Xác suất thống kê

+ Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu.. + Biến cố sơ cấp: Là tập con chỉ có đúng một phần tử.. Lấy một viên không hoàn lại, lấy tiếp viên nữa.. Lấy từng viên một liên tíêp hai lần

Chuyên đề IX: Xác suất:

Lý thuyết:

1 Phép thử và biến cố - sự kiện:

+ Phép thử ngẫu nhiên: Việc thực hiện một số điều kiện nào đó

+ Không gian mẫu: Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra VD: Gieo hai con xúc xắc ⇒ KGM có 62 = 36 phần tử + Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu

+ Biến cố sơ cấp: Là tập con chỉ có đúng một phần tử VD trên: {1}; {5}

+ Biến cố chắc chắn, biến cố không thể có Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố bù, biến cố xung khắc

2 Biến cố sơ cấp đồng khả năng - xác xuất: P(A) = m

n (m - số phần tử của tập A, n- số PT của mẫu)

+ Các tính chất: 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Φ) = 0; P(E) = 1; P(A U B) = P(A) + P(B) nếu A, B xung khắc

+ Định lý cộng: P( A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

3 Xác suất có điều kiện (Định lý nhân): PA(B) = P(B/A) = P A B

P A

( )

∩

⇔ P(A ∩B) = PA(B).P(A)

Bài tập:

1 a ĐH Cần Thơ 96 (A + B):

Bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ Lấy một viên không hoàn lại, lấy tiếp viên nữa Tính XS:

+ Lần thứ nhất đợc bi xanh, lần hai đợc bi đỏ: p = 5

8

3 7

+ Lần hai đợc bi xanh: p = 5

8

4 7

3 8

5 7 +

b ĐH Cần Thơ 96 (D): Bình đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ Lấy hai viên bi đồng thời Tính xác suất để:

+ Đợc 2 bi xanh: p = C C

C

4

2 3 0

7 2

.

+ Hai bi đỏ (Tơng tự) + Hai bi khác màu: p = 2 41

3 1

7 2

C

c ĐH Nông Nghiệp I 96: Bình đựng 5 bi xanh, 3 bi vàng, 4 bi trắng Lấy ngẫu nhiên 3 bi Tính xác suất:

1 A = “ Đợc 3 bi xanh” ⇒ P(A) = C C C

C

5

3 3

0 4 0

12 3

2 B = “ ít nhất có một bi vàng” ⇒ P(B) = 1 - C

C

9 3

12 3

3 C = “ 3 bi cùng màu” ⇒ P(C) = C C C

C

5

3 3

3 4 3

12 3

+ +

d ĐH An Ninh (C) 97: Thùng 20 bi = 12 đỏ + 8 xanh Lấy 3 viên bi

1 Cả 3 viên đỏ 2 Cả 3 viên xanh 3 Có ít nhất một viên đỏ Bạn tự giải tiếp

e SHSP 2 97: Thùng kín có 10 bi = 7 xanh + 3 ẵị Lấy 3 viên bi Tính xác suất để:

1 Có 2 viên xanh 2 Lấy từng viên một liên tíêp hai lần Tính xác suất đợc bi đỏ lần một, bi xanh lần hai

f TCKT 98: Thùng kín có 7 bi = 4 xanh + 3 ẵị Lấy 3 viên bi Tính xác suất đợc:

+ 2bi đỏ và 1 bi xanh + Cả ba bi xanh

g ĐH TCKToán 96: Bình đựng 5 bi đen và 7 bi trắng 1 Lấy 3 bi Tính xác suất có 2 bi trắng ⇒ p = C C

C

7

2 5 1

12 3

.

