Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB.. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'.. Đường thẳng DE cắt MN tại I.. Chứn
Trang 1TRƯỜNG THCS LONG HỮU ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
LỚP 9 NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN TOÁN 9 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề:
Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức : 1 2
1
A
xy
��� ����� �� a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi 2
2 3
x
c) Tính giá trị lớn nhất của A
Câu 2: (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: x42x3 x2 2x 1 0
b) Giải hệ phương trình:
2 2
4 0
�
�
�
Câu 3: (3 điểm) Cho phương trình x22mx m 2 m 6 0
Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 1 2
2 1
18 7
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD theo a,b,c
Câu 5: (5 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Từ một điểm
C thay đổi trên tia đối của tia AB Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:
a) MI.BE BI.AE
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định
ĐÁP ÁN TOÁN 9
Trang 2Câu 1
(4,5 đ)
a)
2 : 1
1
A
xy
��� ����� ��
:
A
2 1
x x
Điều kiện xy ≠ 1 ; y ≠ – 1 ; x ≥ 0
0,5
1 0,5
b)
Có : 2 2.(22 3) 2.(2 3)
2 3
2 3
2
4 2 3 (1 3)
Do đó : B 2 1 3 2.( 3 1)
1 4 2 3 3 2 3
0,5 0,5
c)
Có : 2 1 1 2
x A
2
1
1
x x
Vì 2
1
1
x x
x
�
Do đó A max = 1 khi x = 1
0,5 0,5 0,5
Câu 2
(4,5 đ) a)
4 3 2
x x x x (1)
Vì x = 0 không là nghiệm của (1) Chia 2 vế của (1) cho x2 ta đươc:
2 2
(x ) 2 x 1 0 *
� �
2
2
� thì (*) trở thành ( y2 – 2 ) – 2y – 1 = 0 hay ; y2 – 2y – 3 = 0
1 1
y
� ; y2 3
** Với y1 = – 1 ta có
x
� vô nghiệm
** Với y2 =3 ta có
2
1
x
� 1 3 5
2
x ;
2
3 2 2
**** Vậy PT đã cho có nghiệm là:
1 3 5
2
x ;
2
3 2 2
0,25 0,25
0,5 0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 3Hệ phơng trình:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
4 0
4 0 ( 2)( 2 1) 0
4 0
2 0
4 0
2 1 0
4 0 1
1 4
x=
5 va 13 5
y x
x y x y
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
��
�� �
� � �
�
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
1 y=1
�
�
�
�
�
� Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm: (1; 1); 4; -13
0,5 0,5 0,5
0,5
0,5
Cõu 3
(3 đ)
Để phương trỡnh x22mx m 2 m 6 0cú 2 nghiệm thỡ:
Với điều kiện (1) ta cú:
1 2
2 1
18 7
1 2 1 2
1 2
1 2
2
và 0
x x
2; 3
2 8 48 0
�
1 4; 2 12
� (thỏa điều kiện (1) và đều khỏc – 2 và khỏc 3)
0,5
1 0,5
0,5 0,5
Cõu 4
(3 đ)
a) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC
Gọi E là giao điểm của AD và (O) a) Ta có : ABD CED (g– g)
CD
AD ED
BD
AD.ED = BD.CD AD(AE – AD) = BD.CD
AD2 = AD.AE – BD.CD (1) Lại có: ABD AEC (g – g)
AC
AD AE
AB
AB.AC = AD.AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC
0,5
0,25 0,25 0,5
A
E D
Trang 4V× AD lµ ph©n gi¸c
CA
BA DC
DB
b
DC c
DB
c b
a b
c
DC DB
DB =
c b
ac
vµ DC = b c
ab
AD2 = bc - 2
2
) (b c
bc a
0,5
0,25 0,25 0,5
Câu 5
(5 đ)
N
Q
H
K
I
M D
E
B
A
O
O' C
a)
Ta có: BDE BAE � � (cùng chắn cung BE của đường tròn tâm O) 0,25
BAE BMN (cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O') 0,25
hay BDI BMN � � BDMI là tứ giác nội tiếp 0,25
MDI MBI � � (cùng chắn cung MI) 0,25
mà MDI ABE � � (cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O) 0,25
mặt khác BMI BAE � � (chứng minh trên) 0,25
MI BI
b) Gọi Q là giao điểm của CO và DE OC DE tại Q
OCD vuông tại D có DQ là đường cao
OQ.OC = OD2 = R2 (1)
0,5
Trang 5Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm
Xét KQO và CHO có Q H 90 ;O � � 0 � chung
KQO CHO (g-g)
0,5
KO OQ OC.OQ KO.OH (2)
CO OH �
Từ (1) và (2)
2
KO.OH R OK
OH
0,5
Vì OH cố định và R không đổi
OK không đổi K cố định
0,5