Lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng trong việc khảo sát hiện tượng bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn

Còn đối với những phương trình vi phân phi tuyến thì các nhàtoán học cố gắng làm đơn giản hóa chúng bằng những phương pháp tuyến tínhhóa và đã thành công trong việc giải ra nghiệm chính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT

TRONG CHẤT BÁN DẪN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT

TRONG CHẤT BÁN DẪN

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ

[TOÁN - LÝ]

MÃ SỐ SINH VIÊN: K40.102.077

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LƯƠNG LÊ HẢI

TP HCM – NĂM 2018

Lời cảm ơn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý trường Đại học

Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Vật

Lý, đặc biệt là các thầy cô tổ Toán - Lý trường Đại học Sư phạm thành phố HồChí Minh, là người những người thầy, người cô trong thời gian qua không nhữngchỉ dạy bảo tôi tận tình về kiến thức chuyên môn mà còn truyền cho tôi cả niềmđam mê, sự nhiệt thành, tâm huyết với bộ môn toán học

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS Lương LêHải, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn tốtnghiệp này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thựchiện luận văn này

Tp Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 04 năm 2018

Nguyễn Phước Vĩnh Sơn

Mục lục

2.1 Sự lan truyền tuyến tính và đường đặc trưng 10

2.1.1 Phương trình lan truyền 10

2.1.2 Mệnh đề 1 11

2.2 Phương trình lan truyền phi tuyến 13

2.3 Định luật bảo toàn và sóng xung kích 20

2.3.1 Định nghĩa định luật bảo toàn 20

2.3.2 Mệnh đề 2 21

2.3.3 Sóng xung kích 22

Chương 3: Sự khuếch tán phi tuyến - Phương trình Burger 25 Chương 4: Sự tán sắc và Soliton 28 4.1 Sự tán sắc tuyến tính 28

4.2 Phương trình Korteweg–deVries 30

4.3 Soliton 32

Chương 5: Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 35 5.1 Giới thiệu 35

5.2 Bài toán vật lý dẫn đến phương trình truyền nhiệt phi tuyến 36

5.3 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 38

5.4 Nguyên lý cực đại 40

5.5 Nghiệm mẫu 41

5.6 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến một chiều 45

5.6.1 Nghiệm mẫu cho trước 45

5.6.2 Nghiệm mẫu hai thành phần 51

5.6.3 Đánh giá các tham số của nghiệm mẫu 58

5.7 Trường hợp hai chiều 62

5.7.1 Nghiệm đối xứng tâm 62

5.7.2 Đánh giá nghiệm mẫu hai chiều 64

5.8 Xây dựng nghiệm dựa trên chuỗi lũy thừa 65

5.9 Thảo luận về phương pháp giải 68

Kết luận 70

Lời mở đầu

Toán học là ngôn ngữ của các ngành khoa học nói chung và nhất là với vật

lý nói riêng Những công thức, phương trình toán học được xây dựng nhằm mô

tả những hiện tượng thực tế Có thể nói phương trình được xây dựng và nghiêncứu sâu rộng chính là những phương trình vi phân đạo hàm riêng từ những dạngtuyến tính đơn giản đến các phương trình vi phân phi tuyến vô cùng phức tạp Tuynhiên những hiện tượng xảy ra trong tự nhiên lại rất đa dạng, phức tạp nên nhữngphương trình được xây dựng để mô tả những hiện tượng này đa số là phương trình

vi phân phi tuyến

Như ta đã biết, những phương trình vi phân tuyến tính có thể giải ra đượcnghiệm chính xác Còn đối với những phương trình vi phân phi tuyến thì các nhàtoán học cố gắng làm đơn giản hóa chúng bằng những phương pháp tuyến tínhhóa và đã thành công trong việc giải ra nghiệm chính xác (nghiệm giải tích) Tuynhiên đa số các phương trình vi phân phi tuyến lại rất phức tạp không thể giải rađược nghiệm chính xác mà đòi hỏi phải sử dụng đến những phương pháp xấp xỉ