2 Lấy không hoàn lại hai lần, mỗi lần một bi Tính xác suất bi 1 trắng và bi 2 đen: p = 7

12

5 11

2 a ĐH Đà Nẵng 96: Hai máy điện thoại A, B độc lập Xác suất máy A làm việc tốt là P(A) = 0,96 Xác suất

máy B làm việc tốt là P(B) = 0,85 Tính xác suất để:

+ Hai máy cùng làm việc tốt: p = P(A).P(B) = 0,96.0,85 + ít nhất một máy làm việc tốt: p = 1 - 0,04.0,15

b ĐH Đà Nẵng 97: Tung hai con xúc xắc Tính xác suất B = “ Tổng số điểm là 8” ⇒ P(B) = 5

36 Tính xác suất tổng số điểm lẻ hay chia hết cho 3: ⇒ p = 24

36

3 ĐH Huế 96: Bát giác đều ABCDEFGH Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của bát giác Tính xác suất để:

a Đợc tam gíac cân: (Vẽ hình) Xét các khả năng:

+ Đáy là hai đỉnh liên tiếp: Không có ∆ cân

+ Đáy AC có hai ∆ cân: ACB, ACF ⇒ có 16 tam giác cân kiểu này + Đáy AD: Không có ∆ cân

+ Đáy AE (Đờng chéo qua tâm) có 2 ∆ cân: AGE, ACE ⇒ có 8 tam giác cân kiểu này Vậy p = 24 3

7 8 3

b Đợc tam giác vuông hoặc cân: Có 24 ∆cân (ở trên) và 16 ∆ vuông không cân vì mỗi cạnh cho 2 ∆ vuông:

Chẳng hạn cạnh AB thì có: ABF, ABE ⇒ p = 24 16 5

7 8

3

+

=

5 a HVKT Quân Sự 96: Có ba thùng đựng các quả cầu Thùng I: 4 trắng + 2đen Thùng II: 3 trắng + 5 đen.

Thùng III: 2 trắng + 2 đen Lấy 1 quả ở thùng I cho vào thùng II; sau đó lấy 1 quả ở thùng II cho vào thùng

III; sau đó lấy một quả ở thùng III cho vào thùng I

+ Tính xác xuất để thùng I có 3 trắng + 3 đen + Với xác suất lớn nhất thì thùng một có mấy quả T, Đ

Giải: + Quả ở thùng I chuyển sang thùng II là trắng p1 = 4

6 Khả năng 1: Quả ở thùng II chuyển sang III là trắng có: PT = 4

9 , Thùng III chuyển sang I phải là đen PĐ =

2

5 Khả năng này có xác suất P1 = 4

6

4 9

2

5 . Khả năng 2: Có PĐ =5

9 và PT =

3

5 ⇒ P2 = 4

6

5 9

3

5 Vậy Ycbt ⇔ P = 4

6

4 9

2

5 +

4 6

5 9

3

5 =

92 270 + Còn hai sự kiện nữa là ở thùng I cuối cùng có 1 5 trắng + 1 đen 2 4 trắng + hai đen

Tính xác suất tơng tự nh trên thì P(4 trắng + hai đen) = 136

220 là lớn nhất (Vẫn nh ban đầu).

b HVKT Quân Sự 97: Có 25 quả cầu đen và trắng để trong 2 thùng Thùng nào nhiều cầu hơn thì quả trắng

nhiều hơn Lấy từ mỗi thùng một quả Biết xác suất đợc hai quả trắng là P(TT) = 0,48

Tính xác xuất đợc một đen, một trắng

Giải: Giả sử thùng I có m, thùng hai có n quả (m > n > 0) t, s là số quả trắng tơng ứng (t > s )

⇒ P(TT) = t

m

s n

= 0,48 = 48

100

12 25

= Vì m.n  25 ⇔ m n == q p



5

m n m n

=

=







=

=



















20 5 15 10

1 Nếu: m = 20, n = 5 Thì: 25.t.s = 12.20.5 ⇔ t.s = 48 = 48.1 = 24.2 = 16.3 = 12.4 = 8.6

Vậy có các khả năng: t = 16, s = 3 t = 12, s = 4 Gọi TĐ = “Một quả đen, một quả trắng” Thì:

