Lý thuyết đa thế vị trên đa tạp kahler

Lý thuyết này dùng để nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới psh và có thể xem như một sự tổng quát hóa phi tuyết tính của lý thuyết thế vị cổ điển trên mặt phẳng phức, trong đó các hàm điề

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015

M ục lục

L ời mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Độ đo Radon 4

1.2 Hàm điều hòa 8

1.3 Hàm điều hòa dưới 15

1.4 Hàm đa điều hòa dưới 21

1.5 Dạng vi phân với hệ số là các phân bố 36

1.6 Dòng đóng 37

1.7 Song bậc 38

1.8 Dạng dương 41

1.9 Dòng dương 46

1.10 Ví dụ về dòng dương 47

Chương 2 Đa tạp Kähler compact 49

2.1 Đa tạp khả vi 49

2.2 Đa tạp phức 64

2.3 Đa tạp hầu phức 69

2.4 Đa tạp Kähler 71

Chương 3 Lý thuyết đa thế vị trên đa tạp Kähler compact 73

3.1 Các hàm tựa đa điều hòa dưới 73

3.2 Xấp xỉ các hàm ω-đa điều hòa dưới 80

3.3 Toán tử Monge-Ampère 81

3.4 Dung lượng Monge-Ampère 88

3.5 Sự hội tụ của toán tử Monge-Ampère 96

3.8 Công thức tính dung lượng Monge-Ampère 102

3.9 Hàm cực đại toàn cục 104

K ết luận 106

Tài li ệu tham khảo 107

từ lý thuyết đa thế vị địa phương (trên n) được phát triển bởi E Bedford và B.A Taylor [1], [2] Phần cốt lõi trong lý thuyết đa thế vị trên đa tạp là lý thuyết dung lượng và sự hội tụ của toán tử Monge-Ampère cũng như lớp các hàm kiểu Cegrell

Những đóng góp nổi bật nhất trong lĩnh vực này (nếu chỉ liệt kê vài người) thuộc về Kolodziej, Cegrell, Guedi-Zeriahi [12]

Cũng từ các nghiên cứu nền tảng của Bedford và Taylor, một vài tác giả đã nghiên

cứu “lý thuyết đa thế vị” trên n

 (hoặc của đa tạp Stein) Lý thuyết này dùng để nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới (psh) và có thể xem như một sự tổng quát hóa phi tuyết tính của lý thuyết thế vị cổ điển (trên mặt phẳng phức), trong đó các hàm điều hòa dưới và toán tử Laplace ∆ được thay thế bởi các hàm psh và toán tử Monge-Ampère phức ( )n

log 1

2

n c

  có giá trị 1 trên n

Mục đích của luận văn là trình bày một lý thuyết thế vị toàn cục trên đa tạp

Kähler compact Từ nguyên lý cực đại ta biết rằng không có hàm đa điều hòa dưới nào (trừ hàm hằng) trên một đa tạp phức compact X Tuy nhiên, có nhiều dòng dương đóng có song bậc ( )1,1 trên đó Cho ω là một dòng trơn đóng thực có song bậc ( )1,1

trên X , ta xét các dòng đóng dương ω′ có song bậc ( )1,1 trên X đối đồng điều với

ω Khi X là Kähler, theo “bổ đề c

tựa đa điều hòa dưới (qpsh)

Từ tính chất quan trọng cũng như sự quan tâm rất lớn của cộng đồng toán học trong và ngoài nước, tôi dành việc nghiên cứu luận văn thạc sĩ để tìm hiểu và trình bày

lý thuyết đa thế vị trên đa tạp Kähler compact Tuy nhiên trong khuôn khổ của một

luận văn thạc sĩ được chuẩn bị trong sáu tháng, tôi không thể tìm hiểu và trình bày hết

tất cả nội dung của lý thuyết này mà chủ yếu sẽ tập trung vào hai phần chính Đó là lý thuyết dung lượng và sự hội tụ của toán tử Monge-Ampère Cụ thể hơn, toán tử Monge-Ampère là liên tục theo dãy đơn điệu và dãy hội tụ theo dung lượng

Nội dung của luận văn gồm bốn chương Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản

về hàm đa điều hòa dưới Chương 2 giới thiệu các khái niệm, tính chất cơ bản của dòng dương Chương 3 trình bày các kiến thức cơ bản về đa tạp Kähler compact Chương 4 trình bày về lý thuyết đa thế vị trên đa tạp Kähler compact với hai nội dung chính là lý thuyết dung lượng và sự hội tụ của toán tử Monge-Ampère

Luận văn được hoàng thành dưới dự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Trần Huyên Trong quá trình viết luận văn Thầy luôn động viên, quan tâm, giúp đỡ tác giả trong

việc nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tác giả cũng chân thành cám ơn Tiến sĩ Lữ Hoàng Chinh vì những thảo luận hữu ích cũng như sự giúp đỡ nhiệt tình trong quá trình soạn thảo luận văn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy đã trực tiếp giảng dạy trên lớp Hình

học và Tôpô khóa 24 cùng quý thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán-Tin Trường Đại

học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học Tác giả đặc biệt cám ơn thầy Nguyễn Văn Đông đã dạy tác giả về hình học Kähler, những kiến thức

này giúp ích cho tác giả rất nhiều trong quá trình nghiên cứu Cám ơn quý bạn bè trong

lớp Hình học và Tôpô khóa 24 đã chia sẽ với tác giả rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm

học tập trong hai năm học ở trường Chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ

chức hành chính, Phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này một số tính chất của hàm đa điều hòa dưới sẽ được trình bày