Tùy vào mục đích khác nhau mà những tài liệu về phương trình vi phân phituyến được xây dựng khác nhau Những luận văn, giáo trình trong nước trên thườngdành cho những nghiên cứu sinh, học viên cao học, đã có nền tảng căn bản vềphương trình vi phân phi tuyến nên những tài liệu này thường được xây dựng mộtcách hàn lâm và đôi khi quá tập trung vào việc giải toán mà lại ít đề cập đến thậmchí bỏ qua những tính chất vật lý của những nghiệm thu được Còn những tài liệubằng tiếng nước ngoài của các tác giả trong nước hay của các tác giả ngoại quốc cónhiều ứng dụng hơn, tuy nhiên vẫn có nhiều tài liệu vẫn tập trung nhiều về phần

lý thuyết tính toán Nhận thấy được điều đó, chúng tôi đã thực hiện luận văn này

Luận văn được xây dựng bằng những cách tiếp cận đơn giản dễ hiểu nhằmhướng tới đối tượng là những học sinh, sinh viên đã có những hiểu biết nền tảng

về việc giải phương trình vi phân tuyến tính và có những bước tiếp cận đầu tiên về

phương trình vi phân phi tuyến Luận văn giới thiệu những phương pháp giải chonhững phương trình vi phân phi tuyến đơn giản từ cấp một đến cấp ba và ở phầncuối sẽ tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến, cụ thể hơn làhiện tượng truyền nhiệt trong chất bán dẫn Trong quá trình xây dựng nội dung lýthuyết và ví dụ minh họa, luận văn luôn hướng đến việc phân tích triệt để nhữngtính chất, ý nghĩa vật lý được thể hiện thông qua các tham số và các nghiệm thuđược Luận văn được lấy nền tảng chủ yếu từ năm tài liệu tham khảo [4], [7], [8],[11] và [12] và được chỉnh lí, bổ sung, sắp xếp lại một cách logic, khoa học nhằmđem lại cho người đọc một cách nhìn đơn giản và dễ hiểu nhất về phương trình viphân phi tuyến.

Vì kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận vănkhó tránh khỏi những sai sót nên rất mong nhận được sự đóng góp quý báu củaquý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

¯

Danh mục hình vẽ, đ ` ô thị

Hình 2.1 Hình dạng sóng lan truyền theo thời gian 11

Hình 2.2 Sử dụng đường cong đặc trưng để tìm một nghiệm bất kì 13

Hình 2.3 Hai nghiệm của phương trình ut+ uux= 0 15

Hình 2.4 Các đường đặc trưng của f (x) = 1 4sin (1.8x − 0.8) 16

Hình 2.5 Các đường đặc trưng của một sóng loãng khí 17

Hình 2.6 Hình dạng sóng loãng khí lan truyền theo thời gian 18

Hình 2.7 Những đường đặc trưng của một sóng xung kích 18

Hình 2.8 Đồ thị biểu diễn nghiệm bội 19

Hình 2.9 Sự bảo toàn khối lượng quanh một sóng xung kích 23

Hình 3.1 Những nghiệm sóng lan truyền của phương trình Burger 27

Hình 4.1 Hình dạng của một sóng đơn độc 32

Hình 4.2 Tương tác giữa hai soliton 34

Hình 5.1 Mạch điện có dòng điện chạy qua tấm bán dẫn 37

Hình 5.2 Dạng đồ thị của hàm a (t) 47

Hình 5.3 Dạng đồ thị của hàm v (x) 50

Hình 5.4 Dạng đồ thị của hàm u (x, t) 51

Hình 5.5 Đồ thị của họ các quỹ đạo trên mặt phẳng pha{ha, bi : |a| < b, b > 0} 54 Hình 5.6 Dạng đồ thị của hàm b (t) 56

Chương 1

Tổng quan

Nếu ta không xét đến cơ học lượng tử, vốn vẫn giữ nguyên là một lý thuyếttuyến tính đến tận ngày hôm nay, thì đa số mọi hệ vật lý trong đời sống thực baogồm khí động lực học, cơ học chất lưu, thuyết tương đối, sinh thái học, thần kinhhọc, nhiệt động lực học, đều được mô hình hóa bởi phương trình vi phân đạohàm riêng phi tuyến Luận văn này chủ yếu khảo sát những mô hình một chiều đơngiản Ngoài ra luận văn còn giới thiệu hướng giải cho phương trình truyền nhiệthai chiều trong chất bán dẫn

Luận văn được sắp xếp theo thứ tự bậc tăng dần từ bậc nhất đến bậc ba củaphương trình vi phân phi tuyến ở dạng đơn giản nhất và sau đó tập trung vào khaithác phương trình truyền nhiệt phi tuyến Về bố cục, nội dung chính của luận vănđược trình bày theo năm chương:

Chương 1 giới thiệu tổng quan nội dung nghiên cứu và đề ra những mục tiêu

cụ thể cho từng chương

Chương 2 tập trung nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất.Phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến bậc nhất là mô hình của các sóngphi tuyến xuất hiện trong khí động lực học, các phản ứng hóa học, sự lan truyềnkhí thải, sóng nước trong các sông cũng như trong rất nhiều hệ sinh học và sinhthái học khác Một trong những hiện tượng phi tuyến quan trọng nhất chính là sựgián đoạn của nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn, điều này là nguyên nhândẫn đến sự hình thành của các sóng xung kích gián đoạn Đối với phương trìnhsóng tuyến tính thì tín hiệu chỉ truyền theo dọc theo một đường đặc trưng, nhưngđối với phương trình phi tuyến thì các đường đặc trưng có thể giao nhau, kết quả

là dẫn đến sự hình thành sóng xung kích Việc biểu thị đặc tính của sóng xungkích vẫn dựa trên việc giải phương trình vi phân phi tuyến nhưng đòi hỏi thêmnhững điều kiện vật lý theo hình thức của định luật bảo toàn

Chương 3 xoay quanh việc nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến bậchai Các phương trình vi phân phi tuyến bậc hai dạng parabolic được dùng để khảosát những quá trình khuếch tán phi tuyến, bao gồm nhiệt động lực học, các phản

ứng hóa học, sự khuếch tán khí thải, động lực học dân số, trong đó đơn giản nhất

và được nghiên cứu nhiều nhất chính là phương trình Burger

Chương 4 trình bày về phương trình vi phân phi tuyến bậc ba Phương trìnhđạo hàm riêng bậc ba xuất hiện trong những nghiên cứu về sự lan truyền của cácsóng, bao gồm sóng nước, sóng plasma, sóng truyền trong các môi trường đàn hồi

và những môi trường khác Ta sẽ khảo sát mô hình lan truyền tuyến tính căn bản

và phương trình nổi tiếng của Korteweg–deVries, một dạng mô hình cho sự lantruyền sóng ở các vùng nước nông, sóng plasma,

Chương 5 tập trung khai thác sâu những khía cạnh của phương trình truyềnnhiệt phi tuyến và cụ thể là hiện tượng nổ chất bán dẫn Phương pháp chủ yếu được

sử dụng là phương pháp tìm nghiệm mẫu dựa trên cơ sở của nguyên lý cực đại,trong đó có sử dụng các phương pháp tách biến và khai triển Taylor-Maclaurin đểgiải quyết bài toán truyền nhiệt phi tuyến phức tạp không thể tìm ra được nghiệmgiải tích, từ đó đưa ra những phân tích, nhận xét và đánh giá những kết quả thuđược Cuối cùng luận văn sẽ đề cập đến hướng giải phương trình truyền nhiệt phituyến trong không gian hai chiều

Chương 2

Sóng và sóng xung kích phi tuyến

Trước khi bước vào nghiên cứu sâu các phương trình phi tuyến thì đầu tiên ta

sẽ khảo sát nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính bậc nhấtđơn giản nhất

2.1.1 Phương trình lan truyền

Xét phương trình lan truyền

thì sóng truyền sang bên trái, trong khi với trường hợp c = 0 tương ứng với sónggiữ nguyên hình dạng và đứng yên tại vị trí ban đầu

Trong trường hợp phức tạp hơn là phương trình sóng truyền không đồng nhất

Hình 2.1: Hình dạng sóng lan truyền theo thời gian

u t + c (x) u x = 0, (2.5)với vận tốc truyền sóng c (x) phụ thuộc vào vị trí trong không gian Phương trìnhnày mô hình hóa cho sóng lan truyền theo một chiều duy nhất trong môi trườngkhông đồng nhất nhưng tĩnh tại Từ phương trình (2.3), ta định nghĩa đường congđặc trưng là nghiệm của phương trình vi phân thường

dx

dt = c (x) (2.6)

Do đó, khác với trường hợp sóng truyền với vận tốc không đổi thì đường đặctrưng trong trường hợp này không nhất thiết phải là đường thẳng Vì vậy ta cómệnh đề sau

là giá trị của nghiệm tại điểm (t, x (t))nằm trên đường cong đặc trưng đã chọn Ta

hàm này bằng không Ta có chuỗi đạo hàm sau:

∂u

∂x(t, x (t)) (2.7)Theo (2.6) ta có thể thay dx

dt = c (x (t)) vì theo giả thiếtx (t) là một đường congđặc trưng, từ đó ta có

Vì đường cong đặc trưng của phương trình vi phân (2.5) là độc lập nên ta có

b (x) ≡

Z

dx

c (x) = t + k, (2.9)với k là hằng số tích phân Vì vậy những đường cong đặc trưng có dạng "songsong" nhau Mỗi đường sẽ được biểu diễn bởi hàm t = b (x) theo phương truyềntrục t Vì thế mà các đường cong đặc trưng được xác định bởi x = g (t + k), với g

là hàm ngược của hàm b

Nhận thấy rằng các đường cong đặc trưng là các tập mức của biến số đặc trưng

ξ = b (x) − t Do đó hàm số nào không đổi dọc theo đường cong đặc trưng thì chỉphụ thuộc vào biến đặc trưng tại mỗi điểm, và vì vậy sẽ có dạng

u (x, t) = p (b (x) − t) (2.10)Nói một cách khác, đường cong đặc trưng là những đường mức chung cho tất

cả các nghiệm của phương trình truyền Dễ dàng thấy rằng với hàm b (x)được xácđịnh như phương trình (2.9) thì u (t, x) sẽ thỏa mãn phương trình (2.5) với hàm

p (ξ) bất kì

Để tìm được nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu ta xét

u (0, x) = f (x) (2.11)Thay điều kiện (2.11) vào phương trình (2.10), ta có

p (b (x)) = f (x) , (2.12)suy ra

p (ξ) = f (g (ξ)) (2.13)Công thức nghiệm trên có thể biểu diễn đơn giản bằng đồ thị: để tìm giá trị

u (t, x) bất kì tại một điểm đã cho, ta sẽ tìm đường cong đặc trưng đi qua điểm

(t, x) Nếu đường đặc trưng này giao với trục x tại điểm(0, y) thì kết hợp với mệnh

đề 1 ta có u (t, x) = u (0, y) = f (y) (hình 2.2) Ngoài ra, nếu đường cong đặc trưng

đi qua điểm (t, x) không giao với trục x thì nghiệm u (t, x) không được mô tả bởiđiều kiện ban đầu

Hình 2.2: Sử dụng đường cong đặc trưng để tìm một nghiệm bất kì

Dạng đơn giản nhất của phương trình vi phân phi tuyến là phương trình lantruyền phi tuyến bậc nhất có dạng

Phương trình này xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng nên nó được biết đếndưới nhiều tên gọi bao gồm phương trình Riemann, phương trình Burger khôngnhớt, Phương trình này mô tả sự lan truyền của vật chất trong các mô hình củakhí động lực học, luồng giao thông, sóng lũ ở các sông, phép ghi sắc, các phản ứnghóa học và nhiều lĩnh vực khác

Phương trình (2.14) có dạng phương trình lan truyền sóng, với vận tốc truyềnsóng c = u phụ thuộc vào độ cao của sóng Sóng cao hơn sẽ chuyển động nhanhhơn các sóng thấp Những sóng dâng lên, với u > 0, sẽ chuyển động sang bên phảicòn các sóng hạ xuống, vớiu < 0 sẽ chuyển động sang bên trái

Phương pháp sử dụng đường đặc trưng đối với phương trình lan truyền sóngtuyến tính có thể áp dụng được cho trường hợp phương trình phi tuyến này và kếtquả sẽ cho nghiệm chính xác Tương tự như biểu thức (2.6), ta định nghĩa đườngcong đặc trưng của phương trình sóng phi tuyến (2.14) là nghiệm của phương trình

vi phân thường

dt = u (t, x) (2.15)

x = ut + k, (2.18)

càng lớn thì đường đặc trưng càng dốc, sóng tương ứng sẽ truyền đi nhanh hơn vàngược lại

Biến số đặc trưng tương ứng là ξ = x − tu phụ thuộc vào nghiệm u Nghiệm củaphương trình (2.14) có thể được viết dưới dạng hàm ẩn

u = f (x − tu) = f (ξ) , (2.19)với f (ξ) là hàm bất kì phụ thuộc vào biến số đặc trưng ξ Nghiệm u (t, x) củaphương trình có thể thu được bằng cách giải phương trình đại số (2.19) Ví dụ,nếu

f (ξ) = αξ + β (2.20)

là một hàm affine và α, β là hằng số, khi đó

u = α (x − tu) + β. (2.21)Suy ra

u (t, x) = αx + β

1 + αt (2.22)

là nghiệm tương ứng của phương trình lan truyền phi tuyến (2.14) Tại mỗi thờiđiểm cố địnht, đồ thị của nghiệm là một đường thẳng Nếuα > 0, đồ thị của nghiệm