Nếu: t = 16, s = 3: P(TĐ) = 16

20

2 5

4 20

3 5

+ + Nếu: t = 12, s = 4: P(TĐ) = 12

20

1 5

8 20

4 5 +

2 Nếu: m = 15, n = 10 Thì: 25.t.s = 12.15.15 ⇔ t.s = 72 = 72.1 = 36.2 = 24.3 = 18.4 = 12.6 = 9.8

Vậy có các khả năng: t = 12, s = 6 Hoặc t = 9, s = 8

Nếu: t = 12, s = 6: P(TĐ) = 12

15

4 10

13 15

6 10

+ Nếu: t = 9, s = 8 Thì: P(TĐ) = 9

15

2 10

6 15

8 10 +

c ĐH Nông Nghiệp I 97: Một tổ có 9 nam, 3 nữ: 1 Chọn 4 ngời Hỏi có bao nhiêu cách chọn: C124 cách

2 Tính xác suất để khi chọn một nhóm thì đợc nhóm có một nữ: Có C C93

3 1 . cách chọn một nhóm có một nữ ⇒ P = C C

C

9

3 3 1

12 4

.

3 Có bao nhiêu cách chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 ngời: Có C124 cách chọn một nhóm 4 ngời,

còn 8 ngời ⇒ có C84cách chọn 4 ngừơi tiếp, còn lại 4 ⇒ có C44cách chọn KL: CóC124 C84 C44 cách

4 Tính xác suất để mỗi nhóm ở 3 có đúng một nữ: Theo 2 thì C C93

3 1 . = 84.3 cách chọn ra 4 ngời trong đó

có đúng một nữ Còn lại 6 nam và hai nữ ⇒ có: C C63

2 1 . cách chọn nhóm hai có đúng một nữ Còn lại:

3 nam một nữ ⇒ có C C3

3 1 1

C C C C C C

C C C

9

3 3

1 6

3 2

1 3

3 1 1

12

4 8

4 4

55

6 a ĐH Xây dựng 96: + Hộp I có: 2 bi đỏ, 3 bi trắng Hộp II có: 4 đỏ, 2 trắng, 1 xanh

Gieo đồng thời hai con xúc xắc:

1 Tính xác xuất tổng số chấm ≤ 6: Có các kết quả đồng khả năng sau Bạn tự giải tiếp ⇒ p = 5

12 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

2 Nếu tổng số chấm ≤ 6, ta lấy hộp I, Ngợc lại lấy hộp II, sau đó lấy 1 bi Tính xác suất để đợc bi đỏ

Gọi Đ = “ Đợc bi đỏ “ H1 = “Đợc bi ở hộp I” H2 = “Đợc bi ở hộp II” ⇒ H1, H2 là nhóm đầy đủ

⇒ P(Đ) = PH1(Đ).P(H1) + PH2(Đ).P(H2) = 2

5

5 12

4 7

7 12

1 2 + =

3 Gọi A = “4 < x + y < y”; B = “x + y lẻ và x + y < 8” Tính: P(A U B) = P(A) + P(B) - P( A ∩ B) = P(B) = 11

36

b Xuân, Thu chơi trò chơi: Gieo 2 con xúc xắc Nếu tổng số chấm là một số lẻ > 5 Hoặc chỉ có một mặt 1

Thì Xuân thắng Ai có hy vọng thắng nhiều hơn.

Giải: Không gian mẫu nh trên: Số kết quả thuận lợi cho Xuân thắng là: 16 của Thu là: 20.

c Gieo hai xúc xắc: Gọi x là số chấm con xúc xắc xanh, y đỏ Nếu A = “x > y”; B = “x + y = 7”

C = “x lẻ, y chẵn”; D = “x + y = 6”

Tính: P(AUB) = 17

36 P(B) =

6

36; P(C) =

9

36; P(D) =

5

36; P(B/C) =

P B C

P C

( )

∩

=

3 36 9 36

= 1

3; P(D/C) = 0.

d ĐH Xây dựng 97: Gieo một con xúc xắc 3 lần a Tính xác suất để ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện nh nhau

