Định thức wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, và sự đồng ý của giáo viên hướng dẫn cho phép tôi tiến hành làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Định thức Wron

Trang 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN - -

- Đà Nẵng, 5/2017-

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, và sự đồng ý của giáo viên hướng dẫn cho phép tôi tiến hành làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Định thức Wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân”

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến sự tận tình giảng dạy, hướng dẫn của qúy thầy, cô giáo khoa Toán Đặc biệt cho phép tôi gởi lời biết ơn đến thầy giáo, TS Lê Hải Trung là người trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

Trong thời gian nghiên cứu, ban thân tôi đã khắc phục mọi khó khăn để hoàn thành khóa luận Tuy nhiên vì thời gian

có hạn, kiến thức còn hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Kính mong các thầy cô giáo và các bạn góp ý bổ sung, giúp đỡ

để bản thân tôi hoàn thiện hơn nữa đề tài này

Xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2017 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thanh Ngân

Trang 3

GVHD: TS Lê Hải Trung - 1 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Phạm vi nghiên cứu 4

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 4

7 Cấu trúc đề tài 5

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 7

1.1 Các khái niệm cơ bản 7

Định nghĩa 1.1 7

Định lý 1.1 (Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) 8

1.2 Tính chất của toán tử vi phân tuyến tính 9

1.3 Tính chất của nghiệm cho phương trình vi phân thuần nhất 9

1.4 Tính chất 10

Định lý 1.2 10

Định lý 1.3 (Về nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n hệ số biến) 11

Trang 4

CHƯƠNG II ĐỊNH THỨC WRONXKI VÀ ỨNG DỤNG TRONG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 14

2.1 Định thức Wronxki 14

Định lý 2.1 14

Hệ quả 2.1 15

Định lý 2.2 15

Nhận xét 20

Định lý 2.3 (Đồng nhất thức Abel) 20

2.2 Ứng dụng 22

2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 23

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 3 26

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

Trang 5

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ Trong đó, lĩnh vực phương trình vi phân và phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hay nhiều biến) với đạo hàm của nó (có cấp khác nhau), không ngừng được phát triển nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kỹ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực

tế, nó là một bộ môn toán học cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao, vừa mang tính ứng dụng rộng Nhiều bài toán cơ học, vật lý, kinh tế dẫn đến sự nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng Ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và khoa học khác Nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiển tối ưu, giải tích số, tính toán khoa học…

Một trong những công cụ để chứng minh tính độc lập của một hệ n hàm

số nhằm xây dựng hệ nghiệm cơ sở cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n

hệ số biến thiên là sử dụng định thức Wronxki Định thức Wronxki còn có nhiều ứng dụng khác như giúp xác định một nghiệm còn lại của phương trình

Trang 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu, bài báo liên quan đến phương trình vi phân, định thức Wronxki

- Nghiên cứu một số ứng dụng của định thức Wronxki trong việc giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình nghiên cứu

đề tài và thực hiện theo quy trình như sau:

(1) Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa kiến thức

(2) Thu thập các tài liệu có liên quan đến phương trình vi phân và định thức Wronxki

(3) Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

(4) Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu cho những

ai quan tâm đến phương trình vi phân và ứng dụng của định thức Wronxki trong phương trình vi phân

Trang 7

7 Cấu trúc đề tài

Chương I Cơ sở lý thuyết

1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1 (Phương trình vi phân)

Định nghĩa 1.2 (Nghiệm của phương trình vi phân)

Định nghĩa 1.3 (Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số biến thiên)

Định lý 1.1 (Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)

1.2 Tính chất của toán tử vi phân tuyến tính

1.3 Tính chất của nghiệm cho phương trình vi phân thuần nhất

1.4 Tính chất

Định nghĩa 1.4 (Phụ thuộc tuyến tính)

Định nghĩa 1.5 (Độc lập tuyến tính)

Định lý 1.2

Định nghĩa 1.6 (Hệ nghiệm cơ sở)

Định lý 1.3 (Về nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n

Trang 8

Định lý 2.3 (Đồng nhất thức Abel)

2.2 Ứng dụng

2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 3

Tài liệu tham khảo

Trang 9

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Các khái niệm cơ bản

Trang 10

Nếu như phương trình (1.2) với f x( ) 0 thì nó được gọi là phương trình

vi phân tuyến tính không thuần nhất Khi f x( ) 0 thì khi đó phương trình (1.2) trở thành:

Định lý 1.1 (Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm)

Giả sử trong phương trình vi phân thường cấp n (1.2) với điều kiện đầu

tại điểm:

0, 0, 0, , n 0n

các hàm P x P x1( ), ( ), , ( ), ( )2 P x f x xác định và liên tục trong khoảng ( , ) n a b

nào đó, điểm x0( , )a b Khi đó trong ( , )a b tồn tại duy nhất một nghiệm

( )

Chứng minh Ta viết phương trình (1.2) dạng y( )n F x y y , , , , y( 1)n 

Trang 11

1.2 Tính chất của toán tử vi phân tuyến tính

1 Nếu như các hàm y x1( )y y x1, ( )2 y2 n lần khả vi trong ( , )a b thì

L y y  L y  L y  

2 Với mọi hàm y y x ( ) vi phân cấp n trong ( , )a b và với số  bất

kỳ ta có LyL y  

1.3 Tính chất của nghiệm cho phương trình vi phân thuần nhất

1 Nếu y1 y x1( ) và y2 y x2( ) là các nghiệm của phương trình vi phân

thuần nhất cấp n (1.3) thì y y1 2 y cũng là nghiệm của (1.3)

2 Nếu y y x ( ) là nghiệm của (1.3) thì với mọi  bất kỳ y cũng

là nghiệm của (1.3)

Trang 12

3 Nếu y1 y x1( ), y2 y x2( ), , y n y x n( ) là nghiệm của phương trình (1.3) thì y1 1y x( )2 2y x( )  n n y x( ) cũng là nghiệm của phương trình (1.3), trong đó i, 1,i n là các hằng số bất kỳ

Định nghĩa 1.5 Một hệ các hàm số y y x i i  i( ), 1,n được gọi là độc lập

tuyến tính trong khoảng ( , )a b , nếu như từ

1

0

n

i i i

( )

.( )

y x

const

Trang 13

Trang 14

khi đó

1 1( ) 2 2( ) n n( )

u c y x c y x  c y x , trong đó c c1, , ,2 c n là các hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của (1.7)

Kí hiệu Y Y x   là một nghiệm riêng của (1.6) thì nghiệm tổng quát của phương trình vi phân không thuần nhất (1.6) có dạng:

Trang 15

detW , mặt khác y1, ,y n là hệ nghiệm cơ sở của (1.7), nghĩa là tồn tại nghiệm c i i, 1,2, , n của hệ (1.10)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân không thuần nhất (1.6) có dạng:

Trang 16

CHƯƠNG II ĐỊNH THỨC WRONXKI

VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

2.1 Định thức Wronxki

Định nghĩa 2.1 Giả sử hàm y y x i i  i( ), 1,n , (n – 1) lần khả vi trong

khoảng (a,b) Khi đó định thức:

( ) ( ) ( )

n n

được gọi là định thức Wronxki (hoặc Wronxkian)

Định lý 2.1 Nếu hệ y x y x1( ), ( ), , ( )2 y x n , (n – 1) lần khả vi trên (a,b) là phụ

thuộc tuyến tính thì W x( ) 0 x( , )a b 

Chứng minh Giả sử hệ y i i  1,n lần khả vi trên (a,b) và phụ

thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại c i i  1,n không đồng thời bằng 0 để cho

1

( ) 0 ( , )

n

i i i

Trang 17

Kết hợp các biểu thức nhận được với (2.1) và cố định x x 0 ( , )a b ta nhận được hệ phương trình đại số cấp n:

trong đó các hệ số (c i i 1, )n được coi là ẩn cần phải tìm của hệ (2.2)

Theo giả thiết c i i( 1, ) n không đồng thời bằng 0, do đó định thức của

nhận được tại mọi x0( , ): ( ) 0a b W x0  Như vậy W x( ) 0 ( x( , ))a b

Hệ quả 2.1 Nếu W x( ) 0 tại x nào đó thuộc (a,b) thì hệ hàm

y x y x1( ), ( ), , ( )2 y x độc lập tuyến tính trên (a,b) n 

Định lý 2.2 Với mỗi hệ nghiệm cơ sở y x y x1( ), ( ), , ( )2 y x n , của phương trình

Trang 18

( ) ( ) ( )

n n

tại mỗi điểm x( , )a b

Chứng minh Lấy một hệ nghiệm cơ sở tùy ý y x i i( ), 1, n của phương trình

vi phân thuần nhất cấp n (2.3) và ta giả sử định thức Wronxki của nó bằng 0

tại một điểm x0( , )a b nào đấy, như vậy:

n n

Trang 19

Khi đó theo định lý 1.1 (về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương

trình vi phân cấp n ) ta có y* 0y y1, , ,2 y n là phụ thuộc tuyến tính, điều này mâu thuẫn với giả thiết y y1, , ,2 y n là hệ nghiệm cơ sở của phương trình (2.3) độc lập tuyến tính Từ đây ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.1 Xác định hệ các hàm số sau là phụ thuộc tuyến tính hay độc lập

