2

3 3

30 35

x y xy

GIẢI

Đặt S x y, P xy , điều kiện S2 4P Hệ phương trình trở thành:

2

2

30 P

90

S

íïï = ï

ïî

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

3 3

2

xy x y

GIẢI

Đặt t y S, x t P, xt , điều kiện S2 4P Hệ phương trình trở thành:

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

2 2

2 2

4

4

x y

x y

GIẢI

Điều kiện x 0,y 0

ïç + ÷+ ç + ÷=

ïì

ïç + ÷÷ + ç + ÷÷ =

ï çè ÷ø èç ø÷ ïî

= çç + ÷÷÷+ çç + ÷÷÷ = çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³

2

ïç + ÷+ ç + ÷= ï

ïî

1

x

y

íïï + =

ïïïî

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

4 (2)

GIẢI

Điều kiện ,x y 0 Đặt t xy 0, ta có:

2

xy = t và (2) Þ x+ y = 16- 2t Thế vào (1), ta được:

2

t - 32t + 128 = 8- t Û t = 4 Suy ra:

Loại 2:Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm

Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P (*)

+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

1

1 3

GIẢI

Điều kiện ,x y 0 ta có:

Đặt S = x + y ³ 0, P = xy ³ 0, S2 ³ 4P. Hệ phương trình trở thành:

3

î

Từ điều kiện S³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có 0 m 1

4

Ví dụ 2 Tìm điều kiện m để hệ phương trình

x y xy m có nghiệm thực

GIẢI

î

Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: S P m

ïï

Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2

t - mt + 3m- 9= 0

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm

2

2

-ê

Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 4 1 4

3

GIẢI

Đặt u = x - 4 ³ 0, v = y- 1 ³ 0 hệ trở thành:

2 2

2

ï

Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m

2

Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm

/ 0 3m 13

2

0

2

í

Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2 4 4 10

xy x y m có nghiệm thực

GIẢI

2 2

í

Đặt u = (x + 2)2 ³ 0, v = (y + 2)2 ³ 0 Hệ phương trình trở thành:

(S = u + v, P = uv)

Điều kiện

2

íï ³

ïï

ìï

ï ³

ïïî

Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình

Ví dụ Giải phương trình: 3 3 3

1

2

GIẢI

Đặt:

3

3

Vậy ta có hệ:

3

2

3

2

3 u+v = 2 19 u.v = 36

u, v là hai nghiệm của phương trình: X -2 3X +19 = 0

9+ 5

u = 12

9 - 5

u = 12

3

3

9 + 5

x =

12

9 - 5

x =

12

Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =

;

B BÀI TẬP

I Giải các hệ phương trình sau:

1)

1

1

5 13

30 35

4)

4

5)

18

2 2

1

1

x y

xy

x y

7)

4

4

x y

8)

7 1 78

y x

x xy y xy

4

280

x y

2

II Gải hệ phương trỡnh cú tham số:

1 Tỡm giỏ trị của m:

1

x y xy m cú nghiệm

1

x y xy m cú nghiệm duy nhất

c)

2

4

x y

cú đỳng hai nghiệm

2 x2 xy2 y m

a Giải hệ phương trỡnh khi m = 5

b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm

3

a Giải hệ phương trỡnh khi m = 7/2

b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm

4 x2 xy 2y m 1

a Giải hệ phương trỡnh khi m=2

b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm (x;y) với x >0, y >0

III Giải phương trỡnh bằng cỏch đưa về hệ phương trỡnh:

1 Giải phương trỡnh: 4 x 1 418 x 3

2 Tỡm m để mỗi phương trỡnh sau cú nghiệm:

Phần 3 – Hệ phương trỡnh đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thờm)

a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các ph-ơng trình trong hệ là đối xứng

b Định lý Vi-et cho ph-ơng trình bậc 3:

Cho 3 số x, y, z có:

x + y + z = α

xy + yz + zx = β xyz = γ

Thì x, y, z ;à nghiệm của ph-ơng trình X3

- αX2

Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0

[ X2

- (x + y)X + xy ](X - z) = 0

X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0

X3 - αX2 + βX - γ = 0

(*) có nghiệm là x, y, z ph-ơng trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z

c.Cách giải:

+ Do các ph-ơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đ-ợc d-ới dạng α, β, γ

Khi đó ta đặt

x + y + z = α

xy + yz + zx = β xyz = γ

Ta đ-ợc hệ của α, β, γ

+ Giải ph-ơng trình X3

- αX2

+ βX - γ = 0 (1) tìm đ-ợc nghiệm (x, y, z) của hệ

Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất hệ vô nghiệm

(1) có 1 nghiệm kép duy nhất hệ có nghiệm

(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn hệ có 3 nghiệm

(1) có 3 ngiệm hệ có 6 nghiệm

d Bài tập:

x + y + z = 2

x + y + z = 6

x + y + z = 8

Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx)