Giải : Không gian mẫu có 63 = 216 phần tử Gọi B = “ Số chấm 3 lần gieo đôi một khác nhau”

Vậy số lần B xảy ra là số cách chọn 3 trong 6 phần tử (1, 2, 3, 4, 5, 6) có thứ tự ⇒ có A63 = 6.5.4 = 120 cách

⇒ P(B) = 120

216 KL: P(ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện nh nhau) = 1- P(B) =

96

216 =

4

9 . Gọi: A = “Có ít nhất một lần mặt 6 chấm xuất hiện”; B = “Số chấm xuất hiện ở 3 làn gieo khác nhau” Tính P(A/B) = P A P B

P B

( ) ( ) ( ) =

P A B

P B

( )

( ) Trong đó A.B = A ∩ B xảy ra khi có 3 số khác nhau trong đó có số 6

Chọn 6 vào một trong 3 số ⇒ có 3 cách chọn Sao đó chọn 2 số trong 5 số (1, 2, 3, 4, 5) có thứ tự

⇒ cóA52 = 5.4 = 20 Vậy có 3.20 = 60 cách chọn: ⇒ P(A/B) P A P B

P B

( ) ( ) ( ) =

P A B

P B

( ) ( ) =

60 216 120 216

= 1 2

e ĐH Giao thông vận tải 97: Có 20.000 vé số Trong đó có 1 giải nhất, 100 nhì, 200 ba, 1000 t và 5000

giải khuyến khích Một ngời mua 3 vé Tính xác suất trúng một giải nhì, hai giải khuyến khích

C

1

0

100

1 200

0 1000

0 5000 2

20000 3

f Báck Khoa 98: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10.000đ, 5 vé trúng 5.000đ, 10 vé trúng 1000đ Mua 3 vé.

Tính xác suất trúng 3.000: P = C C C

C

10

3 1

0 5 0

100 3

; Trúng ít nhất 3000đ: Có khả năng: + Cả ba vé trúng 1000 + Hai vé trúng + Môt vé trúng Bạn tự giải tiếp

g ĐH Thuỷ lợi 97: Trong hộp kín có 10 cầu trắng, 8 cầu đỏ Lấy hú hoạ 5 quả cầu

Tính xác suất có đúng 3 quả đỏ: P = C C

C

10

2 8 3

18 5

.

7.a Y Hà Nội.97: 1 Cho mời chữ số: 0, 1, 2, , 9 Có thể lập bao nhiêu số lẻ 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600.000.

Gọi chữ số tho m n đề bài là ã ã ABCDGH ⇒ A ∈ {1, 2, 3, 4, 5}; H ∈ {1, 3, 5, 7, 9};

+ Nếu: A là 2 hoặc 4 (Có hai cách chọn) thì H Có 5 cách chọn: 1, 3, 5, 7, 9 Còn B, C, D, G là chọn 4

trong các số: 0, 1, , 9 loại đi 2 số A, H (còn 8 số) ⇒ có: A84cách chọn Vậy có: 2.5 A84số kiểu này

+ Nếu: A là 1, 3, 5 (Có 3 cách) thì H là các số: 1, 2, 3, 5, 7, 9 loại đi số A (Còn 4 cách) Lúc đó: B, C, D, G

có A84cách chọn Vậy có: 3.4.A84 cách chọn số dạng này ⇒ KL có: 2.5 A84+ 3.4.A84= 36960 số

b Một bà mẹ muốn sinh bằng đợc con gái Xác suất sinh con gái là 0,486 Tính xác xuất sinh con gái ở

lần sinh thữ hai: P(G) = 0,514.0,486 ≈ 0,25

8.a-Gieo 3 đồng tiền Gọi A = “ ít nhất một mặt ngửa”; B = “ Có 2 mặt ngửa” Tính: P(A); P(B); P(B/A); P(A/B).