Hình 2.3: Hai nghiệm của phương trình u t + uu x = 0

sẽ dàn phẳng nằm ngang khi t → ∞ Nếu α < 0, đường thẳng sẽ dựng lên theophương thẳng đứng khittiến tới giá trị thời gian tới hạn t∗ = −1/α, tại đây nghiệmkhông tồn tại, lúc này nghiệm mô tả một sự "kịch phát" Hàng trên của hình 2.3

là đồ thị của nghiệm vớiα = 1, β = 0.5tại các thời điểm t = 0, 1, 5, 20 còn hàng dướitương ứng với α = −0.2, β = 0.1 tại các thời điểm t = 0, 3, 4, 4.9 Ở trường hợp thứhai, nghiệm tiến đến đường thẳng đứng khit → 5và sau đó không tồn tại khi t = 5

Ta sẽ xây dựng nghiệm tổng quát u (t, x) từ điều kiện ban đầu

u (0, x) = f (x) (2.23)Nhận thấy tại thời điểmt = 0dạng nghiệm của hàm ẩn (2.19) rút gọn lại thành

u (0, x) = f (x) Vì vậy, hàm f (x) trùng với điều kiện ban đầu Tuy nhiên vì (2.19)

là một hàm ẩn nên ta chưa thể khẳng định rằng

(1) có thể giải ra giá trị nghiệm u (t, x) hoàn toàn xác định hay không và

(2) nếu có thể thì phải mô tả các tính chất động lực học của nghiệm như thế nào

Một phương pháp khác được xây dựng dựa trên cách xây dựng hình học giốngnhư với trường hợp tuyến tính (hình 2.2) Qua từng điểm(0, y) trên trụcx ta biểudiễn đường thẳng đặc trưng

x = tf (y) + y, (2.24)với độ dốc của đường thẳng f (y) = u (0, y) là điều kiện ban đầu tại điểm đó Dựavào mệnh đề 1 ta có

u (t, tf (y) + y) = f (y) (2.25)

Ví dụ, nếu f (y) = y thì u (t, x) = y mỗi khi x = ty + y; khử y ta sẽ thu được

Hình 2.4: Các đường đặc trưng của f (x) = 1

4sin (1.8x − 0.8)

u (t, x) = x/ (t + 1), điều này phù hợp với nghiệm là đường thẳng (2.22)

Xét trong trường hợp phức tạp hơn khi hai đường đặc trưng bất kì cắt nhau(hình 2.4) Vì giá trị của nghiệm cũng là độ dốc của đường thẳng đặc trưng nêntại giao điểm của hai đường đặc trưng nghiệm phải thỏa mãn cả hai giá trị khácnhau, mỗi giá trị lại ứng với một đường đặc trưng Về mặt toán học thì ta có thểnhận các nghiệm bội, nhưng xét về ý nghĩa vật lý thì nghiệm u (t, x) phải mô tảmột đại lượng vật lý, ví dụ như mật độ, vận tốc, áp suất, và phải mang một giátrị duy nhất tại từng thời điểm

Có ba trường hợp có thể xảy ra, trường hợp đầu tiên đơn giản nhất là tất cảcác đường đặc trưng đều song song với nhau và do đó nghịch lý trên sẽ không xảy

ra Trong trường hợp này, tất cả các đường thẳng đặc trưng đếu có cùng độ dốc

c, nghĩa là nghiệm có cùng một giá trị u (t, x) ≡ c trên các đường đặc trưng, đây lànghiệm hằng số tầm thường

Trường hợp đơn giản tiếp theo là điều kiện ban đầu f (x) là hàm tăng tại mọiđiểm, f (x) 6 f (y) , ∀x 6 y, nghĩa là đạo hàm của điều kiện ban đầu không âm

f0(x) ≥ 0 (hình 2.5) Các đường đặc trưng tỏa ra từ trục x như hình rẻ quạt sangnửa mặt phẳng bên phải và không bao giờ cắt nhau với mọi thời điểm t ≥ 0 Mỗiđiểm (t, x) với t > 0 chỉ nằm trên một đường đặc trưng duy nhất Vì vậy nghiệm

sẽ được xác định chính xác tại tất cả các thời điểm sau đó Xét về mặt vật lý thìnhững nghiệm này mô tả các sóng loãng khí, những sóng này sẽ phân tán dần rakhi lan truyền Một ví dụ điển hình tương ứng với điều kiện ban đầu

