Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)

Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ

TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN

Mã số: ĐH2014-TN04-01

Xác nhận của cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài:

(Ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên)

PGS.TS Phạm Hiền Bằng

THÁI NGUYÊN, 05/2017

DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1 Phạm Hiến Bằng Trường ĐHSP-ĐHTN Chủ nhiệm đề tài

2 Nguyễn Quang Diệu Trường ĐHSP Hà Nội Thực hiện

3 Phạm Tuyết Mai Trường ĐHSP-ĐHTN Thực hiện

4 Phạm Thị Thủy Trường ĐHSP-ĐHTN Thực hiện

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU

Tên đơn vị trong và

ngoài nước

Nội dung phối hợp nghiên

cứu

Họ và tên người đại diện đơn vị

Khoa Toán Trường

Đại học sư phạm Hà

Nội

Cung cấp tài liệu, tham gia một số chuyên đề và một số nội dung nghiên cứu

GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu

MỤC LỤC

DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI i

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU i

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU iii

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS vi

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 2

3 Nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG I TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL 3

1.1.Hàm m - điều hòa dưới 3

1.2.Các lớp kiểu Cegrell 6

1.3 Tính duy nhất của hàm m điều hòa dưới 11

1.4 Một vài áp dụng 16

Kết luận của chương 1 18

CHƯƠNG II ĐỒ THỊ ĐA CỰC ĐẦY TRONG £N 19

2.1 Giới thiệu 19

2.2 Đồ thị của hàm liên tục và hàm chỉnh hình 21

2.3.Bao đa cực của đồ thị 32

Kết luận của chương 2 36

CHƯƠNG III SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM CHỈNH HÌNH VÀ DÃY HÀM HỮU TỶ 37

3.1 Giới thiệu 37

3.2 Một vài kiến thức cơ sở của lý thuyết đa thế vị 39

3.3 Sự hội tụ của dãy hàm chỉnh hình và dãy hàm hữu tỷ 40

3.4 Xây dựng chi tiết sự hội tụ nhanh 53

Kết luận của chương 3 58

KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

-Tên đề tài: Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến

- Mã số: ĐH2014-TN04-01

- Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

Tổ chức chủ trì: Trường Đại học sư phạm- ĐHTN

Thời gian thực hiện: 24 tháng

2 Mục tiêu:

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell Vấn đề tiếp theo là xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy Cuối cùng là nghiên cứu độ đo Monge-Ampere của logarithmic mođun một dãy đa thức hội

tụ nhanh về một hàm chỉnh hình

3 Tính mới và sáng tạo: Có một số kết quả mới trong 3 bài báo khoa học

xuất bản trên các tạp chí quốc tế trong danh mục SCI và SCIE

4 Kết quả nghiên cứu:

- Thu được kết quả về các điều kiện đủ đối với tính duy nhất của hàm

m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell

- Thu được kết quả về xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy

- Thu được kết quả về điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ của dãy các

hàm chỉnh hình hoặc dãy hàm hữu tỷ

5 Sản phẩm:

5.1 Sản phẩm khoa học (bài báo khoa học):

5.1.1 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X (2014), “Uniqueness properties of

m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1,

pp 669-683 (SCI)

5.1.2 Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £N ”, Anal Polon Math 112.1, pp 85-100 (SCIE)

5.1.3 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem

without uniform boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 (SCIE)

5.2 Sản phẩm đào tạo:

5.2.1 Nguyễn Thị Hải Hiền (2015), Approximation of plurisubharmonic functions in the weighted energy class, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư

phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.2 Trần Thị Thanh Hương (2015), Weighted pluricomplex energy, Luận

văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm-Đại học Thái Nguyên

5.2.3 Trần Thị Mai Phương (2015), The complex Monge-Ampe’re operator and the Dirichlet problem in class F , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư

phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.4 Tạ Quang Sỹ (2015), Monge-Ampe’re measures on pluripola set and complex Monge-Ampe’re equation, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư

phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.5 Phùng Thị Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Luận văn thạc sĩ,

Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.6 Dương Huyền Nhung (2016), Convergence in capacity, Luận văn thạc

sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.7 Ngạc Ngọc Khôi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.8 Hoàng Thị Hải Yến (2016), A Dirichlet problem for complex Ampe’re operator in F( )f , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại

Monge-học Thái Nguyên

5.2.9 Nguyễn Thị Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in hyperconvex domains, đề tài NCKH sinh viên trường Đại học sư phạm

5.2.10 Nguyễn Thị Lan (2016), Miền xác định của toán tử Monge-Ampere

phức, khóa luận tốt nghiệp của sinh viên trường Đại học sư phạm

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu

Kết quả của đề tài phục vụ cho công tác đào tạo cử nhân, cao học và nghiên cứu sinh ngành Toán giải tích tại khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên

(ký, họ tên và đóng dấu) (ký, họ tên)

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

- Project title: Some applications of plurisubharmonic theory to complex analysis in several variables

- Code number: ĐH2014-04-01

- Coordinator: Associate Professor Pham Hien Bang

- Implementing Institution: Thai Nguyen University of Education

- Cooperating Institution: Ha Noi National University of Education, Associate professor-doctor of science Nguyen Quang Dieu

3 Creativeness and innovativeness:

There are some new results in three scientific articles published in the national journal of science, where one paper belongs to the SCI and two papers belongs to the SCIE list

4 Research results:

- Obtained sufficient conditions for unicity of m - subharmonic functions in Cegrell classes

- Obtained result on construct functions defined on a given set such that their

graphs are complete pluripolar

- Obtained result on the convergence of sequence of holomorphic and

rational functions

5 Products:

5.1 Scientific products:

5.1.1 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong X.X (2014), “Uniqueness properties of

m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1,

pp 669-683 (SCI)

5.1.2 Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £N ”, Anal Polon Math 112.1, pp 85-100 (SCIE)

5.1.3 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem

without uniform boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 (SCIE)

5.2 Training products:

5.2.1 Nguyen Thi Hai Hien (2015), Approximation of plurisubharmonic functions in the weighted energy class, Master Thesis, College of Education,

Thai Nguyen University

5.2.2 Tran Thi Thanh Huong (2015), Weighted pluricomplex energy, Master

Thesis, College of Education, Thai Nguyen University

5.2.3 Tran Thi Mai Phuong (2015), The complex Monge-Ampe’re operator and the Dirichlet problem in class F , Master Thesis, College of Education,

Thai Nguyen University

5.2.4 Ta Quang Sy (2015), Monge-Ampe’re measures on pluripola set and complex Monge-Ampe’re equation, Master Thesis, College of Education, Thai

Nguyen University

5.2.5 Phung Thi Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Master Thesis,

College of Education, Thai Nguyen University

5.2.6 Duong Huyen Nhung (2016), Convergence in capacity, Master Thesis,

College of Education, Thai Nguyen University

5.2.7 Ngac Ngoc Khoi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University

5.2.8 Hoang Thi Hai Yen (2016), A Dirichlet problem for complex Ampe’re operator in F ( )f , Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University

Monge-5.2.9 Nguyen Thi Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in

hyperconvex domains, Scientific resrarch project of the of students of Thai

Nguyen University of Education

5.2.10 Nguyen Thi Lan (2016), The domain of definition of the complex Monge-Ampe’re operator, Graduation thesis of students of Thai Nguyen

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Khởi nguồn từ các công trình nguyên thủy của Bedford và Taylor vào đầu những năm 80 của thế kỷ trước, toán tử Monge-Ampere trên không gian Euclid phức n chiều £ được xem như một mở rộng tự nhiên của toán tử nLaplace cổ điển được xác định trên mặt phẳng phức Mối liên hệ này sẽ cho chúng ta những áp dụng của toán tử Monge-Ampere vào các bài toán xấp xỉ hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trên các tập mở bị chặn của £ Do nđặc thù của toán tử Monge-Ampere là không thể tính toán tường minh trên các hàm đa điều hòa dưới không trơn tới cấp hai, nên bài toán xấp xỉ một hàm