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz

Vậy 6 = 22

- 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1

8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2

x, y, z là nghiệm của ph-ơng trình:t3 - 2t2 - t + 2 = 0

t = 1

t = - 1

t = 2 Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1)

VD2: Giải hệ

x + y + z = 9 (1)

xy + yz + zx = 27 (2)

+ + = 1 (3)

Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0 Từ (3) xy + yz + zx = 1

xyz

Do (2) xyz = 27

Vậy hệ

x + y + z = 9

xy + yz + zx = 27 xyz = 27

Do đó (x; y; z) là nghiệm của ph-ơng trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0

(X - 3)3

= 0

X = 3

Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3)

x + y + z = a

x + y + z = a

x + y + z = a

Giải: x2

+ y2

+ z2

= (x + y + z)2

- 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 0

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = 0

Vậy có:

x + y + z = 0

xy + yz + zx = 0 0

xyz

(x; y; z) là nghiệm của ph-ơng trình: X3

- aX2

= 0 X = 0

X = a Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}

e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần l-u ý khi giải hệ loại này

+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đ-a ra đ-ợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó

là hệ quả của hệ nên khi tìm đ-ợc nghiệm nên thử lại

+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo ph-ơng trình cộng, thế

VD:

x + y + z = 9 (1)

xy + yz + zx = 27 (2)

+ + = 1 (3)

Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ

Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4)

Từ (1), (5), (6) ta có: x2

(9 - x) + 27 - 27x = 0

x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0 (x - 3)3 = 0 x = 3 Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: y + z =6

yz = 9 y = z = 3

Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3

II Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2:

1 Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2 hai ẩn:

A Định ghĩa:

( , ) 0 1 ( , ) 0 2

f x y

f y x Cỏch giải: Lấy (1) (2) hoặc (2) (1) ta được: (x y)g(x,y)=0 Khi đú x y=0 hoặc g(x,y)=0

+ Trường hợp 1: x y=0 kết hợp với phương trỡnh (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm

+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trỡnh (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ

phương trỡnh mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thụng thường vụ nghiệm

B Cỏc vớ dụ:

Vớ dụ 1: Giải hệ phương trỡnh

3 3

GIẢI

(x - y)(x + xy + y + 5) = 0

Trường hợp 1: (I)

3

x = 3x + 8y

x = y

x - 11x = 0

x = ± 11

x = y

x = y

Trường hợp 2: (I)

x +xy+y +5=0

x +y =11 x+y (hệ này vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:

(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 4

4

1 1

1 1

GIẢI

Đặt:4x - 1 = u 0; y - 1 = v4 0

Hệ phương trình trở thành

u = 0

v = 0 (Do u, v ≥ 0)

x = 1

y = 1

Vậy hệ có nghiệm (1,1)

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

2

2

a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Giải (I)

2 2

x = ± y

x - y = y - y - x + x

x = y - y + m

x = y - y + m

a) Hệ phương trình có nghiệm

' x ' y

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

' x ' y

' x ' y

Δ = 0

Δ < 0

Δ < 0

Δ = 0

1 - m = 0

- m < 0

1 - m < 0

- m = 0

m = 1

Vậy m = 1

Ví dụ 3: Giải phương trình:x3 1 2 23 x 1

GIẢI

Đặt 3

2x - 1 = t 2x - 1 = t3

Ta có hệ

3

3

x + 1 = 2t

t + 1 = 2x

3

x + 1 = 2t (x - t)(x + xt + t + 1) = 0

3

x - 2x + 1 = 0

x = t

(x - 1)(x + x - 1) = 0

x = t

x = 1

- 1 ± 5

x =

2

Vậy phương trỡnh cú 3 nghiệm: 1; - 1 ± 5

C Bài tập:

1.Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:

a

2

2

x

y

2

2

3 2

3 2

x y

x

y x

y

c

3

3

1 2

1 2

2 Cho hệ phương trỡnh

2

2

a Giải hệ với m = 0

b Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất

3 Tỡm m để hệ:

7 7

y x y my cú nghiệm duy nhất

4 Giải cỏc phương trỡnh: a x2 x 5 5

b x3 3 33 x 2 2

2 Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: (Đọc thêm)

A Dùng chủ yếu là ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng bằng phép cộng và thế Ngoài ra sử dụng

sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải

B Ví dụ:

Giải hệ

2

2

2

x + 2yz = x (1)

y + 2zx = y (2)

z + 2xy = z (3)

Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho t-ơng đ-ơng với hệ

2

2

x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0

Hệ này đ-ơng t-ơng với 4 hệ sau:

x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)

x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)

Giải (I):

(I)

