Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)

Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ

TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN

Mã số: ĐH2014-TN04-01

Xác nhận của cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài:

(Ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên)

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN, 05/2017

DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU

Tên đơn vị trong và ngoài

nước Nội dung phối hợp nghiên cứu

Họ và tên người đại diện đơn vị

Khoa Toán Trường Đại học

sư phạm Hà Nội

Cung cấp tài liệu, tham gia một số chuyên đề và một số nội dung nghiên cứu

GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu

MỤC LỤC

DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI i

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU i

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU iii

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS v

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu 1

CHƯƠNG I TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL 2

1.1 Hàm m - điều hòa dưới 2

1.2 Các lớp kiểu Cegrell 3

1.3 Tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới 4

1.4 Một vài áp dụng 5

Kết luận của chương 1 5

CHƯƠNG II ĐỒ THỊ ĐA CỰC ĐẦY TRONG £ 6 N 2.1 Giới thiệu 6

2.2 Đồ thị của hàm liên tục và hàm chỉnh hình 6

2.3 Bao đa cực của đồ thị 7

Kết luận của chương 2 8

CHƯƠNG III SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM CHỈNH HÌNH VÀ DÃY HÀM HỮU TỶ 9

3.1 Giới thiệu 9

3.2 Một vài kiến thức cơ sở của lý thuyết đa thế vị 10

3.3 Sự hội tụ của dãy hàm chỉnh hình và dãy hàm hữu tỷ 10

3.4 Xây dựng chi tiết sự hội tụ nhanh 12

Kết luận của chương 3 13

KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 14

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

-Tên đề tài: Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến

- Mã số: ĐH2014-TN04-01

- Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

Tổ chức chủ trì: Trường Đại học sư phạm- ĐHTN

Thời gian thực hiện: 24 tháng

2 Mục tiêu:

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell Vấn đề tiếp theo là xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy Cuối cùng là nghiên cứu độ đo Monge-Ampere của logarithmic mođun một dãy đa thức hội tụ nhanh về một hàm chỉnh hình

3 Tính mới và sáng tạo: Có một số kết quả mới trong 3 bài báo khoa học xuất bản trên các tạp chí

quốc tế trong danh mục SCI và SCIE

4 Kết quả nghiên cứu:

- Thu được kết quả về các điều kiện đủ đối với tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell

- Thu được kết quả về xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy

- Thu được kết quả về điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ của dãy các hàm chỉnh hình hoặc

dãy hàm hữu tỷ

5 Sản phẩm:

5.1 Sản phẩm khoa học (bài báo khoa học):

5.1.1 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X (2014), “Uniqueness properties of m-subharmonic

functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, pp 669-683 (SCI)

5.1.2 Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £N ”, Anal Polon Math

112.1, pp 85-100 (SCIE)

5.1.3 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem without uniform

boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 (SCIE)

5.2 Sản phẩm đào tạo:

5.2.1 Nguyễn Thị Hải Hiền (2015), Approximation of plurisubharmonic functions in the weighted energy class, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.2 Trần Thị Thanh Hương (2015), Weighted pluricomplex energy, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại

học sư phạm-Đại học Thái Nguyên

5.2.3 Trần Thị Mai Phương (2015), The complex Monge-Ampe’re operator and the Dirichlet

5.2.4 Tạ Quang Sỹ (2015), Ampe’re measures on pluripola set and complex Ampe’re equation, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Monge-5.2.5 Phùng Thị Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái

Nguyên

5.2.6 Dương Huyền Nhung (2016), Convergence in capacity, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư

phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.7 Ngạc Ngọc Khôi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Luận văn

thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.8 Hoàng Thị Hải Yến (2016), A Dirichlet problem for complex Monge-Ampe’re operator in

( ) f

F , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên

5.2.9 Nguyễn Thị Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in hyperconvex domains, đề

tài NCKH sinh viên trường Đại học sư phạm

5.2.10 Nguyễn Thị Lan (2016), Miền xác định của toán tử Monge-Ampere phức, khóa luận tốt

nghiệp của sinh viên trường Đại học sư phạm

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu

Kết quả của đề tài phục vụ cho công tác đào tạo cử nhân, cao học và nghiên cứu sinh ngành Toán giải tích tại khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên

Tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ tên và đóng dấu) (ký, họ tên)

PGS.TS Phạm Hiến Bằng

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

- Project title: Some applications of plurisubharmonic theory to complex analysis in several variables

- Code number: ĐH2014-04-01

- Coordinator: Associate Professor Pham Hien Bang

- Implementing Institution: Thai Nguyen University of Education

- Cooperating Institution: Ha Noi National University of Education, Associate professor-doctor

of science Nguyen Quang Dieu

- Duration: 24 months

2 Objective(s):

- Research uniqueness properties of m - subharmonic functions in Cegrell classes

- Construct functions defined on a given set such that their graphs are complete pluripolar

