Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ chính xác 0, 5% thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu phần trăm.. Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với[r]
Trang 1BỘ MÔN TOÁN
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
HÀ NỘI – 2018
Trang 2CHƯƠNG 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
Bài tập Cơ bản
Bài 1 Trong hộp có5bi xanh và9bi đỏ Lấy ngẫu nhiên ra ba viên bi Tính xác suất để
1 lấy được ba viên bi cùng màu
2 lấy được cả hai loại bi
Bài 2 Hộp1có6bi xanh,4bi đỏ; hộp2có5bi xanh và7bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp hai viên
bi Tính xác suất để
1 lấy được bốn viên bi cùng màu
2 lấy được3bi xanh và1bi đỏ
3 lấy được2bi xanh và2bi đỏ
Bài 3 Trong hộp có8chính phẩm và4phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm Tính xác suất để hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm
Bài 4 Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng mục
tiêu tương ứng là0,6và0,7 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom
Bài 5 Trong một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 9 bi vàng.
1 Lấy ngẫu nhiên ra đồng thời 2 viên bi Tính xác suất lấy được 2 bi khác màu
2 Lấy ngẫu nhiên ra đồng thời 3 viên bi Tính xác suất lấy được 3 bi cùng màu
Bài 6 Gieo đồng thời 2 con xúc xắc (cân đối, đồng chất) Tính xác suất:
1 được ít nhất một mặt 6
2 được tổng số chấm lớn hơn 9
3 được hiệu số chấm là 2
4 xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt 4
5 xúc xắc 2 ra mặt lẻ, biết rằng xúc xắc 1 đã ra mặt chẵn
Bài 7 Trong hộp có 8chính phẩm và 4phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm (không hoàn lại) Tính xác suất để
Trang 31 hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
2 lần thứ hai lấy được phế phẩm, biết rằng lần đầu được chính phẩm
Bài 8 Một mặt hàng điện tử có xác suất bị hỏng trong thời gian bảo hành là 20% Siêu thị đã bán ra
25 sản phẩm đó Tính xác suất
1 có từ 5 đến 7 sản phẩm phải mang đi bảo hành
2 có không quá 4 sản phẩm phải bảo hành
Bài 9 Có3hộp giống nhau:
Hộp thứ nhất đựng10sản phẩm, trong đó có6chính phẩm
Hộp thứ hai đựng15sản phẩm, trong đó có10chính phẩm
Hộp thứ ba đựng20sản phẩm, trong đó có15chính phẩm
Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm
1 Tính xác suất lấy được chính phẩm
2 Giả sử lấy được chính phẩm Tính xác suất để chính phẩm đó được lấy ra từ Hộp thứ nhất
3 Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm thì xác suất lấy được phế phẩm đó từ hộp nào là lớn nhất?
Bài 10 Có hai hộp đựng bi:
Hộp1có10bi xanh và3bi đỏ Hộp2có8bi xanh và6bi đỏ
Từ hộp1lấy ngẫu nhiên một viên bi và bỏ vào hộp2
1 Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp2được bi đỏ
2 Biết rằng đã lấy được 2 bi đỏ Tính xác suất bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là bi xanh
3 Giả sử bi lấy ra được từ hộp2là bi xanh Tính xác suất bi lấy từ hộp1sang hộp2là bi đỏ
Bài tập Nâng cao
Bài 11 Trong hộp có10sản phẩm, trong đó có đúng4sản phẩm tốt Một người lấy lần lượt từng sản phẩm (không hoàn lại) đến khi được ba sản phẩm tốt thì dừng lại Tính xác suất để:
1 người đó dừng lại sau lần lấy thứ ba
2 người đó dừng lại sau lần lấy thứ tư
3 lần thứ hai lấy được sản phẩm xấu, biết rằng người đó dừng lại sau lần thứ tư
Trang 4Bài 12 Trong một cuộc hội thảo có 100 người tham dự Có 18 người biết tiếng Anh và tiếng Pháp; có
15 người biết tiếng Pháp và tiếng Đức; có 12 người biết tiếng Đức và tiếng Anh; chỉ có 4 người biết cả
3 thứ tiếng Anh, Pháp, Đức; có 2 người chỉ biết tiếng Anh; có 3 người chỉ biết tiếng Pháp; có 1 người chỉ biết tiếng Đức; số còn lại chỉ biết tiếng Việt
1 Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất người đó chỉ biết tiếng Việt
2 Chọn ngẫu nhiên 2 người, tính xác suất trong đó có đúng 1 người biết tiếng Đức
3 Chọn ngẫu nhiên 3 người, tính xác suất trong đó có đúng 2 người chỉ biết thêm một ngoại ngữ, người còn lại không biết ngoại ngữ nào
Bài 13 Có3người muốn đi xem bóng đá nhưng chỉ có2vé Họ tổ chức bốc thăm lần lượt với hai thăm "có" và một thăm "không" Hỏi cách làm vậy có công bằng hay không? Hãy giải thích?