2

x + 2yz = x

2y + z = 0

x = y

2

x + 2yz = x

z = - 2x

x = y

x - 4x = x

z = - 2x

x = y

-1

x = 0 x =

3

z = - 2x

x = y

Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); (-1 -1 2; ;

Làm t-ơng tự (II) có nghiệm (2 -1 -1; ;

-1 2 -1

; ;

Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); (1 1 1; ;

3 3 3)

Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0)

Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên

VD2: Giải hệ ph-ơng trình:

x + y + z = 1

x + y + z = 1

x + y + z = 1

Giải: Hệ

x + y + z = 1 (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0

y=z (I) y = z (II)

z + y - 1 = 0 (III) z + y -

x = z

1 = 0 (IV)

x + z - 1 = 0

Giải các hệ bằng ph-ơng pháp thế đ-ợc 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); 1 1 1; ;

2 2 2

VD4: Giải hệ:

2 2 2

1 1 1

Giải: Xét hai tr-ờng hợp sau:

TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau:

Giả sử x=y có hệ

2 2 2

1 1 1

Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là : 1 5 1; 5 1; 5 ; 1 5 1; 5 1; 5

T-ơng tự y=z, z=x ta cũng đ-ợc nghiệm nh- trên

TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau

Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2

trên D = 1;

a) z 0 , x>y>z 0 f(x)>f(y)>f(z) y+1>z+1>x+1 y>x>z(vô lý) b) z<y<x 0 f(x)<f(y)<f(z) y+1<z+1<x+1 y<z<x(vô lý)

c) x>0>z>-1 f(-1)>f(z) 1>x+1 x<0 (vô lý) Vậy điều giả sử là sai

TH2 vô nghiệm

VD5:

2 2 2

2

2

2

x x y y

y y z z

z z x x

Giải:

TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau

Giả sử x = y ta có hệ

3

2

2

Từ (1) x = 0, x = -1

x = 0 Thay vào (2), (3) z=0

x = -1 Thay vào (2), (3) vô lý

Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)

Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0)

TH2: 3 số đôi 1 khác nhau

Từ 2x + x2

y = y thấy nếu x2

= 1 ± 2 = 0 (vô lý)

Vậy x2

≠ 1 2x + x2

1

x y

x

Hai ph-ơng trình còn lại t-ơng tự ta có hệ ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với:

2

2

2

2 1 2 1 2 1

x y

x y z

y z x z

Giả sử x > y > z (*) Xét hàm số:

f(t) = 2 2

1

t

t xác định trên D = R\ { 1}

f’

(t) =

2

2 2

0

t

hàm số đồng biến trên D

f(x) > f(y) > f(z)

y > z > x mâu thuẫn với (*)

Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z nh- nhau

Vậy TH2 - hệ vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0)

C Bài tập

1

2 2 2

H-ớng dẫn: Đặt

2

2 2

Đ-a về giải hệ

2 2 2

3

xyz x y z

yzt y z t

ztx z t x

txy t x y

2

2

2

2

2

2

2 1 2 1 2 1

x y x y z y z x z

III Hệ phương trỡnh đẳng cấp:

,

G x y B, trong đú F kx ky, k F x y n , ;G kx ky, k G x y m ,

2 Cỏch giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0)

3 Vớ dụ:

Giả hệ phương trỡnh:

GIẢI + Với x = 0: Hệ phương trỡnh đó cho vụ nghiệm

+ Với x ≠ 0: Đặt y = tx Hệ phương trỡnh tương đương với

Lấy (1) (2) ta được:

15t2 13t+2=0 2

3

5

t

Với 2

3

t : ta cú 3

2

y x, thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), ( 3;2)

Với 1

5

t : ta cú 1

5

y x, thay vào (*) ta được nghiệm 5 2; 2 , 5 2; 2

4 Bài tập:

Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:

1)

3 2

IV Một số hệ phương trình khác:

Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải

1

2 2 2

x y

HD: Biến đổi phương trình xy x y x2 2y2 (x + y)(x 2y 1) = 0 ĐS: x = 5; y = 2

2

4 3 2 2

2

x y

HD: Biến đổi hệ phương trình thành:

2 2

2

2

4

3

4 2

5 4 5

1 2

4

HD: Biến đổi hệ phương trình thành:

2 2

5 4 5

4

Đặt:

2

ĐS:

3

3

5

1 4

3 25

2 16

y y

4

3

1

y x

2 2

1

25

y x

y

HD: Tìm cách khử logarit để được: 3

4

y

6

3

2

2 2

7

2

2

2

2

2 3

2 3

y

y

x

x

x

y

8

HD: Đặt t xy , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm được t=3 ĐS: 3;3

10

5

Tìm m để hệ phương trình này có nghiệm thực

HD: Đặt u x 1,v y 1