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu về các hàm tựa đa điều hòa dưới trên một đa

tạp Kählercompact và toán tử Monge-Ampère Phần lớn các tính chất toàn cục đều được giải quyết trên từng lân cận địa phương, do đó những hiểu biết sâu sắc về hàm đa điều hòa dưới trong n (tính compact trong topo L1loc, tính khả tích, …) là rất quan

trọng Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ tác giả không thể trình bày (và chứng minh) được tất cả các nội dung của lý thuyết đa thế vị địa phương Thay vào đó, tác giả chỉ chắc lọc một số nội dung hay và cơ bản nhất, được trích một phần

từ quyển sách đang trong quá trình chỉnh sửa của Vincent Guedi và Ahmed Zeriahi [13] Bạn đọc có thể tham khảo thêm trong một số quyển sách cổ điển về hàm đa điều hòa dưới như [15], [17]

Trước hết chúng ta giới thiệu sơ qua về độ đo Radon Tài liệu tham khảo cho mục này là chương 7 của [10]

1.1 Độ đo Radon

1.1.1 Độ đo Borel

Cho X là một tập khác rỗng Một đại số của các tập hợp trên X là một họ khác

rỗng  gồm các tập con của X sao cho:  là đóng qua các hợp hữu hạn và qua phép

lấy phần bù; nói cách khác, nếu E1,,E n∈ thì

1

n j

gọi là σ -đại số sinh bởi  Nếu X là một không gian metric bất kỳ, hoặc tổng quát

hơn là không gian tôpô bất kỳ, σ -đại số sinh ra bởi họ các tập mở trên X (hoặc, tương đương, bởi họ các tập đóng trên X ) được gọi là σ -đại số Borel trên X , ký

hiệu X Các thành phần của nó được gọi là các tập hợp Borel Các tập Borel bao gồm các tập hợp mở, các tập hợp đóng, giao đếm được của các tập hợp mở, hợp đếm được

trên X gọi là một không gian đo được Mỗi E∈ gọi là tập đo được hay -đo được Nếu µ là một độ đo trên (X,) Thì bộ ba (X,,µ ) gọi là một không gian

độ đo,  được gọi là miền của độ đo µ Một độ đo có miền là một σ -đại số Borel

X

 được gọi là độ đo Borel trên X

Trong luận văn này chúng ta chỉ xét các không gian độ đo σ hữu hạn, tức là

1 i

i

X =∞= E với µ ( )E i < +∞ Hai trường hợp thường gặp là: X là một tập mở trong n và X là một đa tạp Kähler compact

Cho µ là một độ đo Borel trên X và E là một tập con Borel của X Độ đo µ

gọi là chính quy ngoài trên E nếu

1.1.2 Các phi ếm hàm tuyến tính dương trên 0( )X

Cho X là không gian Hausdorff compact địa phương, 0( )X là không gian các hàm liên tục trên X với giá compact Một phiếm hàm tuyến tính I trên 0( )X được

gọi là dương nếu I f( )≥0 với mọi f ≥0

Mệnh đề 1.1 Nếu I là m ột phiếm hàm tuyến tính dương trên 0( )X , v ới mỗi

K ⊂ X compact có m ột hằng số K sao cho I f( ) ≤K f u ∀ ∈f 0( )X sao cho

µ < +∞ vơi mọi tập con compact K ⊂ X

Nếu U là mở trên X và f ∈0( )X , ký hiệu f U nghĩa là 0≤ ≤f 1 và ( )

supp f ⊂U

Định lý 1.3 Nếu I là m ột phiếm hàm tuyến tính dương trên 0( )X , thì t ồn tại duy

nh ất một độ đo Radon µ trên X th ỏa

µ = ∈ ≥χ v ới mọi tập compact K ⊂ X

Ta thường hay đồng nhất I với độ đo Radon µ

Mệnh đề 1.4 Nếu µ là m ột độ đo Radon trên X , thì 0( )X trù m ật trên p( )

L µ v ới

1≤ < ∞p

Một hàm f X: → −∞ ∞( , ] được gọi là nửa liên tục dưới (lsc) nếu

( )

{x∈X f X >a} là mở với mọi a∈ , và f X: → −∞ ∞( , ] được gọi là nửa liên

tục trên (usc) nếu tập {x∈X f X( )<a} là mở với mọi a∈ 

Định lý 1.5 Nếu µ là Radon và f là m ột hàm LSC không âm thì

1.1.3 Tôpô yếu trên không gian các độ đo

Cho X là một không gian tôpô Hausdorff compact địa phương và ( )X là không gian các độ đo Radon trên X Ta trang bị cho ( )X tôpô yếu, theo đó một dãy các độ đo Radon µj hội tụ yếu về µ∈ ( )X nếu