đa điều hòa dưới tổng quát u bởi một dãy các hàm đa điều hòa dưới trơn u j

đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán Dirichlet trên các miền

siêu lồi bị chặn Có thể kể đến định lý Fornaess-Wiegerinck (“Approximation

of plurisubharmonic functions”, Arkiv for Mat 1989) nói rằng xấp xỉ sẽ xảy

ra với mọi hàm đa điều hòa dưới trên miền bị chặn Dvà liên tục tới tận biên Sau đó F Wikstrom, Nguyễn Quang Diệu đã nghiên cứu một biến dạng của định lý Fornaess-Wiegerinck đối với hàm đa điều hòa dưới bị chăn trên miền

siêu lồi Đặc biệt trong bài báo “Approximation of plurisubharmonic functions

on bounded domains in £ ”, Michigan Math J 2006, Nguyễn Quang Diệu n

đã lần đầu tiên xét thêm tính hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampere (ddc u j)n.Các kết quả như vậy sẽ có ứng dụng vào việc nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere khi giá trị biên là các hàm khả tích Lebesgue tùy ý Đây là một trong những bài toán quan trọng của giải tích phức nhiều biến đã và đang được nhiều người quan tâm Một vấn đề liên quan được Gonchar nghiên cứu vào cuối những năm 70 của thế kỷ trước là xấp xỉ nhanh hàm chỉnh hình bởi dãy các đa thức hay hàm hữu tỷ Điều đáng chú ý

là mối liên hệ giữa hội tụ của dãy độ đo Monge-Ampere của dãy hàm đa thức hay hàm hữu tỷ vẫn chưa được đề cập đến Những điều trên phản ánh tính cấp thiết của việc nghiên cứu những ứng dụng của lý thuyết thế vị phức trong giải tích phức nhiều biến Việc giải quyết thành công dù chỉ một trong các vấn đề

trên cũng sẽ là các đóng góp đáng kể vào sự phát triển của lý thuyết hàm biến

phức

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell Tìm các đặc trưng của hàm điều hòa dưới hoặc xa hơn là các hàm m - điều hòa dưới sao cho độ đo những hàm này có thể xấp

xỉ bằng độ đo Monge-Ampere của một dãy hàm điều hòa dưới trơn Vấn đề tiếp theo là xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy Cuối cùng là nghiên cứu độ đo Monge-Ampere của logarithmic mođun một dãy đa thức hội tụ nhanh về môt hàm chỉnh hình

3 Nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu

- Đề tài nghiên cứu ứng dụng của toán tử Monge-Ampere trong lý thuyết đa thế vị vào nghiên cứu một số bài toán của giải tích phức nhiều biến Cụ thể hơn, chúng tôi nghiên cứu các vấn đề sau:

1 Nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell Xem xét mở rộng các kết quả đã biết (tính hội tụ, tựa liên tục,…) của toán tử Monge-Ampere trên lớp hàm đa điều hòa dưới cho lớp hàm m - điều hòa dưới

2 Xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy

3 Nghiên cứu tính xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới (tương ứng hàm chỉnh hình) bởi các hàm đa điều hòa dưới trơn (tương ứng đa thức hoặc hàm hữu tỷ) Đặc biệt chú ý tới sự hội tụ của dãy độ đo Monge-Ampere

- Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức (cách xây dựng độ đo Monge-Ampere trên miền không bị chặn và xấp xỉ hàm điều hòa dưới bởi mô đun dãy hàm chỉnh hình thích hợp, …)

u vsao cho trên toàn bộ miềnWÐ Cn, trong đó u v, là các hàm m

-điều hòa dưới xác định trênW Cuối cùng là một vài ứng dụng về sự hội tụ yếu của dãycác hàm m - điều hòa dưới

1.1 Hàm m - điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 Cho W là một miền trongC , n u là một hàm điều hòa dưới

xác đinh trên W,u ¹ ¥ và mlà số nguyên:1 £ m £ n Ta nói rằng: u là một

hàm m - điều hòa dưới nếu với mỗi h1, ,h m-1trong ˆ

SH- W là tập hợp các hàm m - điều hòa dưới âm trên W

Vì tính m - điều hòa dưới không bất biến dưới sự hợp thành với các ánh xạ chỉnh hình nên điều này làm cho nó khó khăn hơn so với các hàm đa điều hòa dưới

