một số tính chất của phương trình monge ampère phức và lý thuyết đa thế vị

Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampere phức với nghiệm là hàm đa điều hòa dưới bị chặn.. Các kết quả đặc sắc của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành côn

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUY ỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

L ỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Văn

Đông, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Khoa Toán – Tin của trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Phòng Sau đại học của trường Đại

học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học tập và thực hiện luận văn này

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

M Ở ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 5

1.1 D ạng dương 5

1.2 Dòng 9

1.3 Dòng liên k ết với hàm đa điều hòa dưới 13

1.4 Công c ụ làm việc với dòng 15

1.5 Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng 17

1.6 Nguyên lý so sánh 24

1.7 Hàm c ực trị tương đối 26

1.8 T ập hợp nhỏ 29

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE 32

2.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampère phức với dữ liệu liên t ục 32

2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampere phức với nghiệm là hàm đa điều hòa dưới bị chặn 40

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE CHO HÀM KHÔNG BỊ CHẶN 54

K ẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 66

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 67

M Ở ĐẦU

Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở

lại đây là lý thuyết đa thế vị Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước, chẳng hạn như Định lí Josefson về sự tương đương giữa tính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong n

 Tuy nhiên sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học như: giải tích phức nhiều biến, động lực học phức, giải tích hyperbolic, hình học vi phân phức, phương trình vi phân đạo hàm riêng phức…chỉ thực

sự từ những năm 80 của thế kỉ trước trở lại đây Các kết quả đặc sắc của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampère phức và đưa ra khái niệm dung lượng của một

tập Borel trong một tập mở trong n Có thể xem đây như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay Trong những năm gần đây bài toán Dirichlet đối

với phương trình Monge-Ampère phức

(dd u c )n =dµ, u=ϕ trên biên được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau Việc đưa ra các điều kiện để phương trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các nghiệm thuộc

lớp rộng hơn các hàm đa điều hòa dưới được sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới

Với mong muốn tìm hiểu một số kết quả của lý thuyết đa thế vị và phương trình Monge – Ampère phức nên tôi chọn nội dung “Một số tính chất của phương trình Monge – Ampère

phức và lý thuyết đa thế vị” làm đề tài luận văn của mình Nội dung chính của luận văn này trình bày về sự tồn tại các nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère phức bằng cách áp

dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Dòng dương và hàm đa điều hòa dưới: Giới thiệu các khái niệm và định lý cơ

bản của lý thuyết đa thế vị

Chương 2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère: Mục đích chính là

đưa ra sự mô tả về các độ đo Borel không âm ở vế phải của phương trình Monge Ampère

phức sinh ra các nghiệm đa điều hòa dưới thỏa các đòi hỏi về tính liên tục, tính bị chặn

Chương 3 Phương trình Monge-Ampère cho hàm không bị chặn Chỉ ra sự tồn tại

nghiệm của phương trình Monge Ampère phức cho lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị

chặn trong miền siêu lồi

CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

Chương này trình bày một số khái niệm và định lý cơ bản của lý thuyết đa thế vị Mục 1.1, 1.2 trình bày các tính chất cơ bản của dòng dương Mục 1.3 giới thiệu các dòng liên kết với các hàm đa điều hòa dưới Mục 1.4 giới thiệu một số công cụ được sử dụng khi làm việc với dòng như định lý Stokes, bất đẳng thức Schwarz, nguyên lý địa phương hóa, đặc biệt là bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg Mục 1.5 trình bày các khái niệm dung lượng tương đối

và hội tụ theo dung lượng Nội dung cơ bản trong mục này là các định lý hội tụ 1.5.5, 1.5.10 Mục 1.6 trình bày một trong công cụ hiệu quả nhất trong lý thuyết đa thế vị là Nguyên lý so sánh Khái niệm và một số tính chất cơ bản của hàm cực trị tương đối được trình bày trong mục 1.7 Mục 1.8 được dành cho việc trình bày về các tập nhỏ như tập đa

cực, tập không đáng kể và mối liên hệ giữa các tập này, định lý Josefson cũng được trình bày trong mục này