Ch ứng minh Ta chỉ chứng minh cho trường hợp nửa liên tục trên Trường hợp nửa

liên tục dưới chứng minh tương tự Cho ψk là một dãy giảm các hàm trơn hội tụ từng điểm về ψ Với mỗi k cố định ta có

Ta ký hiệu ( )Ω là lớp các hàm điều hòa trong Ω

Ta giới thiệu tọa độ phức z = + y x i và các đạo hàm phức ∂ ∂ ∂ ∂/ z, / z được cho

Theo phương trình Cauchy-Riemann, nếu f là một hàm chỉnh hình trong Ω thì phần

thực của f là một hàm điều hòa trong Ω Công thức tích phân Cauchy chỉ ra rằng hàm chỉnh hình có tính chất giá trị trung bình, nghĩa là với mọi a∈Ω và mọi r>0

sao cho ( )a r, Ω thì

( ) 2 ( )

0

1

.2

i

π

θ θ π

(i) h là m ột hàm điều hòa trong Ω

(ii) V ới mỗi a∈Ω và m ỗi đĩa ( )a r, Ω t ồn tại một hàm chỉnh hình f sao cho h= R( )f trong ( )a r,

(iii) Hàm h th ỏa mãn tính chất giá trị trung bình ( )1.1 t ại mỗi điểm a∈Ω v ới

m ọi r>0 sao cho ( )a r, Ω

(iv) Hàm h th ỏa mãn tính chất giá trị trung bình ( )1.1 t ại mỗi a∈Ω v ới một

Mệnh đề ( ) ( )ii ⇒ iii được suy ra từ công thức tích phân Cauchy Mệnh đề ( ) ( )iii ⇒ iv là hiển nhiên Bây giờ ta chứng minh ( ) ( )iv ⇒ i Ta cần chứng minh

rằng h là hàm trơn trên Ω Gọi ρ:→+ là một hàm ratial (nghĩa là

Đặt hε := h ρε với ε >0 đủ nhỏ Những hàm này trơn và ta khẳng định rằng

hε =h trên Ω = ∈Ωε {z dist(z,∂Ω >) ε } với ε >0 đủ nhỏ Thực vậy, lấy tích phân trong hệ tọa độ cực và sử dụng tính chất giá trị trung bình cho h ta được

( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

h aε =∫ rρ r d r ∫ πh a+εreθ dθ = πh a ∫ rρ r dr =h a

Vì vậy h=hε là trơn trên Ω Cố định a∈Ω và sử dụng khai triển Taylor của h trên

một lân cận của a z: − = a r 1 ta được

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

2,2

2

2

i r

một dãy vét cạn các tập con compact của Ω, nghĩa là Ω ⊂ Ωj j+ 1 và Ω = Ωj Mỗi không gian ( )j

∞ Ω

 được trang bị tôpô hội tụ đều của đạo hàm mọi cấp, nghĩa là tôpô

sinh bởi họ các nửa chuẩn : sup ( ) , 1, 2,

j

k k

f = Ω f k =  Không gian ( )Ω là giới

hạn quy nạp của ∞( )Ωj Theo đó, một dãy { } ϕj ⊂( )Ω hội tụ đến ϕ ⊂( )Ω

nếu tồn tại KΩ và N∈  sao cho supp( ) ϕj ⊂ K,∀ ≥j N và ϕj hội tụ về ϕ trên ( )K

với dλ là độ đo Lebesgue trên Ω

Giả sử T là một phân bố trên Ω Ta định nghĩa ∆T là một phân bố trên Ω cho

bởi

( )( )∆T χ :=T( )∆χ ,∀ ∈χ ( )Ω

Một phân bố T được gọi là điều hòa nếu ∆ =T 0 Bổ đề Weyl chỉ ra rằng các phân bố điều hòa được sinh bởi các hàm điều hòa

Bổ đề 1.9 Cho T∈( )Ω là m ột phân bố điều hòa trên Ω Khi đó tồn tại duy nhất

m ột hàm điều hòa h trên Ω sao cho T =T h

Ch ứng minh Xét ρε là các hàm radial như trên và đặt Tε := T ρε Thì Tε là một hàm trơn trên Ωε thỏa ∆ = ∆Tε ( )T ρε =0 trên Ωε, do đó nó là một hàm điều hòa trên Ωε

Chứng minh của mệnh đề trước chỉ ra rằng với ε η, >0,

Tε =Tε ρη =Tη ρε =Tη

theo nghĩa yếu trên Ωε η+ Cho ε →0 ta được T =Tη theo nghĩa yếu của các phân

bố trên Ωη Do đó, khi η →0+ các hàm Tη định nghĩa duy nhất một hàm điều hòa h

trên Ω sao cho T =T h trên Ω 

1.2.2 Công th ức Poisson và bất đẳng thức Harnack

Mệnh đề 1.10 Cho h:→  là m ột hàm điều hòa liên tục trên . V ới mọi z∈ ta

có

2 0

11

.2

i i

Ch ứng minh Ta xét trường hợp h là hàm điều hòa trên một lân cận của  Trường

hợp tổng quát được suy ra bằng cách xét các hàm zh rz( ) với 0< <r 1 và cho

1

r↑

Với z=0 công thức trên là tính chất giá trị trung bình trên đĩa đơn vị Cố định

a∈ và cho f a là tự đẳng cấu của  biến 0 thành a,

Hàm h fa a là hàm điều hòa trên một lân cận của , do đó

11

Kết quả dưới đây được gọi là bất đẳng thức Harnack 

Hệ quả 1.11 Cho 0≤h:→  là m ột hàm điều hòa liên tục không âm trên . V ới

m ọi 0< <ρ 1 và z∈ th ỏa z = ρ, ta có

Định lý 1.12 Cho h:Ω →  là m ột hàm điều hòa

(i) N ếu h đạt cực đại địa phương tại một điểm a∈Ω thì h là hàm h ằng trên

Hơn nữa h z( )<max∂D h v ới mọi z∈D tr ừ khi h là hàm h ằng trên D.

