xác suất thống kê - biến ngẫu nhiên

luận văn về xác suất thống kê - biến ngẫu nhiên

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

February 28, 2011

Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên là một phépï tương ứng mỗi phần tử ω của Ω với một số thực.

Tập giá trị của X được kí hiệu là X(Ω)

Ví dụ:

X(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

có X(Ω) = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

Phân loại biến ngẫu nhiên

Dựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu nhiên làm 2 loại:

Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên rời rạc)

Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.

X là bnn rời rạc ⇔ X(Ω) = {x1,x2, ,x n} hoặc

X(Ω) = {x1,x2, ,x n, }

Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên liên tục)

Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập vô hạn không đếm được, được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

Phân loại biến ngẫu nhiên

Ví dụï:

xắc Ta có X(Ω) = {3 18}.

đến 1,2m so với một mốc cố định Gọi X là mực nước biển (m) ở

khu vực đó tại một thời điểm ngẫu nhiên Khi đó X(Ω) = [1; 1, 2].

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa

Phân phối xác suất của X còn được gọi là bảng phân phối xác suất của

X, cho biết khả năng X nhận mỗi giá trị trong X(Ω) tương ứng.

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Tính chất (1)

X

i

Tính chất (2)

a≤x i<b

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ:

từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra Gọi X là số phế phẩm lấy được a) Tìm phân phối xác suất của X

b) Tính P(1 ≤ X ≤ 2).

thì dừng Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném bóng vào rổ ở mỗi lần ném là 0,3 Gọi X là số lần người đó đã ném a) Tìm phân phối xác suất của X

b) Tính xác suất người đó phải ném ít nhất 3 lần

Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

(Trường hợp liên tục)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X được đặc trưng bởi hàm mật độ xác suất f(x) có các tính chất sau:

f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R

+∞

Z

−∞

f(x)dx = 1.

P(a ≤ X ≤ b) =

b

Z

a f(x)dx.

Biến ngẫu nhiên liên tục

Phân phối xác suất

Ví dụ:

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:

f(x) =



a) Xác định c

2)

Biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất

Định nghĩa (Hàm phân phối xác suất)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là FX(x) hay F(x), là hàm được xác định bởi:

F(x) = P(X < x), x ∈ R

Hàm phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận giá trị bên trái x Nếu X là bnnrr thì

x i<x

x i<x

p i

Nếu X là bnnlt thì F(x) =

x

R

−∞

f(t)dt.

Biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất

Ví dụ:

a) Tìm hàm phân phối xác suất của X

b) Vẽ đồ thị của hàm phân phối xác suất vừa tìm được

f(x) =



Biến ngẫu nhiên

Hàm phân phối xác suất

Tính chất (1)

X là bnn liên tục ⇔ F(x) liên tục trên R.

Tính chất (2)

F(−∞) = 0, F(+∞) = 1.

Tính chất (3)

P(a ≤ X < b) = P(X < b) − P(X < a) = F(b) − F(a).