Nội dung của chương 1 được trích trong các tài liệu tham khảo [LG], [BT1], [BT2], [X], [De], [D-H], [KO], [KLi], [Ho]

1.1 D ạng dương

Kí hiệu C(∞p p, )( )Ω là tập hợp tất cả các dạng vi phân trơn song bậc (p p, )xác định trên một

tập mở Ω ⊂ n Ta kí hiệu dạng ω bất kỳ trong C(∞p p, )( )Ω bởi

dz =dz ∧dz ∧ ∧dz , và ∑'là tổng lấy theo các đa chỉ số J =(j1, ,j p),K =(k1, ,k p)

sao cho j1< j2 < < j p; k1<k2 < < k p Ta gọi ω dạng Hec-mit nếuω ω=

Khi ω∈C( ∞p p, )( )Ω có biểu diễn

Mệnh đề 1.1.1 Không gian các dạng song bậc ( , )p p v ới hệ số hằng được sinh ra bởi các

Khi đó 1

!

n n

Với một dạng dương sơ cấp α∈C(∞p p, )( )Ω thì dạng kéo ngược của nó ( )1

*

f− αcũng là dạng dương sơ cấp Do đó với hàm không âm gnào đó

vậy, với bất kì dạng dương sơ cấpγ song bậc (n−p n, −p)ta có

Theo Mệnh đề 1.1.1điều này đúng cho mọi dạng (n− 1,n− 1) Do đó α α=

Nếu ta xét tham số hóa của một đường thẳng phức

Giả sử ( )

1 2

0 0 0

,

jl

n

b b

j

kΩ k= Tô pô trên D( )p q, ( )Ω là giới

hạn quy nạp chặt họ tô pô xác định trên D(p q, )( )Ωj

Như vậy nếu { } ( , )( )

Định nghĩa 1.2.1 Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian D( )p q, ( )Ω được gọi là

dòng song bậc (n− p n, −q)(tương đương: song chiều (p q, )) trên Ω Tập hợp tất cả các dòng như thế được kí kiệu là D'( )p q, ( )Ω Những phần tử thuộc 0

( , )

(D p q ( )) ' Ω được gọi là dòng song bậc (n−p n, −q)cấp 0 Dòng song bậc (n, n) là một phân bố trên Ω Dòng song bậc (n, n) cấp 0 là một độ đo Borel chính quy trên Ω

Khi T∈D'( )p q, ( )Ω nếu ta có (T,ω)≥ 0với mọi ω là dạng thử dương sơ cấp tùy ý thì Tđược

gọi là dòng dương

Với một tập các đa chỉ số được sắp thứ tự tăng J ta kí hiệu J' là đa chỉ số tăng duy nhất sao cho J∪J' ={1, 2, ,n}và J + J' =n Khi đó, ta kí hiệu α là dJK ạng bù của dz J ∧dz K, nghĩa là

bởi phép biến đổi tọa độ song chỉnh hình Cho f :Ω → Ω'là ánh xạ song chỉnh hình và T' là dòng dương trên Ω ' Khi đó kéo ngược T = f T* ' của T' theo f được xác định bởi

( ) ( ( )1 )

cũng dương Cho T∈D'(p p, )( )Ω ta đặt

(f T* ,ω') (= T f, *ω')

và gọi f T* là ảnh trực tiếp của T Khi đó với Tlà dương thì ảnh trực tiếp của nó f T* cũng dương Khẳng định trên được suy ra một cách trực tiếp từ tính chất kéo ngược của dạng dương sơ cấp là dạng dương sơ cấp

Ta cũng có thể định nghĩa tích ngoài của một dòng T và một dạng trơn ω là

(T∧ω φ, ) (: = T,ω φ∧ )

với φ là dạng thử tùy ý

Nếu T là dương và ω là dạng ( )1,1 dương thì T∧ω cũng dương Đặc biệt, với một dòng

(p p, )dương và một dạng ω dương sơ cấp song bậc(n−p n, −p) ta có dòng T ∧ω là một