Ch ứng minh Ta chứng minh (i) Giả sử tồn tại một đĩa ( )a r, Ω sao cho ( ) ( )

h z ≤h a với mọi z∈( )a r, Cố định 0< <s r và chú ý rằng ( ) ( i ) 0 0, 2[ ]

h a −h a+seθ ≥ ∀ ∈θ π Theo tính chất giá trị trung bình

cận của a Vì vậy tập hợp A:= ∈{z D h z; ( )=h( )a =maxD h} là tập mở, khác rỗng

và đóng (vì h là hàm liên tục) Do D là liên thông nên ta suy ra A=D 

1.2.4 Bài toán Dirichlet trên đĩa

Cho Ω ⊂  là một miền bị chặn và φ:∂Ω →  là một hàm liên tục Bài toán Dirichlet cho toán tử Laplace thuần nhất là bài toán đi tìm một hàm điều hòa

chứng minh sự tồn tại nghiệm cho trường hợp Ω là đĩa đơn vị

11

:2

i i

z z

z z

R

Vì vậy hφ là hàm điều hòa trên 

Bây giờ ta chứng minh hφ có thể được mở rộng liên tục lên biên ∂ bằng φ Cố định 0

2 0

11

1,

z d

với 2πM =sup∂ φ Chú ý rằng z−e iθ ≥δ 2 nếu z đủ gần z0 và e iθ −z0 ≥δ Do

vậy, số hạng sau cùng là tích phân của một hàm bị chặn bởi ( 2) 2

Cho Ω ⊂  là một miền trong mặt phẳng phức 

Định nghĩa 1.14 Một hàm u:Ω → −∞ +∞[ , ] là điều hòa dưới nếu nó nửa liên tục trên trong Ω và ∀ ∈Ωa tồn tại 0<ρ ( )a <dist(a,∂Ω) sao cho với mọi

i

π

≤ ∫ + ( )1.2

Một hàm u là nửa liên tục trên (viết tắt usc) trên Ω nếu và chỉ nếu ∀ ∈ c , tập

hợp mức dưới {u<c} là một tập con mở của Ω Chú ý rằng các hàm điều hòa là hàm điều hòa dưới; tuy nhiên lớp các hàm điều hòa dưới rộng hơn nhiều so với lớp các hàm điều hòa

Khái niệm điều hòa dưới là một khái niệm địa phương Do tính nửa liên tục trên,

mọi hàm điều hòa dưới đều bị chặn trên trên mọi tập con compact K ⊂ Ω và đạt được

giá trị cực đại trên K Tuy nhiên nó có thể đạt giá trị −∞ tại một vài điểm Theo định nghĩa 1.14 hàm đồng nhất −∞ là hàm điều hòa dưới trên Ω.

Ta sẽ chỉ ra rằng nếu u là hàm điều hòa dưới trên một miền Ω và u ≡ −∞ thì ( )

1

loc ,

u∈L Ω do đó tập hợp {u = −∞} có độ đo Lebesgue 0 trên  Nó được gọi là

tập hợp cực của u

Phép lấy maximum của hai hàm điều hòa dưới cho ta một hàm điều hòa dưới Một

tổ hợp lồi của các hàm điều hòa dưới cũng là một hàm điều hòa dưới Dưới đây là một

số cách thông thường để xây dựng một hàm điều hòa dưới

Mệnh đề 1.15 Cho Ω ⊂  là m ột miền trên .

(i) N ếu u:Ω → −∞ +∞[ , ] là điều hòa dưới trên Ω và χ: I →  là m ột hàm tăng

l ồi trên một khoảng I ch ứa u( )Ω thì χau là hàm điều hòa dưới trên Ω.

(iv) Cho (X, ) là m ột không gian độ đo, µ là m ột độ đo dương trên (X, ) và

zU z =∫ E z x dµ x là điều hòa dưới trên Ω

Ch ứng minh Tính chất (i) là một hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Jensen Để

chứng minh (ii) ta nhận xét rằng u=inf{u j j ∈ } là usc trên Ω Hơn nữa, bất đẳng

thức giá trị trung bình dưới là một hệ quả của định lý hội tụ đơn điệu

Ta chứng minh (iii) Khái niệm điều hòa dưới là một khái niệm có tính địa

phương, vì vậy ta chỉ cần chứng minh u là điều hòa dưới trên mọi miền con DΩ

Theo giả thiết tồn tại C>0 sao cho supD u j ≤C,∀ ∈ j Ta có

Ta chứng minh (iv) Tính nửa liên tục trên là một hệ quả của bổ đề Fatou và tính

chất giá trị trung bình dưới là một hệ quả của định lý Tonelli-Fubini



Tiếp theo là một số ví dụ về hàm điều hòa dưới

Ví d ụ 1.16 Nếu f chỉnh hình trên tập con mở U của  thì log f là hàm điều hòa dưới Thật vậy, dễ thấy log f là nửa liên tục trên Cố định x U∈ Nếu u x( )= −∞

thì ( )1.2 hiển nhiên đúng Nếu u x( )> −∞ thì u z( )> −∞ và trơn trên một lân cận nào đó của x Trên đó, do ∂ =f 0, ta có