- Research the convergence of sequence of holomorphic and rational functions

3 Creativeness and innovativeness:

There are some new results in three scientific articles published in the national journal of science, where one paper belongs to the SCI and two papers belongs to the SCIE list

4 Research results:

- Obtained sufficient conditions for unicity of m - subharmonic functions in Cegrell classes

- Obtained result on construct functions defined on a given set such that their graphs are complete

pluripolar

- Obtained result on the convergence of sequence of holomorphic and rational functions

5 Products:

5.1 Scientific products:

5.1.1 Dieu N.Q., Bang P.H., Hong X.X (2014), “Uniqueness properties of m-subharmonic

functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, pp 669-683 (SCI)

5.1.2 Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £N ”, Anal Polon Math

112.1, pp 85-100 (SCIE)

5.1.3 Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T (2016), “Vitali’s theorem without uniform

boundedness”, Publ Math 60, pp 311-334 (SCIE)

5.2 Training products:

5.2.1 Nguyen Thi Hai Hien (2015), Approximation of plurisubharmonic functions in the weighted energy class, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University

5.2.2 Tran Thi Thanh Huong (2015), Weighted pluricomplex energy, Master Thesis, College of

Education, Thai Nguyen University

5.2.3 Tran Thi Mai Phuong (2015), The complex Monge-Ampe’re operator and the Dirichlet

problem in class F , Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University

5.2.4 Ta Quang Sy (2015), Ampe’re measures on pluripola set and complex Ampe’re

Monge-equation, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University

5.2.5 Phung Thi Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen

University

5.2.6 Duong Huyen Nhung (2016), Convergence in capacity, Master Thesis, College of Education,

Thai Nguyen University

5.2.7 Ngac Ngoc Khoi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic functions, Master

Thesis, College of Education, Thai Nguyen University

5.2.8 Hoang Thi Hai Yen (2016), A Dirichlet problem for complex Monge-Ampe’re operator in

( ) f

F , Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University

5.2.9 Nguyen Thi Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in hyperconvex domains,

Scientific resrarch project of the of students of Thai Nguyen University of Education

5.2.10 Nguyen Thi Lan (2016), The domain of definition of the complex Monge-Ampe’re operator,

Graduation thesis of students of Thai Nguyen University of Education

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results

The results of the research used in training bachelors, postgraduate at the Department of Mathematics, College of Education, Thai Nguyen university

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Khởi nguồn từ các công trình nguyên thủy của Bedford và Taylor vào đầu những năm 80 của thế kỷ trước, toán tử Monge-Ampere trên không gian Euclid phức n chiều £nđược xem như một mở rộng tự nhiên của toán tử Laplace cổ điển được xác định trên mặt phẳng phức Mối liên hệ này sẽ cho chúng ta những áp dụng của toán tử Monge-Ampere vào các bài toán xấp xỉ hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trên các tập mở bị chặn của £n Do đặc thù của toán tử Monge-Ampere là không thể tính toán tường minh trên các hàm đa điều hòa dưới không trơn tới cấp hai, nên bài toán xấp xỉ một hàm đa điều hòa dưới tổng quát u bởi một dãy các hàm đa điều hòa dưới trơn

j

u đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán Dirichlet trên các miền siêu lồi bị

chặn Có thể kể đến định lý Fornaess-Wiegerinck (“Approximation of plurisubharmonic functions”,

Arkiv for Mat 1989) nói rằng xấp xỉ sẽ xảy ra với mọi hàm đa điều hòa dưới trên miền bị chặn D

và liên tục tới tận biên Sau đó F Wikstrom, Nguyễn Quang Diệu đã nghiên cứu một biến dạng của định lý Fornaess-Wiegerinck đối với hàm đa điều hòa dưới bị chăn trên miền siêu lồi Đặc biệt

trong bài báo “Approximation of plurisubharmonic functions on bounded domains in £n”, Michigan Math J 2006, Nguyễn Quang Diệu đã lần đầu tiên xét thêm tính hội tụ yếu của dãy độ

đo Monge-Ampere (ddcuj)n.Các kết quả như vậy sẽ có ứng dụng vào việc nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere khi giá trị biên là các hàm khả tích Lebesgue tùy ý Đây là một trong những bài toán quan trọng của giải tích phức nhiều biến đã và đang được nhiều người quan tâm Một vấn đề liên quan được Gonchar nghiên cứu vào cuối những năm 70 của thế kỷ trước

là xấp xỉ nhanh hàm chỉnh hình bởi dãy các đa thức hay hàm hữu tỷ Điều đáng chú ý là mối liên hệ giữa hội tụ của dãy độ đo Monge-Ampere của dãy hàm đa thức hay hàm hữu tỷ vẫn chưa được đề cập đến Những điều trên phản ánh tính cấp thiết của việc nghiên cứu những ứng dụng của lý thuyết thế vị phức trong giải tích phức nhiều biến Việc giải quyết thành công dù chỉ một trong các

vấn đề trên cũng sẽ là các đóng góp đáng kể vào sự phát triển của lý thuyết hàm biến phức