độ đo Radon không âm

Ta lấy vi phân của dòng theo công thức

ϕϕ

Mệnh đề 1.2.2 Tác động của một dòng dương có thể được mở rộng liên tục đến không gian

thì tất cả các T JK là độ đo Radon Ta biểu diễn α được giới thiệu ở trên trong một cơ sở JK

( )ω gj ồm các dạng dương sơ cấp với hệ số hằng (xem Mệnh đề 1.1.1)

JK c sJK s

Khi đó với hàm thử tùy ý gta có

(T JK,g) (= T g, αJK)=∑c sJK(T g, ωs)=∑c sJK(T ∧ωs,g)

Do đó T JKlà tổ hợp tuyến tính của độ đo không âm Radon 

Cho một dòng Tvới hệ số độ đo ta có thể xác định một chuẩn

trong đó T JK E là bi ến phân toàn phần của T JK trên tập compact E

Với hai dòng S T, song bậc (p p, ) bất đẳng thức

S≤T

có nghĩa là T −Slà một dòng dương

n p E

về dòng ta sử dụng xấp xỉ của một dòng cho trước bằng các dạng trơn Để làm điều này ta

có thể áp dụng sự chính quy hóa chuẩn bằng cách nhân chập nhân trơn với mỗi hệ số T JK

1.3 Dòng liên k ết với hàm đa điều hòa dưới

Kí hiệu tập hợp các hàm đa điều hòa dưới trong Ωlà PSH( )Ω Nếu u∈PSH( )Ω thì c

dd u là dòng dương đóng ( )1,1 (

Ta có thể định nghĩa tích ngoài của các dòng c

dd u với điều kiện rằng các hàm đa điều hòa dưới là bị chặn địa phương Thật vậy, mệnh đề sau nói lên điều đó

Ch ứng minh Khẳng định có tính chất địa phương, nên ta có thể chính quy hóa u bởi dãy

giảm các hàm trơn bị chặn đều u j Vì các hệ số phân bố của T là độ đo phức nên từ định lý

hội tụ bị chặn Lebesgue ta suy ra u T j hội tụ yếu đến uT Do đó c( ) c( )

Khi đó vế phải được xác định tốt theo mệnh đề (1.3.1) trên Hơn nữa, nếu Tsong bậc

(n− 1,n− 1)và vlà một hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thì

du∧d v T∧ =dv∧d u∧T

được xác định tốt và bằng với

( ) (1 / 2 d u+ ∧v) d c(u+ ∧ −v) T du∧d u c ∧ −T dv∧d v T c ∧ .

Điều này suy ra từ mệnh đề 1.4.2bên dưới

Toán tử Monge-Ampère Μtác động một hàm đa điều hòa dưới trơn utrên 2

C được cho bởi công thức sau

1.4 Công c ụ làm việc với dòng

C trong m ột lân cận của ∂Ω Khi

trong Ω biết nó bằng 1 trong một lân cận của tập hợp mà trong đó T không trơn Đặt

điều hòa dưới bị chặn địa phương thì

là xác định dương vì du∧d u c = ∂ ∧ ∂2i u u là dạng dương sơ cấp 

1.4.4 Nguyên lý địa phương hóa Nếu ta chứng minh sự hội tụ yếu hoặc ước lượng địa

phương của một họ các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương thì không mất tính

trong chúng và xét thu hẹp u s của các hàm từ họ các hàm đã cho lên quả cầu

B=B a tr t > , sao cho quả cầu này chứa trong miền chúng ta xét Vì u s là bị chặn đều ta

có thể giả sử u s <0 và tìm m ột hàm đa điều hòa dưới vét cạn h của B sao cho nó nhỏ hơn bất kì u strên B a r( )j, Để kiểm tra ước lượng theo yêu cầu ta bây giờ có thể làm việc

với h s = max(u h s, ), ở đây h s bằng với u strên B a r( )j, và bằng với h trong lân cận nào đó

1 ở những nơi khác Áp dụng Mệnh đề 1.4.2 và hai lần định lý Stokes cho dòng T song bậc

trong đó C phụ thuộc vào C1 và đạo hàm cấp hai của φ Lặp lại chứng minh này cho ta

khẳng định đầu tiên Để có được bất đẳng thức thứ hai ta áp dụng nguyên lý địa phương hóa