Bài 14 Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn thể thao, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển
gồm 3 vòng Vòng thứ nhất lấy80%thí sinh, vòng thứ hai lấy70%thí sinh đã qua vòng thứ nhất, vòng thứ ba lấy45%thí sinh đã qua vòng thứ hai
1 Tính xác suất để một thí sinh bất kì được vào đội tuyển
2 Biết một thí sinh đã bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại ở vòng thứ hai
Bài 15 Một lô sản phẩm gồm5thùng loại một và3thùng loại hai Mỗi thùng đều có10sản phẩm Mỗi thùng loại một có2phế phẩm, mỗi thùng loại hai có4phế phẩm Chọn ngẫu nhiên một thùng trong lô sản phẩm đó và từ đó lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm để kiểm tra
1 Tính xác suất lấy được cả hai chính phẩm
2 Giả sử đã lấy được hai chính phẩm Khi đó khả năng hai chính phẩm này thuộc thùng loại hai
là bao nhiêu phần trăm?
Bài 16 Có hai thùng đựng sản phẩm Thùng I có12sản phẩm, trong đó có4phế phẩm; Thùng II có
15sản phẩm, trong đó có5phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ Thùng II bỏ sang Thùng I Sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ Thùng I ra kiểm tra thì được phế phẩm Tính xác suất để sản phẩm bỏ từ Thùng II sang Thùng I là chính phẩm
Bài tập Củng cố
Bài 17 Một người bắn liên tiếp6viên đạn vào bia, xác suất trúng bia của mỗi viên đạn là0,8 Tính xác suất để
1 bia bị trúng đúng3phát
Trang 52 bia bị trúng đạn.
Bài 18 Có 8 người, mỗi người đều gieo 2 đồng xu cùng 1 lúc Nếu một người gieo được 1 đồng sấp, 1
đồng ngửa thì gọi là “người may mắn” Tính xác suất
1 có đúng 3 người may mắn
2 có ít nhất 1 người may mắn
Bài 19 Một người gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc (cân đối, đồng chất) bốn lần liên tiếp.
1 Tính xác suất được ít nhất một lần xuất hiện mặt1chấm
2 Giả sử người đó gieo8đợt, mỗi đợt4lần như trên Tính xác suất có đúng ba đợt không ra mặt1
chấm nào
Bài 20 Một cuộc điều tra trong thành phố X đối với các hộ gia đình sử dụng dịch vụ truyền hình cáp
và internet, có30%hộ sử dụng truyền hình cáp, 20%hộ sử dụng internet và15% hộ sử dụng cả hai dịch vụ trên Điều tra ngẫu nhiên một hộ gia đình, tính xác suất để hộ này:
1 Không sử dụng dịch vụ nào
2 Không dùng internet, biết người này đã dùng truyền hình cáp
Bài 21 Có2máy cùng sản suất một loại sản phẩm Máy thứ nhất cung cấp được70%sản lượng, máy thứ hai cung cấp được30% sản lượng Khoảng80% sản phẩm sản suất bởi máy1và 90%sản phẩm sản suất bởi máy2là đạt yêu cầu
1 Hỏi trung bình cả hai máy sản suất được bao nhiêu phần trăm sản phẩm đạt yêu cầu?
2 Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thấy nó đạt yêu cầu Tính xác suất để sản phẩm đó là do máy