Hình 2.5: Các đường đặc trưng của một sóng loãng khí

Ta tiếp tục xét nghiệm bội này về mặt toán học Cụ thể hơn, xét điều kiện banđầu

u (0, x) = π

6 −1

3arctan x (2.27)được biểu diễn trên hình 2.8 và những đường đặc trưng tương ứng được biểu diễntrong hình 2.7 Tại thời điểm ban đầu các đường đặc trưng không cắt nhau, nghiệmxác định đơn giá Tuy nhiên, sau đó những đường này đạt tới thời điểm tới hạn

t = t∗ > 0 khi đó có hai đường đặc trưng đầu tiên cắt nhau Sau thời điểm đó,

giao của ba đường đặc trưng khác nhau với những độ dốc khác nhau, tại nhữngđiểm này nghiệm mang ba giá trị riêng biệt Bên ngoài vùng hình nêm này, mỗiđiểm chỉ nằm trên một đường thẳng đặc trưng duy nhất, nghiệm xác định đơn giá.Phần bao của vùng hình nêm bao gồm những giao điểm của chỉ hai đường thẳngđặc trưng

Hình 2.6: Hình dạng sóng loãng khí lan truyền theo thời gian

Hình 2.7: Những đường đặc trưng của một sóng xung kích

Hình 2.8: Đồ thị biểu diễn nghiệm bội

Hình ảnh mô tả nghiệm bội tại những thời điểm liên tiếp nhau được biểu diễnqua hình 2.8 Vì điều kiện ban đầu f (x) > 0 nên tất cả các hệ số góc của đườngđặc trưng đều dương Tất cả các điểm trên đồ thị nghiệm sẽ di chuyển sang bênphải với vận tốc tương ứng với độ cao của chúng Vì điều kiện ban đầu là hàmgiảm nên những điểm nằm bên trái sẽ di chuyển nhanh hơn và dần vượt qua nhữngđiểm nằm bên phải Vì vậy mà khi thời gian tăng thì đồ thị trở nên dốc hơn Tạithời điểm tới hạnt∗ khi hai đường đặc trưng đầu tiên cắt nhau tại điểm x∗, đồ thịcủa đường cong biểu diễn nghiệm sẽ là thẳng đứng:

t → t∗⇒ ∂u

∂x(t, x∗) → ∞. (2.28)Sau đó, đồ thị nghiệm sẽ không còn biểu diễn cho một hàm đơn giá mà là nhữngđiểm (t, x) mà tại đó nghiệm xếp chồng lên nhau như đã mô tả ở vùng hình nêm

Để mô hình toán học phù hợp với hiện tượng vật lý, ta cần chọn ra một trong

nghĩa vật lý Một ứng dụng đơn giản của phương trình lan truyền là mô hình chodòng chảy chất lưu chịu nén trong biến không gian một chiều, ví dụ như chuyểnđộng của dòng khí trong một ống dẫn dài Nếu ta nén piston xuống thì khí sẽchuyển động trong xy-lanh và bị nén Tuy nhiên, nếu piston di chuyển quá độtngột thì khí bị nén sẽ tạo ra sóng xung kích truyền dọc theo ống Về mặt toán học,sóng xung kích được mô tả bởi sự gián đoạn mà tại đó nghiệm thay đổi giá trị độtngột

Một phương pháp để giải quyết bài toán toán học dựa trên phương trình viphân mang dạng của một định luật bảo toàn mô tả một hiện tượng thực tế dựatheo định nghĩa sau

2.3.1 Định nghĩa định luật bảo toàn

Định luật bảo toàn là một phương trình có dạng

∂T

∂t +

∂X

Ở đây ta chỉ xét phương trình mô tả trường hợp một chiều Các hàm T và X

tương ứng là mật độ bảo toàn và thông lượng liên kết

Trong trường hợp đơn giản nhất, hàm mật độ bảo toàn T (t, x, u)và thông lượngliên kết X (t, x, u) phụ thuộc vào thời gian t, tọa độ x và nghiệm u (t, x) của hệ vật

lý (Dạng phức tạp hơn còn phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao hơn của u (t, x)) Rõràng ta có thể viết lại phương trình lan truyền phi tuyến (2.14) theo dạng của địnhluật bảo toàn:

d dt

Với phương trình lan truyền (2.36) thì tích phân của định luật bảo toàn (2.38)

