Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB.. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'.. Đường thẳng DE cắt MN tại I.. Chứn
Trang 1TRƯỜNG THCS LONG HỮU ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
LỚP 9 NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN TOÁN 9 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề:
Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức : 1 2
1
A
xy
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi 2
x= +
c) Tính giá trị lớn nhất của A
Câu 2: (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: x4−2x3− −x2 2x+ =1 0
b) Giải hệ phương trình:
2 2
4 0
x xy y x y
x y x y
Câu 3: (3 điểm) Cho phương trình x2−2mx m+ 2− − =m 6 0
Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 1 2
2 1
18 7
x x
x + x =
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD theo a,b,c
Câu 5: (5 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Từ một điểm
C thay đổi trên tia đối của tia AB Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:
a) MI.BE BI.AE=
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định
ĐÁP ÁN TOÁN 9
Câu 1
(4,5 đ) a) A 1x+xy y 1x−xy y : 1 x y+ +1 xy2xy
:
A
0,5 1
Trang 2
( )
( ) ( )
2 1
x x
=
= +
Điều kiện xy ≠ 1 ; y ≠ – 1 ; x ≥ 0
0,5
b)
Có : 2 2.(22 3) 2.(2 3)
2 3
− +
2
4 2 3 (1 3)
Do đó : B= 2 1 3 2.( 3 1)
1 4 2 3 3 2 3
=
0,5 0,5
c)
Có : 2 (1 ) ( 1 2 )
x A
+ − + −
( )2
1
1
x x
−
1
1
x x
x
−
+
Do đó A max = 1 khi x = 1
0,5 0,5 0,5
Câu 2
(4,5 đ) a)
4 3 2
x − x − −x x+ = (1)
Vì x = 0 không là nghiệm của (1) Chia 2 vế của (1) cho x2 ta đươc:
( )
2 2
2
2
( y2 – 2 ) – 2y – 1 = 0 hay ; y2 – 2y – 3 = 0
1 1
y
⇒ = − ; y2 =3
** Với y1 = – 1 ta có
x
** Với y2 =3 ta có
2
1
x
⇒ 1 3 5
2
x = + ;
2
2
x = −
**** Vậy PT đã cho có nghiệm là:
1 3 5
2
x = + ;
2
2
x = −
0,25 0,25
0,5 0,25 0,25
0,25
0,25
b) HÖ ph¬ng tr×nh:
0,5
Trang 32 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 0
4 0
4 0
2 0
4 0
2 1 0
4 0 1
1 4
x=
5 va 13 5
x xy y x y
x y x y
x y x y
x y x y
y x
x y x y
y x
x y x y x
y x y
=
=
= −
1 y=1
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm: (1; 1); 4; -13
0,5 0,5
0,5
0,5
Cõu 3
(3 đ)
Để phương trỡnh x2−2mx m+ 2− − =m 6 0cú 2 nghiệm thỡ:
∆ =' m2−(m2− − = + ≥ ⇔ ≥m 6) m 6 0 m 6 (1) Với điều kiện (1) ta cú:
1 2
2 1
18 7
x x
1 2 1 2
1 2
1 2
2
và 0
x x
x x
+
2; 3
2
8 48 0
1 4; 2 12
⇔ = − = (thỏa điều kiện (1) và đều khỏc – 2 và khỏc 3)
0,5
1 0,5
0,5 0,5
Cõu 4
(3 đ) a)
Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ∆ABC Gọi E là giao điểm của AD và (O) a) Ta có : ∆ ABD ∆CED (g– g) ⇒
CD
AD ED
BD
= ⇒ AD.ED = BD.CD
⇒ AD(AE – AD) = BD.CD
⇒ AD2 = AD.AE – BD.CD (1) Lại có: ∆ ABD ∆AEC (g – g)
⇒
AC
AD AE
AB = ⇒ AB.AC = AD.AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC
0,5
0,25 0,25 0,5
A
E D
Trang 4V× AD lµ ph©n gi¸c ⇒
CA
BA DC
DB
=
⇒ = =
b
DC c
DB
c b
a b
c
DC DB
+
= +
+
⇒DB =
c b
ac
+ vµ DC = b c
ab
+ ⇒AD2 = bc - 2
2
) (b c
bc a
+
0,5
0,25 0,25 0,5
Câu 5
(5 đ)
N
Q
H
K
I
M D
E
B
A
O
O' C
a)
Ta có: BDE BAE · = · (cùng chắn cung BE của đường tròn tâm O) 0,25
BAE BMN = (cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O') 0,25
mà MDI ABE · = · (cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O) 0,25
mặt khác BMI BAE · = · (chứng minh trên) 0,25
⇒MI BI
b) Gọi Q là giao điểm của CO và DE ⇒ OC ⊥ DE tại Q
⇒∆ OCD vuông tại D có DQ là đường cao
⇒ OQ.OC = OD2 = R2 (1)
0,5
Trang 5Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm của AB và OO' ⇒ OO' ⊥ AB tại H
0,5
Xét ∆KQO và ∆CHO có Q H 90 ;O µ = = µ 0 µ chung
⇒∆KQO ∆CHO (g-g)
0,5
Từ (1) và (2)
2
OH
0,5
Vì OH cố định và R không đổi
⇒ OK không đổi ⇒ K cố định 0,5