Lớp các hàm m - điều hòa dưới được giới thiệu lần đầu tiên trong [30] Sau đó, trong [5], tác giả đã giới thiệu miền xác định của toán tử Hessian (dd u c )m Ùw n m- Trong [10] tác giả đã dựa theo các lớp Cegrell và mở rộng các lớp năng lượng hữu hạn đối với các hàm m - điều hòa dưới Nói riêng,

u = v

Blocki đã xem xét tính liên tục của toán tử Hessian dưới sự hội tụ đơn điệu hoặc sự hội tụ tổng quát hơn theo dung lượng

Mục đích của chương này là đưa ra các điều kiện đủ cho tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới Vì hai hàm đa điều hòa dưới có thể bằng nhau trên một tập mở của một miền mà không nhất thiết trùng nhau (chẳng hạn

0

u º và v z( ) = max(log |z |, 0)), nên một cách tự nhiên có thể đặt thêm các giả thiết trên các độ đo Hessian của u v, để đảm bảo rằng u º v trên toàn

bộ W Kết quả đầu tiên theo hướng này là Định lý của Bloom và Levenbeng

về tính duy nhất của việc mở rộng các hàm đa điều hòa dưới cực đại

Định lý 1.1.1 (Định lý 2.4 [7]) Giả sử n

K Ð C là một tập compact và lồi đa thức W là một miền bị chặn chứa K u v, là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trong W, thỏa mãn u £ v trên W u = v trên một lân cận liên thông của ¶ W , v liên tục và thỏa mãn ( dd v c )n = 0 trên W\ K Khi đó u = v trên

so sánh đối với hàm m - điều hòa dưới (Bổ đề 1.2.5) Công cụ này cho phép làm yếu giả thiết đã cho trong Định lí 1.1.2 về tính lồi chỉnh hình của K (xem Định lí 1.3.2) thành tính lồi phân hình Tương tự, chúng tôi có thể chứng minh Định lý 1.3.3 và phát biểu tương tự Định lí 1.1.1 đối với các hàm m -

điều hòa dưới u v, trùng nhau trong một lân cận của W\ K và compact K có thể giao nhau với biên ¶ W Cuối chương là hai ứng dụng của các định lý chính vào bài toán của miền hội tụ yếu đối với các dãy các hàm m - điều hòa dưới

Các hàm m - điều hòa dưới có các tính chất cơ bản sau đây:

Mệnh đề 1.1.3 Cho W là tập mở trong C Khi đó ta có: n

= là dãy giảm các hàm m - điều hòa dưới thì u = limj® + ¥ u j

cũng là hàm m - điều hòa dưới

)

g Cho p ³ 0 là hàm bán kính trơn trong n

C , triệt tiêu bên ngoài hình cầu đơn vị và thỏa mãn 1

n pdV = n

òC trong đó dV n là độ đo Lebesgue của n

C Với u Î SH m( )W , đặt

tiên ta bắt đầu với việc tổng quát hóa miền siêu lồi:

Định nghĩa 1.2.1 Một miền Wbị chặn trong C được gọi là n m - siêu lồi nếu tồn tại một hàm vét cạn, m - điều hòa dưới liên tục âm r đối với W, tức là

a) Sự tồn tại của một hàm trong 0

( )

m W

E là không tầm thường vì nó phụ thuộc vào một kết quả cơ bản của Blocki trong [5], nói rằng một hàm m - điều hòa dưới liên tục u là m - cực trị khi và chỉ khi (dd u c )m Ùw n m- = 0

b) Lớp Fm( )W có tính chất sau: Nếu u Î Fm( )W và u £ v thì v Î Fm( )W Điều đó suy ra rằng mỗi hàm m - điều hòa dưới u bị chặn, âm trên một miền

m - siêu lồi W có thể sửa đổi địa phương thành một phần tử của Fm( )W Chính xác hơn, cho K là tập con compact của W và r Î Em0( )Wlà một hàm vét cạn m - điều hòa dưới của W Khi đó với j đủ lớn, hàm

trong đó T = dd c j 1 Ù dd c j m-1 Ùw n m- Ở đây cả hai vế có thể bằng - ¥

tại thời điểm như nhau

Chứng minh Chứng minh được suy ra tương tự như trong Định lý 3.2 của [9],

hoặc chi tiết có thể xem Định lý 3.19 trong [10]