có dạng như sau

d dt

có dòng chảy của lượng chất thì khối lượng bảo toàn

2.3.3 Sóng xung kích

Ta quay trở lại với tính chất vật lý của phương trình lan truyền phi tuyến Theođịnh nghĩa, một sóng xung kích chính là bước nhảy gián đoạn của nghiệm u (t, x).Giả sử rằng định luật bảo toàn vẫn đúng ngay cả khi có sóng xung kích Giả sửrằng tại thời điểm t, một sóng xung kích xuất hiện tại vị trí x = s (t) Ta xét thêmgiới hạn bên trái và bên phải

vị trí a = s (t) đến vị trí b = s (t + ∆t) Tổng khối lượng được chứa trong khoảnggiới hạn[a, b] tại thời điểm t trước khi sóng xung kích truyền qua là

Hình 2.9: Sự bảo toàn khối lượng quanh một sóng xung kích

với u ¯−(t) là giá trị trung bình của u (t + ∆t, x) trong cùng một khoảng giới hạn.Khi giới hạn ∆t → 0, điểm b = s (t + ∆t) → s (t) = a, và vì thế mà những giá trịtrung bình

lim

∆t→0 u ¯+(t) = u+(t) , (2.45)

lim

∆t→0 u ¯−(t) = u−(t) (2.46)tiến về giới hạn của giá trị nghiệm bên phải và bên trái của điểm gián đoạn Vìvậy, giới hạn của tốc độ thay đổi khối lượng khi một sóng xung kích truyền quatại thời điểm t là

Vì định luật bảo toàn khối lượng vẫn đúng khi sóng xung kích truyền qua nêngiá trị giới hạn của tốc độ thay đổi khối lượng phải bằng với giới hạn của thônglượng chất

[u−(t) − u+(t)]ds

dt =

1 2

u−(t) > ds

dt =

u−(t) + u + (t)

2 > u+(t) (2.51)Trong khi theo lý thuyết thì có thể xây dựng một nghiệm sóng xung kích chophương trình (2.14) thỏa mãn điều kiện Rankine–Hugoniot (2.50) nhưng lại khôngthỏa mãn (2.51) thì những nghiệm như vậy lại bị loại trừ nếu xét về mặt vật lý.Tính động lực học của các nghiệm sóng xung kích được giới hạn bởi điều kiệnRankine–Hugoniot (2.50) và điều kiện (2.51)

Vì phương trình Burger có dạng bậc nhất theo thời gian nên nghiệm được xácđịnh một cách duy nhất từ điều kiện ban đầu

u (0, x) = f (x) , −∞ < x < +∞. (3.2)Nghiệm tường minh đơn giản nhất là các sóng lan truyền có dạng

u (t, x) = v (ξ) = v (x − ct) , (3.3)với ξ = x − ct Ta có:

Lấy tích phân cả hai vế của phương trình trên theo ξ, ta có

γv0 = k − cv +1

2v

2

với k là hằng số tích phân Để thu được một nghiệm sóng lan truyền giới nội v (ξ)

thì đa thức bậc hai ở vế phải phải có hai nghiệm thực, nghĩa là k < 1

2c

2 Với điềukiện này ta có thể viết lại phương trình vi phân dưới dạng

Hình 3.1: Những nghiệm sóng lan truyền của phương trình Burger

Phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính bậc ba đơn giản nhất là

Đây là một mô hình đơn giản cho các sóng tán sắc

Trong trường hợp đơn giản xét phương trình trong không gian một chiều (x ∈

R) Nghiệm của phương trình được xác định một cách duy nhất từ điều kiện banđầu

ut− ik3u = 0, ˆ (4.4)được tham số hóa bởi giá trị k, thỏa mãn điều kiện ban đầu

cho bài toán giá trị ban đầu của phương trình sóng tán sắc (4.1, 4.2)

Từ (4.1) ta thấy dấu tích phân trong nghiệm (4.7) biểu diễn sự chồng chất củacác hàm số mũ thành phần, từ đó ta có một phương pháp khác để dự đoán nghiệmcủa phương trình (4.1)

u (t, x) = eiωt+ikx. (4.8)

theo thời gian và số sóng k tương ứng không gian Vì

ω = k3. (4.10)Biểu thức này cho thấy mối tương quan tán sắc của phương trình vi phân đạohàm riêng Trong trường hợp tổng quát, bất kì phương trình vi phân đạo hàmriêng động lực học tuyến tính với hệ số hằng nào cũng có mối tương quan tán sắc

(4.8) vào phương trình (4.1) và đơn giản phần hàm mũ chung Trong trường hợp

uk(t, x) = eik3t+ikx. (4.11)Với hàm a (k) bất kì phụ thuộc vào số sóng thì ta cũng có

mô hình của các chuỗi lò xo khối.