Trang 20

Cách 2 Dựa vào hệ quả:

3

2( ) 8 4 4

Phương trình có hai nghiệm y e y1  x, 2 ex

Cách 1 Dựa vào định nghĩa, xét 1e x 2ex 0

Giả sử hệ nghiệm trên phụ thuộc tuyến tính Do đó tồn tại  1, 2 không đồng thời bằng 0 để 1e x2ex 0,  x 0

2 2

Đây là hệ nghiệm cơ bản vì phương trình là tuyến tính cấp hai

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là y x( )C e1 x C e2 x

Trang 21

Ví dụ 2.3 Xác định hệ các hàm số sau là phụ thuộc tuyến tính hay độc lập

tuyến tính: f x( )x1 và

3 2

Vậy hệ trên độc lập tuyến tính

Cách 2 Dựa vào hệ quả:

Trang 22

tùy ý khi a, b trái dấu

Định lý 2.3 (Đồng nhất thức Abel)

Giả sử W(x) là định thức Wronxki của hệ n nghiệm

y x y x1( ), ( ), , ( )2 y x n  của phương trình thuần nhất

Trang 23

W x

hay

Trang 24

x x

Đồng nhất thức Abel cho phép ta tìm nghiệm thứ n, độc lập tuyến tính

với n1 nghiệm độc lập tuyến tính đã biết của phương trình tuyến tính cấp n, bằng cách giải phương trình vi phân cấp n – 1

Nếu biết một nghiệm không tầm thường y1 của phương trình tuyến tính thuần nhất

1

toàn

Thật vậy, đặt zudx  z u và y y z 1 (2.16) Thay vào phương trình thuần nhất (2.15) ta có:

n

Trang 25

Ta có y y 1 nên từ (2.16) suy ra z1 là một nghiệm của (2.17) Do đó

2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2

Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2

Trang 26

Trang 27

Biết phương trình có một nghiệm là y x1( )x

Giải Phương trình đã cho viết lại được dưới dạng:

( )

11

2 11

Trang 28

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

1( ) ln 1

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 3

Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 3

Trang 29

Trang 30

12

( 2 )1

2

dx x

2 2

     là nghiệm còn lại của (2.30)

3

Trang 31

Cách 2 Theo công thức (2.29), nghiệm độc lập tuyến tính với y y1, 2

được cho bởi

Giải

Cách 1

Trang 32

2

ln( 2) 2

1

(1 )1

(1 )

x

x x

( ) x x

Trang 33

Trang 34

3 ln 2

4

2

42

4

x dx x x

Trang 35

Do đó 2  

1 12

2 2

    là nghiệm còn lại của (2.34)

Trang 36

Trang 37

KẾT LUẬN

Việc sử dụng định thức Wronxki giúp ta kiểm tra xem hệ nghiệm có là độc lập tuyến tính hay không một cách nhanh chóng, giúp suy ra nghiệm tổng quát của phương trình Ngoài ra khi biết được nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp n, bằng cách sử dụng định thức Wronxki mà ta có thể dễ dàng xác định được một nghiệm còn lại của phương trình đó

Bài khóa luận đã giải quyết được một số nội dung cụ thể như sau:

Chương I Ở chương này, bài khóa luận đã hệ thống hóa các khái niệm, kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp cao Chương II Bài khóa luận đã trình bày về các nội dung kiến thức liên quan đến định thức Wronxki và ứng dụng của nó trong phương trình vi phân: kiểm tra hệ nghiệm độc lập tuyến tính, tìm nghiệm còn lại của phương trình vi phân tuyến tính cấp n Trình bày công thức tính nghiệm còn lại của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 và cấp 3 có ví dụ minh họa

Mặc dù đã cố gắng và nỗ lực cao nhất trong thời gian qua, tuy nhiên trong thời gian có hạn nên bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô cùng các bạn góp ý, bổ sung để bài khóa luận được hoàn thiện hơn

Trang 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết Phương trình vi phân, Nhà xuất bản Đại

học Sư phạm

[2] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh, Lý thuyết chuỗi

và phương trình vi phân, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

[3] Nguyễn Mạnh Quý, Giáo trình Phương trình vi phân, Nhà xuất bản Đại

học Sư phạm

[4] Trịnh Đức Tài, Phương trình vi phân (Bài giảng tóm tắt), 2008

[5] B L Moreno-Ley, J López-Bonilla, B Man Tuladhar, On the 3 rd order linear differential equation, 2012

[6] Philip Hartman, Ordinary Differential Equations, 2002

[7] William E.Boyce, Richard C.Diprima, Elementary Differential Equations

and Boundary Value Problems, 2001

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	1 MB