Mệnh đề 1.17 Cho f :Ω →  là m ột hàm chỉnh hình trên Ω và f ≡/0 Khi đó

log f là điều hòa dưới trên Ω và điều hòa trong 1( )

\ f− 0

Ω Nói riêng, v ới mỗi

0

α > hàm f α là điều hòa dưới trên Ω

Mệnh đề 1.18 Cho Ω ⊂  là m ột tập lồi mở và u:Ω →  là m ột hàm lồi Khi đó u

là điều hòa dưới và liên tục trên Ω

Nh ận xét 1.19 Chiều ngược lại của Mệnh đề 1.18 là không đúng: tồn tại các hàm điều hòa dưới mà không phải là hàm lồi Nếu hàm u z( ) ( )=u x y, chỉ phụ thuộc vào

x (hoặc chỉ phụ thuộc vàoy) thì u là lồi khi và chỉ khi u là điều hòa dưới

Mệnh đề 1.20 Cho u là m ột hàm điều hòa dưới trong Ω và a∈Ω. Giá tr ị trung bình

là m ột hàm tăng, liên tục và hội tụ về u a( ) khi r↓0.

Hệ quả 2.21 Cho u là m ột hàm điều hòa dưới trong Ω ∈Ω, a và

 Nói riêng n ếu u v, là hai hàm điều hòa dưới trên

Ω và u≤v h ầu khắp nơi trên Ω thì u≤v trên Ω

1.3.2 Nguyên lý c ực đại

Định lý 1.22 Cho u:Ω →  là m ột hàm điều hòa dưới

(i) N ếu u đạt cực đại địa phương tại một điểm a∈Ω thì u là hàm h ằng trên

Hơn nữa u z( )<max∂D u v ới mọi z∈D tr ừ khi u là hàm h ằng trên D.

Hệ quả 1.23 Cho Ω  là m ột miền bị chặn và u là m ột hàm điều hòa dưới trong

Ω N ếu lim supz→z u z( )≤0 v ới mọi z ∈∂Ω thì u z( )≤0 v ới mọi z∈Ω

Hệ quả sau đây được biết đến với tên gọi Nguyên lý so sánh

Hệ quả 1.24 Cho Ω ⊂  là m ột miền bị chặn và u v, là hai hàm điều hòa dưới khả tích địa phương trong Ω. Gi ả sử lim infz→z (u z( ) ( )−v z )≤0 v ới mọi z ∈∂Ω và

∆ ≥ ∆ trong Ω theo nghĩa yếu của độ đo Radon dương Khi đó u≤v trong Ω

Định lý 1.25 Cho u:Ω → −∞ +∞[ , ) là m ột hàm nửa liên tục trên Các khẳng định sau là tương đương

1 u là điều hòa dưới trong Ω.

2 V ới mọi tập con compact K Ω và m ọi 0( ) ( )

h∈ ∂K  K ta có

1.3.3 Công th ức biểu diễn Riesz

Trong mục này chúng ta trình bày một số kết quả cơ bản của lý thuyết thế vị logarithm Ta định nghĩa độ đo Riesz của một hàm điều hòa dưới và chỉ ra cách xây

dựng lại hàm điều hòa dưới khi biết giá trị biên và độ đo Riesz của hàm đó

Ta ký hiệu SH( )Ω là tập hợp các hàm điều hòa dưới trong Ω mà không đồng

nhất −∞

Trong phần tiếp theo về hàm đa điều hòa dưới ta sẽ chứng minh rằng tập SH( )Ω

là một nón lồi của không gian 1 ( )

Định nghĩa 1.27 Độ đo Riesz của u∈SH( )Ω được định nghĩa là : 1

∆ = với δa là độ đo Dirac tại a

Kết quả sau đây kết nối lý thuyết thế vị logarithm với lý thuyết hàm chỉnh hình

ở đây m f ( )a là b ậc triệt tiêu của f t ại a.

Nh ận xét 1.30 Do f là chỉnh hình trong Ω nên tập không điểm Z f( ) là rời rạc Do

đó tổng ở trên là hữu hạn địa phương

Cho µ là một độ đo Radon có giá compact trong Ω Khi đó

( ): log ( ) a

zUµ z =∫ z−z µ zd =µ

là một hàm điều hòa dưới trong  Hơn nữa, nếu z∈\ supp( ) µ thì

( ) log dist( ,supp( ) )

= = ∆ là độ đo Riesz của u.