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell Tìm các đặc trưng của hàm điều hòa dưới hoặc xa hơn là các hàm m - điều hòa dưới sao cho độ đo những hàm này có thể xấp xỉ bằng độ đo Monge-Ampere của một dãy hàm điều hòa dưới trơn Vấn đề tiếp theo là xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy Cuối cùng là nghiên cứu độ đo Monge-Ampere của logarithmic mođun một dãy đa thức hội tụ nhanh về môt hàm chỉnh hình

3 Nội dung nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu

- Đề tài nghiên cứu ứng dụng của toán tử Monge-Ampere trong lý thuyết đa thế vị vào nghiên cứu một số bài toán của giải tích phức nhiều biến Cụ thể hơn, chúng tôi nghiên cứu các vấn đề sau:

1 Nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp Cegrell Xem xét mở rộng các kết quả đã biết (tính hội tụ, tựa liên tục,…) của toán tử Monge-Ampere trên lớp hàm đa điều hòa dưới cho lớp hàm m - điều hòa dưới

2 Xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy

3 Nghiên cứu tính xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới (tương ứng hàm chỉnh hình) bởi các hàm đa điều hòa dưới trơn (tương ứng đa thức hoặc hàm hữu tỷ) Đặc biệt chú ý tới sự hội tụ của dãy độ đo Monge-Ampere

- Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức (cách xây dựng độ đo Monge-Ampere trên miền không bị chặn và xấp xỉ hàm điều hòa dưới bởi mô đun dãy hàm chỉnh hình thích hợp, …)

CHƯƠNG I TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI

TRONG CÁC LỚP CEGRELL 1.1 Hàm m - điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 Cho W là một miền trong n

C ,u là một hàm điều hòa dưới xác đinh trên W,

mỗi h1, ,h m-1trong ˆG , thì bất đẳng thức m dd u c Ùh1Ù h m-1Ùw n m- ³ 0 xảy ra theo nghĩa dòng, trong đó

C và C( )1,1 là không gian các (1, 1) - dạng với hệ số hằng

Ký hiệu SH m( )W là tập hợp các hàm m - điều hòa dưới trên W, SH m-( )W là tập hợp các hàm m - điều hòa dưới âm trên W

Mục đích của chương này là đưa ra các điều kiện đủ cho tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới Kết quả đầu tiên theo hướng này là Định lý của Bloom và Levenbeng về tính duy nhất của việc mở rộng các hàm đa điều hòa dưới cực đại

Định lý 1.1.1 (Định lý 2.4 [7]) Giả sử n

u= v trên một lân cận liên thông của ¶ W , v liên tục và thỏa mãn (dd v c )n = 0 trên W\ K Khi

đó u= v trên W\ K

Định lý 1.1.2 [20] Giả sử W là một miền siêu lồi bị chặn trong C n K Ð W là một tập lồi chỉnh

)

c Nếu , u vÎ SH m( )W và , a b > 0 thì a u+ b vÎ SH m( )W

)

d Nếu , u vÎ SH m( )W thì max( , )u v Î SH m( )W

e Cho { }u a A

a Î là họ các hàm m - điều hòa dưới trên W, bị chặn đều địa phương Khi đó

(supaÎA u a)*Î SH m( )W Ở đây u* là chính qui hóa trên của u , tức là *( ) lim ( )

-điều hòa dưới

Định nghĩa 1.2.1 Một miền W bị chặn trong n

C được gọi là m - siêu lồi nếu tồn tại một hàm vét cạn, m - điều hòa dưới liên tục âm r đối với W, tức là{r < c}ÐW với mọi c < 0

Định nghĩa 1.2.2 Cho m là một số nguyên 1£ m £ n Ta đặt,

1.3 Tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới

Bổ để 1.3.1 Cho WÐ D là miền bị chặn trong £ và n K Ð D là tập con lồi phân hình, compact của D Giả sử , u vÎ SH( )W sao cho dd c log |f |Ùw n-1= 0 trên WÇ{u¹ v} với mỗi hàm chỉnh hình f trên D với 0Ï f K( ) Khi đó u= v trên W\ K

Định lý 1.3.2 Cho W là một miền m –siêu lồi bị chặn trong £ và n K Ð W là tập con lồi phân hình compact của W Giả sử , u v Î Fm( )W thỏa mãn:

Định lý 1.3.3 Cho D là một miền bị chặn trong £ và K là tập con lồi chỉnh hình compact của D n

Giả sử WÐ D là miền m - siêu lồi và , u v Î Em( )W sao cho: