Định thức wronsky và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG————— KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỊNH THỨC WRONSKI VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Sinh viên thực hiện: Trần Thị Diệu Linh Giáo viên hướng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỊNH THỨC WRONSKI VÀ ỨNG DỤNG

TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Sinh viên thực hiện: Trần Thị Diệu Linh Giáo viên hướng dẫn: TS.Lê Hải Trung

Lớp: 10ST

Đà Nẵng, 06/2013

Mục lục

1.1 Ma trận 4

1.2 Định thức 8

1.3 Hệ các hàm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 10

1.4 Hệ Cramer 12

1.5 Các loại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 14 2 Định thức Wronski và ứng dụng 16 2.1 Định nghĩa 16

2.2 Định thức Wronski cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 16 2.3 Định thức Wronski cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n 23

2.4 Ứng dụng phần mềm Mathcad trong tính toán định thức Wronski 27

2.4.1 Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathcad 27

2.4.2 Ứng dụng của phần mềm trong tính toán định thức Wronski 28

Mở đầu.

1 Lý do lựa chọn đề tài

Trong các lĩnh vực ứng dụng chúng ta thường bắt gặp rất nhiều bài toánliên quan tới phương trình vi phân Việc nghiên cứu các nghiệm của chúngđóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học, nhưng việc tìm ra đượcnghiệm chưa phải là đủ, nếu đề bài lại yêu cầu xác định các nghiệm vừatìm được, có lập thành hệ nghiệm cơ bản hay không Vấn đề trên dù đãđược giải quyết ở chương trình đại học nhưng với mong muốn có thể hiểu kĩhơn và dưới sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn – TS Lê Hải Trung nên tôiquyết định lựa chọn đề tài: «Định thức Wronski và ứng dụng trong lý thuyếtphương trình vi phân» cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu đề tài

Đi sâu vào phân tích định thức Wronski nhằm tìm ra những tính chấtmới để ứng dụng cho lý thuyết phương trình vi phân

3 Bố cục của đề tài

Đề tài được chia làm 2 chương:

Chương 1 : Trình bày một số khái niệm, định nghĩa, định lý có liên quanđến đề tài nhằm nắm vững cơ sở lý thuyết làm tiền đề cho phần hai là nộidung chính của đề tài

Chương 2 : Trình bày định thức Wronski và ứng dụng trong lý thuyếtphương trình vi phân

Xin cho tôi gửi lời cảm ơn, lời tri ân chân thành tới quý thầy, cô giáoKhoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng và giáo viên hướngdẫn TS Thầy Lê Hải Trung đã giảng dạy, hướng dẫn và tạo điều kiện tốtnhất để tôi hoàn thành được đề tài này

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ in hoa: A, B,

Có thể viết ma trận (1.1) một cách đơn giản bởi

Định nghĩa 1.4 Ma trận chéo cóaii = 1, i = 1, n được gọi là ma trận đơn

vị cấp n Kí hiệu là In hay En (có khi viết tắc là I hoặc E)

Định nghĩa 1.5 Ma trận vuôngA (cấp n) được gọi là khả đảo (hay có matrận nghịch đảo) nếu tồn tại ma trận vuông B (cấp n)sao cho

Thật vậy, giả sử tồn tại B0 sao cho AB0 = B0A = En

Lúc đó B = BEn = B(AB0) = (BA)B0 = EnB0 = B0 Ta gọi B0 là ma trậnnghịch đảo của A và kí hiệu là A−1

Định nghĩa 1.6 Hai ma trận cùng cỡ A = [aij]m×n và B = [bij]m×n đượcgọi là bằng nhau nếu

Định nghĩa 1.8 Cho A = (aij)(m×n) và α ∈ R ; phép nhân số α với ma

trận A là một ma trậnC = (cij)(m×n) vớicij = αaij ;∀i, j : i = 1, m j; = 1, n

Định nghĩa 1.9 Cho hai ma trận

• Cho các ma trận Am×n Bn×p Cp×q lúc đó A.(B.C) = (A.B).C

• Cho các ma trận Am×n Bn×p Cn×p lúc đó A.(B + C) = A.B + A.C

• Tích 2 ma trận nhìn chung không có tính giao hoán

1.2 Định thức.

Định nghĩa 1.10 Cho một ma trận A = (aij)n Định thức của A là một

số thực, kí hiệu và xác định như sau

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

Như vậy định thức của một ma trận A là một số:

- Bằng tổng đại số của n! hạng tử dạng a1f (1) anf (n)

- Mỗi hạng tử là tích của n phần tử aij mà mỗi hàng, mỗi cột phải có

một và chỉ một phần tử tham gia vào tích đó

- Dấu của mỗi hạng tử phụ thuộc vào số hoán vị của nghịch thế tương

ứng (nếu N (f ) là số chẳn (lẻ) thì đấu của hạng tử tương ứng đó là dấu +

(-) )

Ví dụ 1.4 Với n = 2 ta có định thức cấp 2

a11 a12 a1n

ak1 ak2 akn

an1 an2 ann

= α det(A)

Tính chất 1.4 Nếu ta đổi chỗ hai hàng nào đó của ma trận vuông A chonhau thì ta được ma trận vuông B có det(B) = − det(A) (tức là đổi chỗ haihàng của 1 định thức cho nhau thì định thức đổi dấu)

Tính chất 1.5 Nếu một ma trận có hai hàng giống nhau hoặc có các thànhphần (cùng cột), tương ứng tỉ lệ thì định thức ấy bằng 0

Chứng minh Giả sử định thức A có dòng thứ i giống dòng thứ k Theotính chất 4, đổi chỗ hai dòng này cho nhau ta được A0 = −A Nhưng địnhthức A0 cũng là định thức A ⇒ A = A0 hay 2A = 0 Vậy A = 0 (điều cầnchứng minh)

Hệ quả 1.1 Nếu ta cộng vào 1 hàng nào đó của ma trận vuông A với một

1 hàng khác đã nhân với một số bất kì thì ta được một ma trận vuông B có

det(A) = det(B)

Tính chất 1.6 Định thức của ma trận chéo A bằng tích các phần tử nằmtrên đườg chéo chính Nghĩa là

det(A) =

... đổi chỗ haihàng định thức cho định thức đổi dấu)

Tính chất 1.5 Nếu ma trận có hai hàng giống có thànhphần (cùng cột), tương ứng tỉ lệ định thức

Chứng minh Giả sử định thức A có dịng... tham gia vào tích

- Dấu hạng tử phụ thuộc vào số hoán vị nghịch tương

ứng (nếu N (f ) số chẳn (lẻ) đấu hạng tử tương ứng dấu +

(-) )

Ví dụ 1.4 Với n = ta có định thức. .. dòng cho ta A0 = −A Nhưng địnhthức A0 định thức A ⇒ A = A0 hay 2A = Vậy A = (điều cầnchứng minh)

Hệ 1.1 Nếu ta cộng vào hàng ma trận vuông A với

1