Nh ận xét 1.33 Khi u là một hàm điều hòa ta thu được công thức Poisson Hạng tử

thứ nhất là hàm điều hòa nhỏ nhất nằm phía trên u và được gọi là phép biến đổi Poisson của u Hạng tử thứ hai là một hàm điều hòa âm trong , hàm này chứa nhiều thông tin về các kỳ dị của u và được gọi là thế vị Green của độ đo µ

1.4 Hàm đa điều hòa dưới

Khái niệm đa điều hòa dưới là mở rộng lên n của khái niệm điều hòa dưới.\

1.4.1 Tính ch ất cơ bản

Cố định một miền Ω ⊂ n

Định nghĩa 1.34 Một hàm u:Ω → −∞ +∞[ , ) là hàm đa điều hòa dưới nếu nó là hàm

nửa liên tục trên và với mọi đường thẳng phức n

Λ ⊂  thì thu hẹp u Ω ∩ Λ là điều hòa dưới trên Ω ∩ Λ

Tính chất thứ hai (hạn chế trên mỗi đường thẳng phức là điều hòa dưới) có thể phát biểu lại như sau: với mọi a∈Ω ∈,ξ n,ξ =1 và r>0 sao cho B a r( ), ⊂ Ω ta

i

π

≤ ∫ + ( )1.3

Mệnh đề 1.35 Mọi tính chất cơ bản mà ta đã thiết lập cho các hàm điều hòa dưới

cũng đúng cho hàm đa điều hòa dưới, cụ thể là:

(i) N ếu u:Ω → −∞ +∞( , ) là hàm đa điều hòa dưới trên Ω và χ là m ột hàm thực tăng, lồi trên một đoạn chứa ảnh u( )Ω c ủa hàm u thì χau là hàm đa điều hòa dưới trên Ω.

(ii) Cho ( )u j j

∈ là m ột dãy giảm của các hàm đa điều hòa dưới trên Ω. Thì

: limj j

u = →+∞u là hàm đa điều hòa dưới trên Ω

(iii) Cho (X, ) là m ột không gian đo được, µ là m ột độ đo dương trên (X, )

nó thỏa phương trình Cauchy-Riemann ∂ ∂ = ∀ < <f z j 0, 1 j n

Mệnh đề 1.36 Cho Ω ⊂ n là m ột miền trên n và f là m ột hàm chỉnh hình sao cho f ≡/0 trên Ω. Thì log f là hàm đa điều hòa dưới trên Ω và đa điều hòa trên

\ f 0

Ω = Hơn nữa ∀ >α 0, f α là hàm đa điều hòa dưới trên Ω

Với mỗi r >0 đủ nhỏ ta ký hiệu Ω =r: {x∈Ω dist(x,∂Ω >) r}

Định nghĩa 1.37 Một hàm u:Ω → −∞ +∞[ , ) được gọi là điều hòa dưới trong Ω nếu

u là nửa liên tục trên và thỏa: với mọi r >0 và a∈Ωr

1.4.2 B ất đẳng thức giá trị trung bình dưới

Mệnh đề 1.38 Cho u:Ω → −∞ +∞[ , ) là m ột hàm đa điều hòa dưới, cố định a∈Ω

( ) n ( ) n( ),

u a ≤∫ u a+rz τ zd ( )1.6

v ới dτn là độ đo Lebesgue chuẩn hóa trên hình xuyến n.

Ch ứng minh Bất đẳng thức ( )1.4 được suy ra từ ( )1.3 bởi phép lấy tích phân trên

mặt cầu đơn vị trong n Bất đẳng thức ( )1.5 được duy ra từ ( )1.4 bởi phép lấy tích phân trên [ ]0, r đối với độ đo dγ Bất đẳng thức ( )1.6 được suy ra từ ( )1.3 bởi phép

Nh ận xét 1.39 Cho u là một hàm đa điều hòa dưới trên Ω Dùng hệ tọa độ cực ta có

với κ2n là thể tích của quả cầu đơn vị trong n

Định nghĩa 1.40 Ta ký hiệu PSH( )Ω là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới u trên

Ω thỏa u Ω ≡ −∞/ Dễ thấy rằng PSH( )Ω là một nón lồi

Bất đẳng thức giá trị trung bình dưới dẫn đến kết quả về tính khả tích quan trọng sau

Mệnh đề 1.41 Mọi hàm đa điều hòa dưới khác −∞ đều khả tích địa phương,

( ) 1 ( )

locPSH Ω ⊂L Ω

Hơn nữa thu hẹp của u∈PSH( )Ω trên m ọi mặt cầu Euclid (hay mọi hình xuyến n )

n ằm trong Ω là kh ả tích đối với độ đo diện tích của mặt cầu (hay hình xuyến)

Nói riêng, t ập hợp đa cực P u( ) {:= u= −∞} có th ể tích 0 trên Ω và giao c ủa nó

v ới mặt cầu Euclid (hay hình xuyếnn ) có độ đo 0 đối với độ đo diện tích tương ứng

Ch ứng minh Cố định u∈PSH( )Ω gọi G là tập hợp các điểm a∈Ω sao cho u khả tích trên một lân cận của a Ta sẽ chỉ ra rằng G là một tập con không rỗng mở và đóng của Ω, từ đó ta suy ra D= Ω theo tính liên thông của Ω và 1 ( )

loc

Chú ý rằng tập G là tập mở theo định nghĩa Nếu a∈Ω và u a( )> −∞ thì theo

bất đẳng thức giá trị trung bình dưới trên hình cầu, với mọi 0< <r dist(a,∂Ω), ta có