Giải:Không gian mẫu: (S,S,S); (S,S,N); (S,N,N); (S,N,S); (N,S,S); (N,S,N); (N,N,N); (N,N,S) ⇒

P(A) = 1 - 1

8 =

7

8 ; P(B) =

3

8 ; P(B/A) =

3

7 =

P A B

P A

( )

∩

=

3 8 7 8

; P(A/B) = 1 =P A B

P B

( ) ( )

∩

=

3 8 3 8

b Hai ngời cùng bắn con nai Xác suất hạ con nai của ngời I là 0,8; ngời II là 0, 7 Tính xác suất con nai

bị hạ: P(H) = P(AUB) = P(A) + P(B) - PA ∩B) = 0,8 + 0,7 - 0,8.0,7 = 0,94

9 a Đoàn tàu có 3 toa vào ga, 12 hành khách chờ tàu Tìm xác suất:

+ 4 ngời lên toa I, 5 ngời lên toa II, còn lại lên toa III: p = 12

4 5 3 312

!

! ! ! + Mỗi toa có 4 ngời: p = 12

4 4 4 312

!

! ! ! + Hai hành khách A, B cùng lên một toa: p =

1

3.

b Thang máy khách sạn có 10 tầng Có 5 ngời đi từ tầng I Tính xác suất:

+ Tất cả cùng ra ở tầng 5: p = 1

95 + Tất cả cùng ra ở một tầng: p = 9 1

95 = 1

94 + Mỗi ngời ra một tầng khác nhau: p = A95

5

9 (m - số cách chọn 5 phần tử trong 9 phần tử).

+ Hai ngời ra cùng một tầng, 3 ngời kia ra 3 tầng khác nhau: p = A A92

9 4 5

9

.

c Một em bé xếp các chữ: N,N,A,H,H Tìm xác suất đợc chữ NHANH: n = 5!;

m = ? N có 2 cách; H có 2 cách; A có 1 cách; N có 1 cách, H có 1 cách: ⇒ p = 2 2 11

5

! .

d Viết các số: 1, 2, 3, 4, 5 lên Năm quả cầu Chọn từng quả liên tiếp ba lần xếp từ trái sang phải Tính xác

suất đợc số chẵn: n = 5.4.3 = 60 cách m: số có dạng abc c có 2 cách, b có 3 cách (trừ 2 và 4), a có 2

cách (trừ 2, 4 và b) ⇒ m = 12 cách P(C) = 12/60 = 1

5

e Lấy 5 con bài từ cỗ tam cúc có 32 con Tính xác suất đợc:

+ Một tớng, một sỹ, hai xe, một tốt: p = C C C C

C

2

1 4

1 4

2 10 1

32 5

+ Lập đợc tú tử: p = ( C C ) C

C

5

4 5

4 27 1

32 5

+

d Biển đăng ký xe máy có 3 phần: Phần đầu là số 14 Phần giữa 3 chữ số, phần cuối 2 chữ cái.

+ Lập đợc bao nhiêu biển : Phần đầu không ảnh hởng Phần giữa có 103 cách cuối có 242 ⇒ có: 103.242

+ Tính xác xuất gặp xe biển có 3 số giữa là 468: p = 111 24

10 24

2

. =

1

103

10 a Có 10 thăm trong đó có một thăm có thởng Mỗi ngời rút một thăm Tính xác suất ngời thue hai

đợc thởng: P(X = 2) = 9

10

1 10

= 9

100 (Nếu không bỏ thăm ra); P(X = 2) =

9 10

1 9

= 1

10 (Nếu bỏ thăm ra).

b Gieo 4 đồng tiền, ghi kết quả: a, b, c, d (Chỉ là S hay N).

+ Mẫu có bao nhiêu phần tử: n = 24 + Tính xác xuất đợc 2 mặt sấp: p = C42 1 4

2

( ) = 6

16

3 8

= = P(x = 2) + Gọi x là số đồng tiền lật mặt sấp trong một lần gieo Tính: P(x = 0) = (1

2 )

4 = 1 16 P(x = 1) = C4

1( 1

2 )

4 ; P(x = 3) = C4

3( 1

2 )

4 ; P(x = 4) = (1

2 )

4 = 1

16 = P(x = 0).