Những nghiệm đặc biệt quan trọng nhất của phương trình Korteweg–deVries làcác sóng chạy Ta giả sử rằng nghiệm

u = v (ξ) = v (x − ct) , (4.14)với ξ = x − ct là một sóng có hình dạng cố định lan truyền sang bên phải với vậntốc c Thực hiện chuỗi tính toán

lim

ξ→±∞ v (ξ) = lim

ξ→±∞ v0(ξ) = lim

ξ→±∞ v00(ξ) = 0. (4.20)

Phương trình vi phân thường (4.18) có thể cho nghiệm chính xác Từ phươngtrình (4.18) ta có

d dξ

là tích phân đầu tiên, với k là hằng số tích phân Tuy nhiên, điều kiện biên định

xứ (4.20) cho ta k = 0 Nhân cả hai vế của phương trình trên với v0 và lấy tíchphân lần thứ hai, ta có

với l là hằng số của tích phân lần thứ hai, và cũng từ điều kiện (4.20) suy ra l = 0

Vì vậy v (ξ) thỏa mãn phương trình vi phân thường phân ly bậc nhất

trình Korteweg–deVries cho ta thấy sóng cao hơn sẽ di chuyển nhanh hơn và vì thếbắt kịp sóng thấp hơn Hai sóng này sẽ tương tác phi tuyến với nhau và sau đó

sẽ tách ra nguyên vẹn như cũ sau quá trình tương tác, tức là tiếp tục truyền dọctheo hướng cũ, với các sóng nhỏ hơn di chuyển chậm chạp ở phía sau các sóng caochuyển động nhanh Ảnh hưởng duy nhất từ sự tương tác giữa chúng là sự thayđổi pha, nghĩa là có sự thay đổi giá trị của tham số pha δ trong mỗi sóng (hình4.2) Sau tương tác, chuyển động của soliton này không bị cản trở bởi soliton kia

Vì vậy chúng "hành xử" như những hạt va chạm, do đó mà hình thành tên gọi

"soliton"

Hình 4.2: Tương tác giữa hai soliton

sự lan truyền nhiệt xuất hiện trong một số bài toán vật lý lý thuyết Ví dụ như ta

sẽ trích dẫn lý thuyết sự đánh thủng nhiệt qua tấm bán dẫn [5], [6] lý thuyết lantruyền lửa [11], [12] và sự lan truyền tạp chất kết tinh (chất kết tủa) trong sự lantruyền trong không gian hữu hạn, và cuối cùng là các bài toán sinh thái học liênquan đến sự phát triển rừng [11]

Trong các trường hợp tổng quát, kể cả khi có hoặc không có nguồn nhiệt, thìphương trình truyền nhiệt phi tuyến đối lập với phương trình truyền nhiệt tuyếntính ở chỗ không thể tìm ra dạng nghiệm giải tích chính xác Vì vậy, những phươngpháp gần đúng, cụ thể là phương pháp tiệm cận để tìm nghiệm trở nên vô cùngquan trọng [11] Khi xây dựng những phương pháp nghiên cứu gần đúng thì điềuquan trọng đầu tiên là sự xấp xỉ bậc không thu được phải phản ánh được nhữngđiểm đặc trưng bản chất chính yếu Điều quan trọng thứ hai là có thể kiểm soátđược độ chính xác của phép tính gần đúng Những phép xấp xỉ gần đúng liên tiếp

lí tưởng là phải đưa ra được nghiệm với bất kì độ chính xác nào

Đối với phương trình truyền nhiệt phi tuyến hay với phương trình vi phân cấphai loại parabolic, việc áp dụng nguyên lý cực đại giúp ta nhận ra các đặc điểmđịnh tính chung của nghiệm chính xác, và trong một vài trường hợp là để đánh giácác tham số của nghiệm chính xác trên cơ sở của các nghiệm phù hợp trong việcxấp xỉ bậc không, gọi là phương pháp nghiệm mẫu

Trong chương này ta sẽ xây dựng nghiệm mẫu cho các bài toán truyền nhiệtphi tuyến, từ đó suy ra những tính chất định lượng cũng như định tính của nghiệmchính xác