Bây giờ ta chứng minh G là đóng Cho b∈Ω là một điểm thuộc bao đóng của G

và r >0 sao cho ,( )b r, Ω Theo định nghĩa ∃ ∈ a G ,( )b r, Vì u khả tích địa phương trên một lân cận của a nên tồn tại một điểm a′ gần a trong ,( )b r, sao cho ( )

u a′ > −∞ Do b∈,(a r′, )Ω và u khả tích trên ,(a r′, ), suy ra b∈G

Các tính chất khác được chứng minh tương tự 

Mệnh đề 1.42 Cố định u∈PSH( )Ω ,a∈Ω và đặt δΩ( )a : dist= (a,∂Ω). V ới mọi hàm dương, liên tục phải, không giảmγ,

là m ột hàm liên tục không giảm trên 0,δΩ( )a  h ội tụ đến u a( ) khi r→0

Ch ứng minh Tính chất này được thiết lập khi n=1 Cố định 0< <r δΩ( )a và nhận xét rằng với mọi 1

1.4.3 X ấp xỉ trơn các hàm đa điều hòa dưới

Cho ρ:n →+ là một hàm radial (nghĩa là ( ) ( )i

u∈ Ω là đa điều hòa dưới trong Ω n ếu tại mọi a∈Ω ma

tr ận Hessian phức của u là n ửa xác định dương, tức là

2 , 1

Một hàm đa điều hòa dưới không trơn vẫn thỏa mãn ( )1.7 theo nghĩa phân bố

Bổ đề 1.46 Nếu u∈PSH( )Ω thì v ới mọi ξ∈n ta có

2 , 1

Ví d ụ 1.47 Hàm 2

z z là đa điều hòa dưới trên n Hàm ( 2)

log 1

z− − z là đa điều hòa dưới trong quả cầu đơn vị z <1

là n ửa liên tục trên, do đó U là hàm đa điều hòa dưới trên Ω.

Ch ứng minh Cố định (u z, 0)∈PSH( )Ω × Ω Cho ( )u j là một dãy trên PSH( )Ω hội

tụ về u và cho r >0,δ >0 là đủ nhỏ Với z−z0 <δ bất đẳng thức giá trị trung bình dưới cho ta

do u j hội tụ về u trong L1loc Như vậy dãy hàm u j là bị chặn trên đều gần z0, từ đó ta

có thể giả sử rằng u j ≤0 với mọi j Bây giờ ta lại áp dụng bất đẳng thức giá trị trung bình dưới cho u j

( )

( ) ( )( ) ( 0 )

r

u d r

Lấy lim sup khi z→z0 và j→ +∞ ta được

 nên với mỗi y cố định ta tìm được u y∈  sao cho U( )y =u y( )y Từ đó ta

dễ dàng suy ra được U là nửa liên tục trên trên Ω Hơn nữa U thỏa bất đẳng thức giá

trị trung bình dưới trên mỗi đường thẳng phức Ta suy ra U là hàm đa điều hòa dưới

Bao trên của một họ compact tương đối các hàm đa điều hòa dưới không nhất thiết phải là nửa liên tục trên Tuy nhiên, nếu ta lấy chính quy hóa nửa liên tục trên thì

ta được một hàm đa điều hòa dưới

Mệnh đề 1.49 Cho ( )u i i I∈ là m ột họ các hàm psh bị chặn trên đều địa phương trên

m ột miền Ω và u: sup= i I∈ u i là ph ủ trên của nó Chính quy hóa nửa liên tục trên

là hàm đa điều hòa dưới trên Ω và t ập {u <u∗} có độ đo Lebesgue 0.

Ch ứng minh Theo bổ đề Choquet tồn tại nột dãy tăng v j =u i j của các hàm đa điều

hòa dưới sao cho

( )lim j

j u

Giả sử ω là giới hạn của v∗χε khi ε tiến về 0 Hàm ω là đa điều hòa dưới như

một giới hạn giảm của các hàm đa điều hòa dưới Nó thỏa, ∀ >ε 0,ω≤ ∗u χε vì

Khái niệm đa điều hòa dưới là bất biến qua phép biến đổi tọa độ chỉnh hình, nhờ

đó ta có thể định nghĩa hàm đa điều hòa dưới trên một đa tạp phức

Mệnh đề 1.51 Cho n

Ω ⊂  và Ω ⊂ ′ m là các t ập mở Nếu u∈PSH( )Ω và

:

f Ω → Ω′ là m ột hàm chỉnh hình thì ua f ∈PSH( )Ω

Ch ứng minh Sử dụng tích chập với một nhân trơn để xấp xỉ một hàm đa điều hòa

dưới (như trong Mục 1.4.3) ta có thể giả sử f là một hàm trơn Cố định a∈Ω và đặt

Theo 1.45 thì ua f là đa điều hòa dưới trong Ω 

Ta đã nhận xét rằng một hàm đa điều hòa dưới thì cũng là điều hòa dưới nếu ta đồng

ua f là điều hòa dưới trong 1 2

( ) n

f− Ω ⊂ 

Ch ứng minh Một chiều được suy ra từ Mệnh đề 1.52 Ta chứng minh chiều ngược

lại Cố định r >0 và z∈Ωr Với mọi ε >0 hàm ξ u z( 1+rξ1,z′+rεξ′) là điều hòa dưới trong một lân cận của quả cầu đơn vị Theo Bất đẳng thức giá trị trung bình