Như là một áp dụng đầu tiên của công thức tích phân từng phần ở trên, ta có kết quả sau:

w là bị chặn đều Phép chứng minh là đầy đủ

Chứng minh Vì bài toán là địa phương, nên ta có thể giả sử W là hình cầu và

y Î E W sao cho u- y G = const trên G

Chứng minh Cho là hàm vét cạn m –điều hòa dưới liên tục, âm, bị chặn đối với W Chọn 0< d1 < d2 sao cho

-è ø trênG Phép chứng minh là đầy đủ

Định nghĩa 1.2.10 Cho W là một miền trong £ và n K là tập con compact của W Khi đó K được gọi là:

( )a Lồi phân hình trong W nếu với mọi z Î W\ K đều tồn tại một hàm chỉnh hình f trên W sao cho f z( )Ï f K( )

( )b Lồi chỉnh hình trong W nếu với z Î W\ K , đều tồn tại một hàm chỉnh hình f trên W sao cho supK f < f z( )

Sử dụng nghiệm của bài toán Levi, ta có thể chỉ ra rằng một tập hợp con compact K của £ là lồi đa thức khi và chỉ khi n K là tập không điểm của một hàm đa điều hòa dưới trơn, không âm (xem [20], Định lý 5.2) Bằng cách chỉnh sửa phần “chỉ khi” trong chứng minh trên, ta có kết quả sau

Bổ đề 1.2.11 Cho W là miền bị chặn n

£ và K Ð W là tập con lồi chỉnh hình compact của W Giả sử G Ð là tập con mở của W W và f là một hàm chỉnh hình trên W sao cho 0Ï f K( ) và sup K f < 1 Khi đó với mỗi e Î (0,1) và với mọi lân cận mở U của K sao cho G \U ¹ Æ đều tồn tại

c j đa điều hòa dưới chặt trên G \U.

1.3 Tính duy nhất của hàm m điều hòa dưới

Những chứng minh bổ trợ sau về tính duy nhất của hàm điều hòa dưới

là cần thiết trong phép chứng minh các kết quả chính

Bổ để 1.3.1 Cho WÐ D là miền bị chặn trong £ và K n Ð D là tập con lồi phân hình, compact của D Giả sử u v, Î SH( )W sao cho

Chứng minh.(xem [17, Bổ đề 3.1)

Bây giờ ta có kết quả chính

Định lý 1.3.2 Cho W là một miền m –siêu lồi bị chặn trong £ và K Ð W n

là tập con lồi phân hình compact của W Giả sử , u v Î Fm( )W thỏa mãn:

Chứng minh.Theo Bổ đề 1.3.1, ta cần chứng minh rằng nếu f là hàm chỉnh

hình trên W sao cho 0Ï f K( ) thì

e Î Đặt f e = max log |( f |, loge) Giả sử G là một tập con

mở của W sao cho K ÐG ÐW Vì f PSH( ) C( )

e Î W Ç W nên theo Bổ đề 1.2.9 tồn tại 0( )

Chú ý rằng dd f c e = dd c y G trên G, nên dd f c e w n-1 = 0 trên G Ç{u < v}

Cuối cùng, cho G Z W ta được điều phải chứng minh của bước 2

dd f e Ùw - = trên WÇ{u < b < v}.Suy ra

1max(v- b, 0)dd f c e Ùw n- = 0 trên WÇ{u < b}

Cho d ] 0, vì{u < b}là tập mở nên theo Bổ đề 1.2.8 ta có

Không mất tính tổng quát, giả sử sup | |

j º trong lân cận của K và f

Chọn c Î C0¥ ( )W sao cho 0£ c £ trên 1 W và c = 1 trong G Vì u = v

trong W\ G và c j = 0 trong lân cận của ¶ W( \ K), nên sử dụng Định lý Stokes ta được

các điều kiện sau:

( )a { }u j j³1 không hội tụ đều đến - ¥ trên các tập compact của W\ K

( )b u j £ u trên W\ K với mọi j ³ 1

( )d

1

j j

loc

L W Cho v là một điểm tụ như vậy Khi đó tồn tại một dãy con{u }³ sao cho

*lim sup ik

Từ đó, theo Mệnh dề 1.2.4 (c) ta được v Î Fm ( )W với mọi j Î e m0( )W là đa

điều hòa trên một lân cận mở của K Theo Mệnh đề 1.2.4(c) ta nhận được

( c )m n m lim ( c )m n m

k k

Mệnh đề 1.4.2 Cho W là một miền siêu lồi bị chặn trong £ và n K là tập

con lồi đa thức compact của £ Giả sử n { }u j j³1 là một dãy trong Fm( )W thỏa

mãn các điều kiện sau:

( )a Tồn tại ( )

m SH

j Î - W sao cho lim inf ( c )m n m

j

-® ¥ W

Ù > - ¥

ò( )b Tồn tại u Î SH m-( )W ÇL¥loc( \W K) sao cho

Khi đó u j ® u trong 1 ( \ )

loc

L W K khi j ® ¥

Chứng minh Theo giả thiết (c) ta suy ra rằng dãy{ }u j j³1 không hội tụ đến

- ¥ đều trên các tập compact của W Như vậy dãy này là compact trong

Hơn nữa, vì v k ] v khi k Z ¥ nên theo Mệnh đề 1.2.4 ta được ( )

m

v Î E W Chú ý: vì v £ u trên ( )W, nên u Î Em( )W Hơn nữa, theo giả thiết (b) ta có:

dd u Ùw - = trên W\ K Như vậy ( c )m n m ( c )m n m

dd v Ùw- ³ dd u Ùwtrên W\ K Áp dụng Định lý 1.3.3 ta kết luận u = v trên W\ K 

-Kết luận của chương 1

- Trong chương này chúng tôi đã tổng quát hóa kết quả của Bloom và Levenbeng về tính duy nhất của việc mở rộng các hàm đa điều hòa dưới cực đại [7] và kết quả của Duval và Sibony về tính duy nhất của việc mở rộng các hàm đa điều hòa dưới [17] đối với lớp các hàm m - điều hòa dưới Các kết quả đạt được là Định lý 1.3.2 và Định lý 1.3.3

- Áp dụng các kết quả về tính duy nhất để cho các điều kiện đủ đối với sự hội tụ yếu của dãy các hàm m - điều hòa dưới Các kết quả đạt được là Định

lý 1.4.1 và Định lý 1.4.2

D Ð £ được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi dòng phức l, sự hạn chế của

u lên mỗi thành phần liên thông của D Ç hoặc là một hàm điều hòa dưới hoặc l

Định nghĩa 2.1.3 [29] Cho một tập con đa cực E của D, bao đa cực của E

đối với D được xác định nghĩa bởi

E D* = {z Î D : " Îu PSH D( ), u |Eº - ¥ Þ u z( )= - ¥ }

Rõ ràng E D* là đa cực Hiển nhiên rằng nếu E là đa cực đầy trong D, tức là

E trùng với - ¥ quỹ tích của một phần tử u Î PSH D( ), thì E D* = E Ngược lại, Zeriahi [35] đã chứng minh rằng nếu E D* = E với E là F s và G s

và D là miền giả lồi, thì E phải là đa cực đầy trong D Nhắc lại rằng một miền D Ð £ Nđược gọi là giả lồi nếu D có một hàm đa điều hòa dưới vét cạn

Chương này tập trung vào việc xây dựng các hàm xác định trên một tập

đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy Với một tập con X của £ và Nmột hàm f xác định trên X , đồ thị của f trên X được xác định bởi

Gf(X) = {( , ( )) :z f z z Î X}

Edlund [23] đã chỉ ra rằng nếu F là tập đóng không rỗng trong mặt phẳng

phức thì tồn tại một hàm liên tục f trên F sao cho Gf( )F là đa cực đầy trên 2

£ Sử dụng phương pháp của Edlund, chúng tôi xây dựng một hàm liên tục

g xác định trên F , tích của N tập đóng sao cho Gf( )g là đa cực đầy Hơn nữa, hàm có thể được chọn để chỉnh hình trong phần trong của F Kết quả chính đầu tiên đạt được là Định lý 2.2.1 Kết quả thứ hai, Định lý 2.2.8 là một tổng quát của định lý của Levenberg, Martin và Poletsky Cụ thể là, với đa diện giải tích liên thông D Ð £ N bất kì tồn tại một hàm chỉnh hình g trên D