1sản suất
3 Giả sử lấy được 1 sản phẩm không đạt yêu cầu Theo anh/chị thì sản phẩm này do máy nào sản suất ra?
Bài 22 Một trường THPT có tỉ lệ học sinh học ở các khối như sau: Khối 10 là30%, Khối 11 là25%, Khối 12 là45%
Biết rằng tỉ lệ học sinh giỏi của Khối 10 là5%, Khối 11 là6%, Khối 12 là4%
1 Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường Tính xác suất để đó là một học sinh giỏi
2 Giả sử đã chọn ngẫu nhiên được một học sinh giỏi Tính xác suất để học sinh đó học lớp 11
3 Nếu chọn ngẫu nhiên được một em học sinh không phải là học sinh giỏi thì khả năng em này học lớp mấy là cao nhất?
Trang 6CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Bài tập Cơ bản
Bài 23 Cho biến ngẫu nhiên rời rạcX có bảng phân phối xác suất:
x −2 −1 1 2
P [X = x] 0,2 0,3 0,4 0,1
1 TínhP [X > 0]
2 TínhP [|X − 1| ≤ 2]
3 Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênY = 3 − X
4 Tính kỳ vọng và phương sai củaX
5 Lập hàm phân phối xác suất củaX
Bài 24 Cho biến ngẫu nhiênX với bảng phân phối xác suất:
x 2 4 6
P [X = x] 0, 2 0,6 0,2
1 Tìm kỳ vọng và phương sai củaX
2 ĐặtY = 3X + 4 Tìm kỳ vọng và phương sai củaY
3 ĐặtZ = |X − 4| Tìm kỳ vọng và phương sai củaZ
Bài 25 Một thùng chứa10chính phẩm và2phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra2sản phẩm Gọi X là số chính phẩm lấy được
1 Lập bảng phân phối xác suất củaX
2 Lập hàm phân phối xác suất củaX
3 TínhP [X2< 3]
4 Tính kỳ vọng, phương sai củaX
5 Tìmmod (X )vàmed (X )
6 ĐặtY = max ©X , X2ª Tính kỳ vọng củaY
Trang 7Bài 26 Biến ngẫu nhiênX có hàm mật độ f (x) =
c x2+ x nếu 0 ≤ x ≤ 1
0 nếu x 6∈ [0,1].
1 Tìmc
2 Tính kỳ vọng, phương sai củaX
3 Lập hàm phân phốiF (x)củaX
4 Tìmmed (X )
Bài 27 Biến ngẫu nhiênX có hàm mật độ f (x) =
x2+ kx nếu 0 < x < 1
0 nếu x 6∈ (0,1).
1 Tìmk
2 Tính kỳ vọng, phương sai củaX
3 Lập hàm phân phốiF (x)củaX
4 Tìmmed (X )
Bài 28 Biến ngẫu nhiênX có hàm mật độ f (x) =
k
x2 nếu 1 ≤ x ≤ 3
0 nếu x 6∈ [1,3].
1 Tìmk
2 TìmE [X ], E [5X − 2], E[X2+ 3X ]
3 TínhE [Y ]biết rằngY = X3+ 1
X
4 Tìmmed (X )
Bài 29 Cho hàm phân phối của biến ngẫu nhiên liên tụcX có dạng:
F (x) =
0 nếu x ≤ 0
ax2 nếu0 < x ≤ 1.
1 nếu x > 1
1 Tìma
2 Lập hàm mật độf (x)
3 Tìm xác suất đểX nhận giá trị trong khoảng(0,25; 0,75)
Trang 8Bài 30 Tuổi thọ (năm) của một mạch điện tử trong máy tính là một đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối mũ với kỳ vọng là6,25 Thời gian bảo hành của mạch điện tử là5năm Hỏi có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành?
Bài 31 Cho biến ngẫu nhiênX có phân phối chuẩn vàX ∼ N (300,502)
1 TínhP [X > 362]
2 TínhP [X ≤ 250
3 TínhP [275 < X ≤ 350]
Bài tập Nâng cao
Bài 32 Cho hàm số f (x) =
0 nếu x < 0
4x nếu 0 ≤ x <1
2
2< x < 1
0 nếu x ≥ 1.
1 Chứng minh f (x)là hàm mật độ của một bnnX
2 Tìm hàm phân phối xác suất củaX
3 TínhP· 1
4< X <3
5
¸
theo hai cách
4 Tìm kỳ vọng, phương sai và mode củaX
5 ĐặtY = 3X + 8, tínhE [Y ]
6 ĐặtZ = max{X , 1}, tínhE [Z ]
Bài 33 Cho hàm số f (x) =
0 nếu x < 0
x nếu 0 ≤ x <1
2 3
2≤ x <3
2
2< x < 2
0 nếu x ≥ 2.
1 Chứng minh f (x)là hàm mật độ của một bnnX
2 Tìm hàm phân phối xác suất củaX
3 TínhP· 5
4< X ≤7
4
¸
theo hai cách
Trang 94 Tìm kỳ vọng, phương sai và mode củaX.
Bài 34 Cho đại lượng ngẫu nhiênX có hàm mật độ f (x) =
a
x3 khix > 1
0 khix ≤ 1.
1 Tìm hằng sốa
2 Tìm hàm phân phối xác suấtF (x)củaX
Bài 35 Cho biến ngẫu nhiênX tuân theo luật phân phối chuẩnN (µ;σ2) Biết rằng X lấy giá trị nhỏ hơn60với xác suất0,1003và lấy giá trị lớn hơn90với xác suất0,0516
1 Tínhµvàσ
2 TínhP [68 < X < 75]
Bài 36 Chiều cao của loại câyT sau khi trồng được 3 năm ở một vùng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn vớiµ = 5(mét) và độ lệch chuẩnσ = 0,4(mét)
1 Chọn ngẫu nhiên 1 cây loại đó Tính xác suất chọn được cây có chiều cao từ5, 1đến5, 35(mét)? item Cây được xem là phát triển tốt nếu có chiều cao trên5, 2(mét) Chọn ngẫu nhiên 20 cây, tính xác suất có từ 15 đến 18 cây phát triển tốt
Bài tập Củng cố
Bài 37 Một lớp học40học sinh có tỉ lệ học sinh chăm chỉ là0,4 Chọn ngẫu nhiên3học sinh, gọi X
là số học sinh chăm chỉ Lập bảng phân phối củaX Trung bình chọn được bao nhiêu học sinh chăm chỉ?
Bài 38 Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên bốn phát đạn vào bia với khả năng trúng hồng tâm mỗi lần đều
bằng0,8 Tìm qui luật phân bố xác suất cho số viên đạn bắn trúng hồng tâm Trung bình xạ thủ này bắn trúng mấy phát?
Bài 39 Trọng lượng của một con gà6tháng tuổi là một đại lượng ngẫu nhiênX (đơn vị: kg) với hàm mật độ
f (x) =
k(x2− 1) nếu2 ≤ x ≤ 3
0 vớixcòn lại
1 Tìmk Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn củaX
2 Lập hàm phân phối củaX
Trang 10Bài 40 Biến ngẫu nhiênX có hàm mật độ f (x) =
x3+ kx2 nếu0 ≤ x < 1
0 nếux < 0hoặcx ≥ 1.