Vì u là hàm nửa liên tục trên và bị chặn trên trên mọi tập con compact KΩ nên ta

có thể áp dụng Bổ đề Fatou, theo đó cho ε ↓0 ta được

• Dãy u i ch ứa một dãy con hội tụ về hàm u∈PSH( )Ω trên L1loc( ).Ω

• N ếu u j uU trên ′ Ω( ) thì phân b ố U được xác định bởi duy nhất một hàm

d ấu bằng xảy ra hầu khắp nơi trên Ω.

• V ới mọi tập hợp K compact và m ọi hàm liên tục h trên K

lim sup max( j ) max( )

u ≤ trên Ω với mọi j∈  (trừ đi một hằng số nếu cần thiết)

Vì (u j) không hội tụ đều về −∞, ta có thể tìm một tập compact E và C>0 sao cho

lim sup max j

Cùng một lý do như chứng minh của mệnh đề 1.41, ta suy ra rằng tập hợp X các điểm

x∈Ω có một lân cận W ⊂ Ω sao cho dãy k

W v dλ

∫ bị chặn dưới là đóng Vì nó là mở (theo định nghĩa) và không rỗng (theo giả thiếta∈X ), từ sự liên hệ đó ta có X = Ω

Dãy ( )v k bị chặn theo 1

loc( ),

L Ω nghĩa là dãy có độ đo không âm µk : (= −v k)λ bị

chặn theo tôpô yếu có độ đo Radon trên Ω Do đó nó nhận một dãy con hội tụ yếu (theo nghĩa của độ đo Radon), vì vậy khẳng định thứ nhất bây giờ là hệ quả của khẳng định thứ hai

Ta chứng minh phát biểu thứ hai Giả sử rằng u j uU theo nghĩa yếu của các

phân bố trên Ω Do đó c lim c j

Ta cần chỉ ra rằng u j →u trên L1loc( ).Ω Cố định (ρε) như trên và chú ý rằng dãy

(u j ρ)j∈ là liên tục đều trên Ωε từ đó (u j) bị chặn trên 1

Bây giờ ta cố định một tập compact K ⊂ Ω và một hàm test liên tục không âm χ

trên Ω sao cho χ ≡1 trên K và 0≤ ≤χ 1 trên Ω Thì với ε >0 cố định và j∈ , ta

Định lý hội tụ đơn điệu đảm bảo rằng vế phải hội tụ về 0 khi ε 0

Với ε >0 đủ nhỏ, u j ρε →uρε đều địa phương trên Ωε và u j ≤u j ρε trên

,

ε

Ω suy ra lim supu j ≤ u ρε trên Ω, vì lim supu j ≤u trên Ω

Vì u j →u trên L K1( ), theo bổ đề Fatou với mọi tập compact cố định K ⊂ Ω, ta

Hệ quả tiếp theo được gọi là "tính chất Montel" của tập lồi PSH( ) :Ω

Hệ quả 1.54 Không gian PSH( )Ω là m ột tập con đóng của 1

loc( )

L Ω v ới 1

loc

L -tôpô có tính ch ất Montel: mọi tập con bị chặn trên PSH( )Ω là compact tương đối

 Thì các dãy b ị chặn trên đều địa phương trên Ω, và u j →u trên Llocp ( )Ω v ới

m ọi p≥1 Hơn nữa gradient Du j b ị chặn đều trên L qloc( )Ω v ới mọi q<2

Kết quả này chỉ ra rằng PSH( )Ω ⊂Llocp ( )Ω ⊂( )Ω và tôpô yếu của phân bố trên Ω

và Llocp -tôpô trùng nhau trên không gian PSH( )Ω với mọi p≥1

n n

với κ2n =2nσ2n−1 là thể tích của quả cầu đơn vị trong n

Giá trị lớn nhất của u trên quả cầu được ký hiệu là

| | 1( , ) : max ( )

Nói riêng, v ới mỗi z∈Ω c ố định, hàm rS z r u( , ) là m ột hàm lồi tăng của biến

log r Do đó giới hạn sau đây tồn tại trong [0,+∞)

( , )( , ) : lim lim ( , )

Định nghĩa 1.57 Cho u∈PSH( )Ω và z∈Ω Số ν( , )u r trong bổ đề trên được gọi là

số Lelong của u tại z

1.5 Dạng vi phân với hệ số là các phân bố

Định nghĩa 1.61 Một phân bố T trên Ω là một dạng tuyến tính liên tục trên không gian 0( )Ω các hàm liên tục giá compact trên Ω, nghĩa là với mọi K ⊂ Ω compact

tồn tại C K >0 sao cho

=

= ∑

với αI là các hàm khả tích địa phương trên Ω Khi đó ta có thể xem α như là một

dạng tuyến tính trên không gian các dạng vi phân liên tục giá compact trên Ω: nếu