sao cho Gg( )D là đa cực đầy trong £N +1 Cuối cùng, chúng ta đưa ra một phiên bản của Định lý 4.6 trong [21] để kết luận rằng bao đa cực đầy của ( )

g D

G và hình trụ ¶ ´ £D không giao nhau Do đó theo Định lý Zeriahi ta

nhận được tính đa cực đầy của Gg( )D trong £N +1 Kết quả chính tiếp theo liên quan đến bài toán xác định bao đa cực đầy Để cho một ví dụ đơn giản của bao đa cực đầy, ta có thể lấy E = ´0 { | z |= 1} Ð £ và 2 2

khăn để xác định E D* Một đối tượng điển hình trong việc nghiên cứu bao đa cực là đồ thị Gf( )D của các hàm chỉnh hình f trên một miền N

D Ð £ Sử dụng kỹ thuật của lý thuyết đa thế vị, Edigarian và Wiegerinck [21] đã giải quyết đầy đủ bài toán mô tả bao đa cực của {( , ( )) :z f z z Î D\ E} trong

D ´ £ , ở đó E là một tập cực đóng của miền D trong £ và f là chỉnh hình

trên D\ E Các tác giả đã chứng minh trong [21, Định lý 5.10] rằng, với mọi

0 , ( f( \ ))D C

z Î E G D E *´ cắt đường { }z0 ´ £ tại nhiều nhất một điểm Sau đó

sử dụng phương pháp hội tụ nhanh, Poletsky và Wiegernick [31, Định lý 3.6]

đã xây dựng được tập compact Cantor K Ð £ và một hàm chỉnh hình f trên

\

D = £ K sao cho (Gf( ))D *£2 là hai-lá trên D Dựa vào các kết quả đã nhắc đến ở trên, chúng tôi muốn xác định các điểm bổ sung của bao đa cực của đồ thị Trong Mệnh đề 2.3.5, chúng tôi chứng minh rằng nếu f là hàm chỉnh hình trên một miền D Ð £ sao cho phần bù của Gf( )D trong

1 £ m £ N , ta chọn dãy các điểm phân biệt Tm = {B mj}¥j=1 Ð £ \ F m và một dãy {r mj}¥j=1 sao cho:

(1) r mj < 1 với mọi j ³ 1 và r mj £ r m1 với mọi j > 1;

(2) Với mỗi tập compact K Ð £ \ F m tồn tại hữu hạn đĩa mở D (b mj,r mj)giao với K ;

Bây giờ ta trình bày một vài kết quả của Edlund [23] sẽ được sử dụng trong chứng minh định lý chính

Chứng minh Các kết luận ở trên về cơ bản đã được khẳng định trong Bổ đề 4

của [23] Vấn đề còn lại là cần kiểm tra tính bị chặn của f trên m F m Ta đặt

Trong bổ đề tiếp theo, phần đầu tiên như trong [23, Bổ đề 6] Phần thứ hai suy trực tiếp từ định nghĩa của D mk và từ nhận xét

| x- b mi |³ dist(b mi,F m) với mọi x Î F m Hai khẳng định cuối được trình bày trong [23, Bổ đề 7] Khẳng đinh (d) được suy trực tiếp từ bất đẳng thức

| x- b mi | > g x > 0 với mọi i (xem [23, trang 83])

-( )d Nếu x Î £ \ (Tm ÈF m) thì tồn tại g > x 0 phụ thuộc vào k sao cho

| ( ) | ( )

k

kn mk

Hai chuỗi tương ứng với hai số hạng ở vế phải là hội tụ theo các điều kiện (4)

và (5) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bây giờ, khẳng định đầu tiên của bổ đề là hệ quả của định nghĩa của u Đối với khẳng định thứ hai, ta có limk® ¥ a k = 0 Như vậy,

Chú ý rằng g là liên tục trên F và chỉnh hình trên phần trong của F Ta sẽ chứng minh rằng Gg( )F là đa cực đầy trong £N +1 Cuối cùng để kết thúc, ta cần đánh giá sai số giữa g và tổng riêng g của nó trong bổ đề sau: k

m = N Cho g là hàm số xác định trong (2.11) Ta sẽ chứng minh rằng

đồ thị của g trên F là đa cực đầy trong £N +1 Chính xác hơn, ta sẽ chỉ ra

1

k k

n

k k

+

+