1 Tìmk và tính kỳ vọng củaX
2 Tìmmed (X )
Bài 41 Biết rằng X là biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị là{1; 3; 6} với các xác suất P (X = 3) =
2P (X = 6)vàP (X = 1) = 0,1
1 Lập bảng phân phối xác suất củaX
2 Lập hàm phân phối xác suất củaX
3 TínhP £X2≥ 7¤
4 Tính kỳ vọng, phương sai củaX
5 Tìmmod (X )vàmed (X )
6 ĐặtY = 2X2− 3X + 4 Tính kỳ vọng củaY
Bài 42 Thời gian để sản xuất một sản phẩm loại Alà một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với các tham sốµ = 10vàσ = 1(đơn vị là phút) Tính xác suất để một sản phẩm loại A được sản xuất
1 trong khoảng thời gian trên11phút
2 trong khoảng thời gian từ9phút đến12phút
Bài 43 Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn với kỳ vọng20
mm; phương sai0,04 Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết thì được chi tiết
1 có đường kính trong khoảng19,9mm đến20,3mm
2 có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá0,3mm (các chi tiết như vậy được gọi là chi tiết loạiA)
3 Một xưởng chế tạo mua ngẫu nhiên20chi tiết máy trên về để sử dụng Tính xác suất xưởng đó mua được trên17chi tiết loạiA
Bài 44 Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn vớiµ = 20
kg vàσ2= 1,44kg2 Sản phẩm được xem là đạt chuẩn nếu có trọng lượng từ19,5kg đến21kg
1 Tính tỉ lệ sản phẩm đạt chuẩn của sản phẩm trên
Trang 112 Một khách hàng mua ngẫu nhiên20sản phẩm, tính xác suất để trong đó có đúng7sản phẩm đạt chuẩn
3 Một khách hàng khác mua ngẫu nhiên10sản phẩm, tính xác suất để trong đó có không dưới8
sản phẩm đạt chuẩn
Trang 12CHƯƠNG 3 MẪU THỐNG KÊ VÀ BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Bài tập Cơ bản
Bài 45 Hàm lượng kẽm trung bình thu được khi đo ở36địa điểm khác nhau trên một dòng sông là
2,6gam/mi-li-lít Biết rằng độ lệch chuẩn của tổng thể là0,3
1 Hãy tìm các khoảng tin cậy95%cho hàm lượng kẽm trung bình trong dòng sông đó
2 Muốn sai số của ước lượng không vượt quá0, 05thì cỡ mẫu tối thiểu là bao nhiêu?
Bài 46 Thống kê tuổi thọ của256bóng đèn do một nhà sản xuất, ta có bảng thống kê:
Tuổi thọ (giờ) Số bóng Tuổi thọ (giờ) Số bóng
Với độ tin cậy95,6%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn này
Bài 47 Một mẫu được lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với số liệu:
Tìm khoảng tin cậy95%cho giá trị trung bình của tổng thể
Bài 48 Gieo thử400hạt giống thì thấy20hạt không nảy mầm
1 Tỉ lệ hạt giống không nảy mầm là bao nhiêu với độ tin cậy90%? Trong trường hợp này sai số là bao nhiêu?
2 Để sai số của ước lượng thấp hơn1%thì số lượng hạt gieo thử ít nhất là bao nhiêu (độ tin cậy
90%)?
Bài 49 Một giống lúa mới được gieo trong10miếng đất thí nghiệm có các điều kiện giống nhau, cho sản lượng tính theo cùng một đơn vị như sau:
Trang 13Biết rằng sản lượng lúa là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩnN ( µ,σ2) Hãy tìm khoảng tin cậy90%
choσ2
Bài 50 Khối lượng một loại sản phẩm có phân phối chuẩn Cân ngẫu nhiên25sản phẩm loại đó thu được bảng số liệu:
Khối lượng (gam) 29,3 29,7 30,0 30,5 30,7
Số sản phẩm 4 5 8 5 3
1 Tìm ước lượng không chệch cho phương sai của khối lượng loại sản phẩm này
2 Với độ tin cậy98%, tìm khoảng tin cậy cho phương sai của khối lượng loại sản phẩm đó
Bài tập Nâng cao
Bài 51 Lô trái cây của một chủ hàng được đựng trong các sọt, mỗi sọt100quả Người ta tiến hành kiểm tra50sọt thấy có450quả không đạt tiêu chuẩn
1 Ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy95%
2 Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ chính xác0, 5%thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu phần trăm?
3 Muốn ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy99%và độ chính xác1%thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt?
Bài 52 Để ước lượng số cá trong hồ, người ta bắt 2000con, đánh dấu rồi thả xuống Vài ngày sau người ta lại bắt lên400con thì thấy có80con đánh dấu Với độ tin cậy95%, có thể nói số cá trong hồ
là khoảng bao nhiêu con?
Bài 53 Để ước lượng xác suất mắc bệnh A với độ tin cậy 95% và sai số không vượt quá 1% thì cần phải khám tối thiểu bao nhiêu người? Biết rằng tỷ lệ mắc bệnhAthực nghiệm cho bằng 0,9
Bài tập Củng cố
Bài 54 Điều tra năng suất lúa trên100ha trồng lúa của một vùng, thu được bảng số liệu:
Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54
Diện tích (ha) 10 20 30 15 10 10 5
1 Tìm ước lượng không chệch của năng suất lúa trung bình