( )

1 1 1 2

k K

k K

k K

k K

∫

Xem lại Mệnh đề 1.2.3 ước lượng này cho khẳng định thứ hai (nếu ta đổi chỗ u1và u k) Để

có khẳng định thứ ba ta sử dụng nguyên lý địa phương hóa và sau đó lấy tích phân từng

phần và lặp lại như trên ta được:

1.5 Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng

Trong lý thuyết đa thế vị, cũng như trong lý thuyết thế vị cổ điển, các dung lượng đóng vai trò quan trọng Đặc biệt chúng giúp ta quyết định khi nào sự hội tụ của các hàm đa điều hòa dưới là đủ “tốt”

Định nghĩa 1.5.1

được gọi là dung lượng tương đối của tập Borel E (đối với Ω)

Ta sẽ xét các hàm tập hợp gắn với dòng dương đóng Tsong bậc(n−k n, −k):

j

→∞

Trong mệnh đề tiếp theo ta ước lượng dung lượng tương đối của một tập mức dưới của một

hàm đa điều hòa dưới âm

{ }

L U

C cap K u j u

Dựa vào định nghĩa dung lượng tương đối ta có điều phải chứng minh Chứng minh tương

Toán tử Monge-Ampère liên tục đối với các dãy hội tụ theo kiểu này

k j

u ∞

Không mất tính tổng quát ta giả sử tất cả các hàm đa điều hòa dưới có liên quan lấy giá trị thuộc [ 1; 0)− Sử dụng đồng nhất thức

Cố định hàm thử φ trong Ω với suppφ =K⊂⊂ Ω Với t> 0 đặt E t j( )= ∩K {u j− >u t} Chú ý rằng với T j biểu diễn như trên ta có

Kết luận của định lý đúng nếu sự hội tụ theo dung lượng capβ được thay thế bởi sự

hội tụ theo dung lượng cap vì theo định nghĩa n

capβ ≤n cap Đặc biệt, như mệnh đề sau đây

chỉ ra, với dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới ta có sự hội tụ của các dòng tương ứng

Mệnh đề 1.5.6 Dãy u j∈PSH∩L∞( )Ω v ới u j ↓u trong Ω h ội tụ tới u∈PSH∩L∞( )Ω theo

tạo thành một dãy hằng số trong lân cận cố định Ω\ E nào đó của ∂Ω Ta cũng có thể giả

sử rằng − < 1 u j < 0 trên E Cố định v∈PSH∩L∞( )Ω , 0 < <v 1 và ước lượng

( ) ( ) )

n c j

E

I v =I =∫ u −u dd v

Nhận xét rằng cận trên đúng trên tất cả v như trên vượt quá tcap( {u j− > ∩ Ωu t} E, ) Theo định lý Stokes và bất đẳng thức Schwarz ta có

(u u1 , 2 , ,u k)→dd u c 1 ∧dd u c 2 ∧ ∧ dd u c k

thì đối xứng

dãy các hàm đa điều hòa dưới trơn Do đó sự đối xứng suy ra từ định lý hội tụ 

dung lượng tương đối của tập U1 = ∩K {u< −M}nhỏ hơn ε/ 2 Ta xét dãy chính quy hóa u j

giảm đến max(u, −M) Ta đã biết dãy hội tụ theo dung lượng Do đó với số nguyên tùy ý

1

k> tồn tại j k( ) sao cho

( k, ) 2 k

cap U Ω <ε − , trong đó { ( ) 1}

cap U Ω <ε − và hạn chế của u trên K j \U j là liên tục Khi đó u là liên tục trên phần bù

của U = ∪U j Tính chất dưới cộng tính của capvà ước lượng của dung lượng của U j cho

tương đối của tập {u≠v} nhỏ hơn ε Khi đó với bất kỳ tập compact K ta có

Vì T j có hệ số là độ đo ta có vT j →vT Để hoàn thành chứng minh ta kết hợp hai điều này

với bất đẳng thức tam giác 

k j

u ∞

với dạng dương sơ cấp α song bậc (n−N n, −N)tùy ý Bất đẳng thức cuối cùng thu được

