xác suất thống kê

báo cáo khoa học về xác suất thống kê

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

February 28, 2011

Các công thức tính xác suất

Công thức cộng

Công thức xác suất có điều kiện

Công thức nhân

Công thức Bernoulli

Công thức xác suất đầy đủ

Công thức Bayes

Công thức cộng

Định nghĩa (Với 2 biến cố bất kỳ)

P(A + B) = µ(µ(Ω)A∪B) =µ(A)+µ(B)−µ(AB)µ(Ω) =P(A) + P(B) − P(AB)

Định nghĩa (Với 2 biến cố xung khắc)

A, B xung khắc ⇔ A, B không thể đồng thời xảy ra ⇔ A.B = ∅ Khi đó:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(∅) ⇔ P(A + B) = P(A) + P(B)

Công thức cộng

Định nghĩa (Với n biến cố xung khắc từng đôi)

A1,A2, ,A n xung khắc từng đôi⇔ A i.A j= ∅ (i 6= j)

Khi đó:

P(A1+A2+ · · · +A n) =P(A1) +P(A2) + · · · +P(A n)

Định nghĩa (Công thức bù)

A là bc bù của A Ta có:



A + A = Ω

A.A = ∅

Khi đó:P(A + A) = P(A) + P(A) ⇔ P(Ω) = P(A) + P(A) Vậy: P(A) + P(A) = 1

Công thức cộng

Ví dụ:

Một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp Tính xác suất:

a Lấy được 2 bi đỏ

b Lấy được ít nhất 1 bi đỏ

Công thức xác suất có điều kiện

Định nghĩa

P(B/A) là xác suất để bc B xảy ra, biết rằng bc A đã xảy ra.

Ta có:

P(B/A) = µ(A ∩ B)

µ(A) =

P(AB) P(A)

Tương tự: P(A/B) = P(AB) P(B)

Ví dụ:

Một hộp có 10 phiếu trong đó có 3 phiếu trúng thưởng Hai người rút ngẫu nhiên lần lượt mỗi người một phiếu không hoàn lại từ hộp Tính xác suất để người thứ hai rút được phiếu trúng thưởng, biết rằng người thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng

Công thức nhân

Định nghĩa (Với 2 biến cố bất kỳ)

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Định nghĩa (Với 2 biến cố độc lập)

Hai bc độc lập ⇔ Một trong hai bc xảy ra không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của bc còn lại.

A,B độc lập nhau ⇔ P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A)

Khi đó:

P(AB) = P(A).P(B)

Công thức nhân

Định nghĩa (Với n biến cố độc lập)

Cho A1,A2, ,A n độc lập với nhau Khi đó:

P(A1.A2 .A n) =P(A1).P(A2) P(A n)

Công thức nhân

Ví dụ:

Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập Trong một ngày làm việc xác suất để các máy này bị hỏng tương ứng là 0,1 và 0,05 Tính xác suất trong một ngày làm việc:

a Phân xưởng có 2 máy hỏng

b Phân xưởng có ít nhất 1 máy hỏng

Công thức Bernoulli

Định nghĩa

Xét n phép thử độc lập, ở mỗi phép thử bc A xảy ra với xác suất bằng p là hằng số.

Khi đó, xác suất để bc A xảy ra k lần trong số n lần thử được kí hiệu là B(k; n; p) (0 ≤ k ≤ n)

B(k; n; p) = C k n p k q n−k, q = 1 − p

Công thức nhân

Ví dụ:

Trong trò chơi Tài Xỉu, xác suất để người chơi trúng ở mỗi lần chơi là 35

72 Tính xác suất:

a Trong 8 lần chơi có 4 lần trúng

b Trong n lần chơi có ít nhất 1 lần trúng

c Cần chơi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1 lần trúng không dưới 99%

Công thức xác suất đầy đủ

Định nghĩa

A1,A2, ,A n được gọi là một phép phân hoạch của Ω

⇔



A1+A2+ +A n= Ω

A i.A j= ∅ (i 6= j)

Khi đó, với B là một bc bất kỳ, ta có:

P(B) = P(B.Ω) = P(B.(A1+A2+ +A n))

=P(BA1+BA2+ +BA n) =P(BA1) +P(BA2) + +P(BA n)

Vậy:

P(B) = P(A1)P(B/A1) +P(A2)P(B/A2) + +P(A n) P(B/A n)

Công thức xác suất đầy đủ

Ví dụ:

1 Có 2 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó hộp thứ i có 2i phế phẩm (i=1;2) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp từ đó lấy ra 2 sản phẩm Tính xác suất:

a Lấy được 2 chính phẩm

b Lấy được ít nhất 1 chính phẩm

2 Một hộp có 10 phiếu trong đó có 3 phiếu trúng thưởng Hai người rút ngẫu nhiên lần lượt mỗi người một phiếu không hoàn lại từ hộp Tính xác suất để người thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng, biết rằng người thứ hai rút được phiếu trúng thưởng

Công thức Bayes

Định nghĩa

Xét một phép phân hoạch n bc A1,A2, ,A n của Ω Giả sử bc B đã xảy

ra, khi đó xác suất để bc A i xảy ra là:

P(A i/ B) = P(A i B)

P(B) =

P(A i).P(B/A i)

P(B) với P(B) = P(A1)P(B/A1) +P(A2)P(B/A2) + +P(A n)P(B/A n)

Công thức xác suất đầy đủ-Công thức Bayes

Ví dụ:

1 Một nhà máy có 3 dây chuyền sản xuất, cung ứng lần lượt 40%, 35% và 25% tổng sản phẩm Tỉ lệ phế phẩm của các dây chuyền tương ứng là 1%, 1,25% và 1,5% Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy

a Tính xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm

b Biết rằng đó là một phế phẩm, hỏi khả năng phế phẩm này được sản xuất từ dây chuyền nào là cao nhất?