bằng cách sử dụng Hệ quả 1.5.9và định lý Stokes với 1 1

c

T =dd u ∧S

dd u với u là hàm đa điều hòa dưới

do v k = +u 1 /k trong lân cận của ∂E

Hơn nữa, áp dụng Mệnh đề 1.5.6 cho v k ↓v trên E với bất kỳ tập compact K ⊂ E và

Trong trường hợp tổng quát giả sử u , v < 1, cố định ε >0,δ >0, và tìm một tập mở U sao cho cap U( )<ε,u=u v0 , =v0 trên Ω\ U với u0 và v0 là hàm liên tục nào đó Cho v k ↓v và

Suy ra điều phải chứng minh nếu ta cho ε δ ti, ến đến 0 

điều hòa dưới âm ngặt ρ sao cho ρ > −ε trong Ω Sau đó, sử dụng Định lý 1.6.1 ta gặp mâu thuẩn với giả thiết do

Tiếp theo ta ước lượng độ đo Monge-Ampère của cực đại của hai hàm đa điều hòa dưới

Định lý 1.6.3 Cho Ω là t ập con mở của n Gi ả sử u v, ∈PSH∩L∞loc( )Ω Khi đó

( )

(dd cmax u v, )n ≥χ (dd u c )n+χ (dd v c )n ,

trong đó χ là ký hi E ệu hàm đặc trưng của tập E

định ε > 0 và lấy tập mở U sao cho cap U( )<ε,u=u v0 , =v0 trên Ω\ Uvới u v0, 0là hàm liên

tục nào đó Với dãy u jgiảm về uvà V t: ={v0 <u0 +t},t> 0ta có v<u j+t trên V U t\ Vì thế, theo định lý hội tụ

Ch ứng minh i) ii) và bất đẳng thức “≤” trong iii) hiển nhiên Chứng minh bất đẳng thức ngược lại ta xét u∈PSH( )Ω ,u≤ 0 với u≤ − 1 trên K Lấy ε > 0 tập mở Uε ={u< − + 1 ε}

u − ≤ε u Cho ε dần về 0 ta có điều phải chứng minh 

Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng đối với các tập compact cận trên đúng trong định nghĩa của dung lượng tương đối đạt được khi *

Bây giờ, giả sử E =E và cố định một hàm vét cạn đa điều hòa dưới htrên Ω với h< − 1

trên E Khi đó ta chọn dãy u j như trên sao cho h≤u j Lấy tùy ý v∈PSH( )Ω − ≤ < , 1 v 0 và

Nhận xét rằng h j = −(1 2ε)v−ε trên E và h j =u j trên Ω Ω\ ' trong đó Ω ⊂⊂ Ω ' Hơn nữa,

1 ε h j 0

− + ≤ ≤ và với ε đủ nhỏ ta có E⊂ Ω ' Các tính chất đó cùng với việc Ω ' có thể được

chọn với biên trơn để áp dụng định lý Stokes ta nhận được

limcap E j,Ω =cap E,Ω =cap* E,Ω ,

với đẳng thức thứ hai có được bằng cách lấy E j với E⊂ intE j

Để nhận được phần đầu của khẳng định trong định lý cho trường hợp E tùy ý ta chú ý rằng

với tập compact tương đối, mở V ta có

j

K

u với K j dãy vét cạn các tập compact

của V Bây giờ nếu E⊂V thì theo Định lý 1.6.1

dd u cap E

Ω

Với bất đẳng thức ngược lại ta xét u jvà chọn hnhư trên Với t j↓ 1 tập V j ={t u j j < −1} Khi

 được gọi là tập đa cực nếu với z∈E tùy ý tồn tại

một lân cận V của z và v∈PSH V( ) sao cho E∩ ⊂V {v= −∞}

Nếu E⊂{v= −∞}với ( )n

v∈PSH  ta gọi E t ập đa cực toàn cục Tuy nhiên, khái niệm này

dư thừa do Định lý Josefson được chứng minh bên dưới nói rằng với bất kỳ tập con đa cực trong n

 thì đa cực toàn cục

(t ập không đáng kể) nếu E⊂{u<u*}, trong đó u= supu u s, s∈PSH( )Ω

Họ u s ở đây có thể chọn là họ đếm được theo hệ quả Choquet Nếu E⊂{v= −∞} với

ngoài tập {v= −∞}mà nó có phần trong khác rỗng Vì vậy *

(2) ↔ (3) là do định lý 1.8.3 và hệ quả 1.6.2

Một trong các kết quả quan trọng trong lý thuyết đa thế vị được sử dụng sử dụng rộng rãi trong xấp xỉ đa thức, động lực phức và nhiều nơi khác, là chỉ ra sự giống nhau của tập bỏ qua được và tập đa cực 

Định lý 1.8.4 (Bedoford-Taylor) Tập bỏ qua được là tập đa cực

mãn cap*(E, Ω =) 0 Cho u j là dãy trong định nghĩa tập bỏ qua được và u= supu j Cố định

0

ε > và tập Ω =ε {z∈Ω :dist z( , ∂Ω >) ε} Sử dụng tính tựa liên tục của u j chọn tập mở U

sao cho cap U( , Ω <) ε và tất cả u jliên tục trên phần bù của U trong Ω Với số hữu tỷ s<t

đặt

st

K = ∈Ωz ε U u z ≤ < ≤s t u z Khi đó (Ω ∩ε E)\U có biểu diễn như là hợp (đếm được) các tập compact như thế Như vậy

ta chỉ cần chỉ ra rằngcap K( , Ω =) 0 với K=K st Lâp luận phản chứng, ta giả sử đẳng thức

này sai và tồn tại h∈PSH∩C( )Ω với − ≤ < 1 h 0 và ( c )n 0

K

dd h >

∫ Áp dụng nguyên lý địa phương hóa ta có thể giả sử h là hàm vét kiệt và với j tùy ý ta có u j =h bên ngoài tập con compact của Ω Đặt v j =u j +h và v=u* +h Khi đó bởi theo định lý Stokes và Mệnh đề 1.4.2 ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 0

Mâu thuẩn với Định lý 1.5.9 và H ệ quả 1.5.8 

h∈PSH  v ới

{ }

Ch ứng minh Do định nghĩa E= ∪E j trong đó E j ⊂B a r( j, j) và v j∈PSH B a r( ( j, j) ) nào đó

ta có v j = −∞ trên E j Cố định một dãy các số nguyên dương j k( ) trong đó mỗi số nguyên

lặp lại vô hạn lần và sao cho B a( j k( ),r j k( ))⊂B(0, exp 2( )k )=B k Bởi Mệnh đề 1.7.2 và 1.8.3

h=∑h ∈PSH  do trên B k các số hạng h j, j>k âm và chuỗi hội tụ theo cách

chọn u k Hơn nữa, vô hạn số hạng của chuỗi bằng -1 trên E j k( ) Do đó E⊂{h= −∞}.

Chú ý h z( )<log 1( + z)

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH

MONGE-AMPÈRE

(Nội dung chương này được trích từ [KO].)

Mục đích chính của mục 2.1 là chỉ ra sự tồn tại nghiệm đa điều hòa dưới liên tục trong bao đóng Ω của một miền giả lồi ngặt của bài toán Dirichlet với điều kiện biên liên tục và vế

phải của phương trình Monge Ampère phức là dµ = fdV , f ≥0 liên tục trong Ω Nội dung chính của mục này là định lý 2.6 Định lý chỉ ra rằng bao trên của họ các nghiệm dưới

đa điều hòa dưới là nghiệm của bài toán Dirichlet

Mục 2.2 tổng quát hóa Định lý 2.6 bằng cách làm yếu các hạn chế vế phải của phương trình Monge Ampère phức ở trong mục 2.1 Nội dung chính của mục này là chỉ ra sự tồn tại nghiệm đa điều hòa dưới bị chặn trong Ω với vế phải phương trình thuộc lớp các độ đo Borel không âm liên kết với một hàm chấp nhận được

2.1 B ài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampère phức với dữ liệu liên