Toán tử Monge - Ampère trong Cn và trên đa tạp Kähler compact

NHỮNG KẾT LUẬN MỚI CỦA LUẬN ÁN - Đưa ra lớp hàm Ɛχ,loc(Ω) và chứng minh lớp hàm đó có tính chất địa phương; - Đưa ra không gian vectơ δƐχ(Ω) và phương pháp xây dựng tô pô lồi địa phương trên không gian đó, cũng như nghiên cứu các tính chất của tô pô vừa xây dựng được như: tính chất Fréchet, tính không khả ly, tính không phản xạ, so sánh sự hội tụ theo tô pô và hội tụ theo dung lượng và một số tính chất khác trên không gian đó; - Đưa ra được các hệ điều kiện đủ để một dãy các hàm tựa đa điều hòa dưới hội tụ theo dung lượng trên một đa tạp Kähler compact khi hạn chế trên một siêu mặt trơn vẫn còn hội tụ theo dung lượng

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viếtchung với các đồng tác giả Các kết quả viết chung với các đồng tác giả

đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kếtquả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trongcác công trình khác

Nghiên cứu sinhHoàng Nhật Quy

1

Mục lục

0.1 Lý do chọn đề tài 8

0.2 Mục đích nghiên cứu 11

0.3 Phương pháp nghiên cứu 11

0.4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu của luận án 12

0.5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài 13

1 Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc(Ω) 15 1.1 Giới thiệu 15

1.2 Kiến thức chuẩn bị 18

1.2.1 Lớp N (Ω) 18

1.2.2 Lớp Eχ,loc(Ω) 19

1.3 Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc 20

2

2.2 Kiến thức chuẩn bị 31

2.2.1 Các lớp Cegrell 32

2.2.2 Không gian δEχ 32

2.2.3 Khái niệm dung lượng 33

2.3 Các kết quả trên không gian δEχ 34

2.3.1 Tô pô trên không gian δEχ 34

2.3.2 Sự hội tụ trong không gian δEχ 39

2.3.3 Toán tử Monge-Ampère trên không gian δEχ 41

2.3.4 Một số chú ý 46

3 Hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp K¨ahler compact 48 3.1 Giới thiệu 48

3.2 Kiến thức chuẩn bị 49

3.3 Sự hội tụ theo dung lượng trên siêu mặt phức trơn 54

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học củaPGS TS Phạm Hoàng Hiệp Nhân dịp này, tôi xin được gửi đến Thầylời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất Tôi thực sự cảm thấy vô cùngmay mắn khi được làm việc cùng Thầy và nhận được nhiều sự hướngdẫn trong quá trình làm nghiên cứu sinh của mình

Nhân đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH.Nguyễn Văn Khuê, GS TSKH Lê Mậu Hải và GS TSKH NguyễnQuang Diệu vì những trao đổi và những lời góp ý vô cùng quý báu củacác Thầy Đặc biệt GS TSKH Nguyễn Văn Khuê đã gợi mở việc sosánh tô pô xây dựng được trên δEχ trong chương 3 với các tô pô cảmsinh từ các tô pô được xây dựng bởi các tác giả khác trước đó Điềunày khiến cho việc nhận thức về tô pô vừa xây dựng được thêm sâusắc và các kết quả đạt được ở chương 3 thêm hoàn chỉnh Tôi cũngxin cảm ơn các Giảng viên, và các thành viên nhóm seminar Giải tíchphức Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã có nhữngtranh luận, trao đổi, góp ý rất hữu ích trong quá trình làm nghiên cứusinh của tôi tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm Các kết quả trong luận ánđược viết thành ba bài báo cụ thể như sau:

• [1] Vũ Việt Hùng, Hoàng Nhật Quy (2012), "Convergence in

ca-4

pacity on smooth hypersurfaces of compact K¨ahler manifolds", Ann.Polon Math 103, 175-187.

• [2] Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), cal property of the class Eχ,loc", J Math Anal Appl., 402, 440–445

"Lo-• [3] Hoàng Nhật Quy (2013), "The topology on the space δEχ",Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73

Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới GS S Ko lodziej vìnhững trao đổi, góp ý làm hoàn thiện hơn một số kết quả trong luậnán

Tôi cũng rất biết ơn Phòng sau đại học, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội vì những hướng dẫn và tạo điều kiện để tôi thực hiện đầy đủcác thủ tục kịp thời và đúng quy chế trong quá trình làm nghiên cứusinh của mình

Nghiên cứu sinhHoàng Nhật Quy

Bảng thống kê các ký hiệu

PSH−(Ω) Tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên ΩPSH(X, ω) Tập các hàm tựa đa điều hòa dưới trên đa tạp X

Eχ,loc(Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.2

6

Ký hiệu Nội dung

eχ(u) Xem định nghĩa mục 2.2.2

Mở đầu

0.1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm nhiều biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nóiriêng đã thu hút được nhiều sự quan tâm và đầu tư nghiên cứu củacác nhà toán học lớn trên thế giới bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ

XX Sau hơn nửa thế kỷ phát triển, đến nay sự hiểu biết về lớp hàm

đa điều hòa dưới - đối tượng nghiên cứu chính trong lý thuyết đa thế

vị, và các cộng cụ thiết lập được là tương đối sâu sắc và phong phú.Tại Tổ bộ môn Lý thuyết hàm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lýthuyết đa thế vị đã bắt đầu được các giảng viên tập trung nghiên cứutrong vài thập kỷ trở lại đây Và đến nay những vấn đề mà các giảngviên trong bộ môn tập trung nghiên cứu riêng cũng như các vấn đềđược seminar chung đã dần dần tiếp cận được những xu hướng nghiêncứu mới của các chuyên gia về lý thuyết đa thế vị trên thế giới

Trong số rất nhiều kết quả đã đạt được về lý thuyết đa thế vị, chúngtôi quan tâm tới các lớp con các hàm đa điều hòa dưới có năng lượngMonge - Ampère hữu hạn Năm 2004, U Cegrell đã đưa ra nhiều lớpnăng lượng hữu hạn trên miền siêu lồi trong Cn như E0(Ω), E (Ω), F (Ω),trong đó E (Ω) là lớp con các hàm đa điều hòa dưới lớn nhất mà trên đó

8

toán tử Monge - Ampère định nghĩa được như một độ do Radon không

âm và bảo tồn được tính liên tục theo dãy giảm các hàm đa điều hòadưới Năm 2006, Z Blocki đã đưa ra đặc trưng của lớp Cegrell E (Ω)trên tập mở trong Cn và đề cập tới tính chất địa phương của lớp E (Ω).Năm 2009, nhóm tác giả S Benelkourchi, V Guedj, A Zeriahi đã đưa

ra các lớp năng lượng với trọng Eχ(Ω) Quan sát tính chất địa phươngcủa các lớp này chúng tôi nhận thấy rằng, giữa các lớp E (Ω) và F (Ω)

có mỗi quan hệ địa phương toàn cục, tức là mỗi hàm u ∈ E (Ω) và mỗitập K b Ω tồn tại v ∈ F(Ω) sao cho u = v trên K, và lớp E(Ω) cótính chất địa phương trong khi lớp F (Ω) không có Đối với lớp Eχ(Ω)cũng không có tính chất địa phương Vậy vấn đề chúng tôi quan tâm

ở đây là nghiên cứu xây dựng lớp mới từ lớp Eχ(Ω), có tính chất địaphương và có mỗi quan hệ địa phương toàn cục với lớp Eχ(Ω) tương

đã chứng minh được rằng lớp δF là không gian Banach không khả ly

và không gian đối ngẫu tô pô (δF )0 được phân tích là (δF )0 = δF0.Với H = E (Ω), thì lớp hàm δE đã được đưa ra và nghiên cứu bới L

M Hải và P H Hiệp 2006 [27], ở đó các tác giả đã chỉ ra rằng δE làkhông gian Fréchet không khả ly và không phản xạ và toán tử Monge

- Ampère có thể định nghĩa được trên δE Với H = Ep(Ω), thì lớp hàm

δEp đã được đưa ra và nghiên cứu bởi P ˚Ahag và R Czy˙z 2010 [4].Bắt nguồn từ sự gợi mở của các kết quả trên đây, trong luận án nàychúng tôi sẽ đưa ra và nghiên cứu lớp δEχ với tô pô được sinh bởi một

họ các tập lồi, cân, hấp thụ Và với tô pô này không gian δEχ là khônggian Fréchet không khả ly và không phản xạ

Một vấn đề khác trong lý thuyết đa thế vị thu hút được nhiều sựquan tâm đó là nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm

đa điều hòa dưới Khái niệm dung lượng được giới thiệu và nghiên cứuđầu tiên bởi các tác giả E Bedford và B A Taylor năm 1982 [6], vàtiếp tục được nghiên cứu bởi Y Xing từ 1996 [43] Và gần đây hơn,năm 2003, S Ko lodziej đã đưa ra và nghiên cứu khái niệm dung lượngtrên đa tạp K¨ahler compact [41] Tiếp tục nghiên cứu khái niệm này,tác giả P H Hiệp đã thu được một số kết quả được công bố vào cácnăm 2008 và 2010 trong [32], [31] và [34] Đặc biệt trong [24], các tácgiả S Dinew và P H Hiệp đã đưa ra nhiều hệ điều kiện đủ để mộtdãy các hàm tựa đa điều hòa dưới là hội tụ theo dung lượng trên đatạp K¨ahler compact Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu các hệđiều kiện đó có đảm bảo cho sự hội tụ theo dung lượng của các hàmtựa đa điều hòa dưới khi chúng được thu hẹp trên một siêu mặt trơn

của đa tạp K¨ahler compact Đây là một vấn đề khó nhưng khả thi và

đã được chúng tôi tập trung nghiên cứu trong luận án này

0.2 Mục đích nghiên cứu

Luận án này tập trung nghiên cứu các vấn đề sau đây:

• Xây dựng lớp năng lượng mới Eχ,loc(Ω) và chứng minh rằng lớp đó

0.3 Phương pháp nghiên cứu

- Xác định phạm vi nghiên cứu là lĩnh vực lý thuyết đa thế vị

- Nghiên cứu tổng quan trong lĩnh vực nói trên để tìm kiếm các chủ

đề thời sự được quan tâm trong thời gian gần đây hoặc những câu hỏi

mở được các tác giả giới thiệu trong các công trình đã công bố của họ,

cụ thể chúng tôi thấy có một số vấn đề như sau:

+ Nghiên cứu về toán tử Monge - Ampère

+ Nghiên cứu các lớp hàm đa điều hòa dưới được giới thiệu bởi Cegrell+ Nghiên cứu các lớp hàm đa điều hòa dưới với năng lượng Monge -Ampère với trọng hữu hạn

+ Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm đa điều hòa

dưới và tựa đa điều hòa dưới

- Tiến hành đặt vấn đề hoặc các câu hỏi cụ thể và tiến hành các chứngminh chi tiết Trong quá trình này chúng tôi chủ yếu sử dụng cácphương pháp nghiên cứu và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phứcnhiều biến

0.4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu của luận án

Tổng quan ý tưởng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc ứngdụng toán tử Monge - Ampère để nghiên cứu về các hàm đa điều hòadưới và tựa đa điều hòa dưới, cụ thể tập trung vào hai hướng như sau:

Nghiên cứu lớp hàm đa điều hòa dưới với năng lượng Monge Ampère với trọng hữu hạn

Nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm tựa đađiều hòa dưới trên đa tạp K¨ahler compact

Quá trình tập trung nghiên cứu vào hai hướng trên đây, chúng tôi

đã đạt được ba kết quả chính cụ thể như sau:

• Kết quả 1: Đưa ra lớp hàm mới Eχ,loc(Ω) và nghiên cứu tính chấtđịa phương trên lớp hàm đó;

• Kết quả 2: Đưa ra không gian vectơ mới δEχ, sau đó tiến hànhxây dựng tô pô và nghiên cứu các tính chất tô pô trên không gian đó;

• Kết quả 3: Thiết lập các hệ điều kiện đủ cho sự hội tụ theo dunglượng trên siêu mặt phức trơn của đa tạp K¨ahler compact

Các kết quả trên đây được trình bày chi tiết thành ba chương củaluận án

0.5 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài

Luận án nghiên cứu về phương trình và toán tử Monge - Ampèrecủa hàm đa điều hòa dưới trên miền siêu lồi trong Cn và của hàm tựa

đa điều hòa dưới trên đa tạp K¨ahler compact Một số kết quả chínhchúng tôi đã đạt được trong luận án có thể liệt kê như sau:

• Đưa ra định nghĩa đầy đủ tính chất địa phương của các hàm đađiều hòa dưới với năng lượng Monge - Ampère và năng lượng Monge

- Ampère với trọng hữu hạn;

• Chứng minh được rằng lớp Eχ,loc(Ω) có tính chất địa phương;

• Đưa ra lớp hàm δEχ và phương pháp xây dựng tô pô lồi địa phươngtrên đó;

• Chỉ ra rằng không gian δEχ là không gian Fréchet không khả ly

và không phản xạ;

• Chứng minh rằng sự hội tụ trên không gian tô pô δEχ mạnh hơn

sự hội tụ theo dung lượng;

• Đưa ra định nghĩa tập con các hàm tựa đa điều hòa dưới, liên tụcngoài một siêu mặt trơn trong đa tạp K¨ahler compact và bị chặn bởihàm log |f | (với f là hàm chỉnh hình) ở gần siêu mặt trơn nói trên;

• Đưa ra được các hệ điều kiện và chứng minh được rằng chúng là

đủ để một dãy hàm tựa đa điều hòa dưới hội tụ theo dung lượng khithu hẹp lên một siêu mặt trơn trong đa tạp K¨ahler compact vẫn cònhội tụ theo dung lượng

Các kết quả đạt được trong luận án giúp chúng tôi hiểu biết sâuhơn về các lớp năng lượng và sự hội tụ theo dung lượng của dãy các

hàm tựa đa điều hòa dưới trên siêu mặt K¨ahler compact.

Tính chất địa phương của lớp

E χ,loc (Ω)

1.1 Giới thiệu

Từ nay về sau ta luôn ký hiệu Ω là một miền siêu lồi trong Cn vàPSH−(Ω) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω, những trườnghợp khác sẽ có nói rõ cụ thể Như chúng ta đã biết, toán tử Monge -Ampère đóng một vai trò trung tâm trong lý thuyết đa thế vị và đượccác nhà toán học tập trung nghiên cứu sâu thêm trong những năm gầnđây Sau đây ta sẽ tổng kết lại quá trình phát triển của khái niệm nàytrong lý thuyết đa thế vị

Trong [5], E Bedford và B A Taylor đã chỉ ra rằng toán tử này có thểđịnh nghĩa được trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương

và cho "giá trị" thuộc lớp các độ đo không âm Mặt khác, trong [37],

C O Kiselman đã đưa ra ví dụ chỉ ra rằng toán tử Monge - Ampèrekhông thể mở rộng tới toàn bộ các hàm đa điều hòa dưới mà "giá trị"của nó vẫn thuộc lớp các độ đo không âm Vì vậy, vấn đề tìm miền định

15

nghĩa của toán tử Monge - Ampère là rất cần thiết trong lý thuyết đathế vị và nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán họclúc bấy giờ Trong [14], U Cegrell đã đưa ra các lớp con các hàm đađiều hòa dưới E0(Ω), Fp(Ω), Ep(Ω) mà trên đó toán tử Monge - Ampèređịnh nghĩa được Sau đó trong [15], U Cegrell lại tiếp tục đưa ra hailớp F (Ω) và E (Ω) và chỉ ra rằng lớp E (Ω) là miền định nghĩa tự nhiêncủa toán tử Monge - Ampère và là lớp lớn nhất mà toán tử Monge -Ampère còn bảo tồn được tính liên tục theo dãy giảm các hàm đa điềuhòa dưới (Định lý 4.5 trong [15]) Và hơn nữa, theo định nghĩa của lớpE(Ω) ta thấy rằng đây là một lớp "địa phương" theo nghĩa sau đây.Định nghĩa 1.1.1 Lớp K(Ω) ⊂ PSH−(Ω) được gọi là lớp "địa phương"nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây:

i Nếu ϕ ∈ K(Ω) thì ϕ ∈ K(D) với mọi miền siêu lồi D b Ω;

ii Nếu ϕ ∈ PSH−(Ω), ϕ|Ωi ∈ K(Ωi), ∀i ∈ I ở đó Ω = S

i∈IΩi thì

ϕ ∈ K(Ω)

Định nghĩa 1.1.2 Cho K(Ω) ⊂ PSH−(Ω) Ta nói hàm ϕ ∈ PSH−(Ω)thuộc lớp Kloc(Ω) nếu với mọi miền siêu lồi D b Ω đều tồn tại hàm

ψ ∈ K(Ω) sao cho ψ = ϕ trên D

Nhằm tổng quát hóa các lớp hàm đa điều hòa dưới được giới thiệubởi U Cegrell, năm 2009 trong [9] các tác giả S Benelkourchi, V.Guedj và A Zeriahi đã giới thiệu và nghiên cứu lớp năng lượng vớitrọng các hàm đa điều hòa dưới Eχ(Ω) sau đây Thực ra lớp hàm đađiều hòa dưới với trọng đã được đề cập lần đầu tiên vào năm 2006 bới

P H Hiệp trong [33]

Giả sử χ : R− −→ R+ là hàm giảm Khi đó theo [9] ta có định

nghĩa sau đây về lớp Eχ(Ω)

ở đó E0(Ω) là tập nón các hàm đa điều hòa dưới được định nghĩa như

trong [3] ta suy ra nếu ϕ ∈ Eχ(Ω) thì limz→ξϕ(z) = 0, ∀ξ ∈ ∂Ω Vì

vậy, nếu ϕ ∈ Eχ(Ω) thì ϕ /∈ Eχ(D) với D là miền con compact tương

đối trong Ω, tức là lớp Eχ(Ω) không phải là lớp địa phương

Nếu ta giả sử thêm rằng χ(2t) ≤ aχ(t) với a > 1 nào đó thì lớp Eχ(Ω)

là một nón lồi, tức là một lớp thỏa mãn các tính chất sau đây:

i ϕ ∈ Eχ(Ω), ψ ∈ PSH−(Ω), ψ ≥ ϕ ⇒ ψ ∈ Eχ(Ω);

ii ϕ, ψ ∈ Eχ(Ω) ⇒ kϕ + lψ ∈ Eχ(Ω), ∀k, l ≥ 0

Hơn nữa, theo Mệnh đề A trong [8] S Benelkourchi đã chứng minh

được đặc trưng của lớp Eχ(Ω) như sau:

Eχ(Ω) = ϕ ∈ N (Ω) : χ ◦ ϕ ∈ L1

((ddcϕ)n) ,

ở đó lớp N (Ω) được giới thiệu ở trong [16] và chúng ta cũng sẽ nhắc

lại ở mục sau

Cũng Mệnh đề A trong [8] hoặc tổng quát hơn theo Hệ quả 3.3

trong [28] ta có nếu χ 6≡ 0 thì Eχ(Ω) ⊂ E (Ω) Vì vậy lúc này, toán tử

Monge - Ampère có thể định nghĩa được trên Eχ(Ω) Trong mỗi quan

hệ với lớp Eχ(Ω), trong các mục sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra lớp nănglượng đa phức với trọng mới các hàm đa điều hòa dưới âm Eχ,loc(Ω)

và nghiên cứu tính chất địa phương của nó khi hàm trọng χ được bổsung thêm một số điều kiện

1.2 Kiến thức chuẩn bị

Trong mục này ta sẽ nhắc lại định nghĩa và một số tính chất củalớp hàm N (Ω), sau đó là đưa ra định nghĩa lớp Eχ,loc(Ω) để chuẩn bịcho việc chứng minh tính chất địa phương của nó ở mục sau Nhữngkết quả nêu ở mục này có thể được tìm thấy ở trong [6], [14], [15], [22],[33], [38], [39], và [40]

1.2.1 Lớp N (Ω)

Lớp N (Ω) được giới thiệu và nghiên cứu trong [16] Cho Ω là mộtmiền siêu lồi trong Cn và Ωj∞j=1 là dãy cơ bản của Ω, tức là một dãytăng các tập con giả lồi chặt Ωj của Ω sao cho Ωj b Ωj+1, ∀j ≥ 1 và

j→+∞ϕj

∗

∈ PSH(Ω) vàe

ϕ ∈ MPSH(Ω), ở đó MPSH(Ω) là tập các hàm đa điều hòa dướicực đại trên Ω và (f )∗ là chính quy hóa nửa liên tục trên của hàm f

Khi đó lớp N (Ω) được định nghĩa như sau:

N = N (Ω) = {ϕ ∈ E(Ω) :ϕ = 0},ehay tương đương là:

N = N (Ω) = {ϕ ∈ PSH−(Ω) : ϕj ↑ 0, j → +∞}

Từ định nghĩa của lớp N (Ω) và bằng lập luận tương tự như trongchứng minh của Định lý 1.4 và Định lý 1.5 trong [3] ta suy ra rằng:nếu ϕ ∈ N (Ω) thì lim sup

z→ξ

ϕ(z) = 0 với mọi ξ ∈ ∂Ω, tức là lớp N (Ω)cũng không phải là lớp địa phương

Cho miền siêu lồi tùy ý D b Ω và ϕ ∈ PSH−(Ω), ta đặt:

hϕD,Ω = sup{u ∈ PSH−(Ω) : u 6 ϕ trên D}

Khi đó, hàm hϕD,Ω là hàm đa điều hòa dưới âm lớn nhất và băng ϕ trên

D và ta có:

Eχ,loc(Ω) = {ϕ ∈ PSH−(Ω) : hϕD,Ω ∈ Eχ(Ω), ∀ D b Ω}

Chú ý Bằng cách lập luận tương tự như trong [38] ta có

supp(ddchϕD,Ω)n ⊂ D b Ω

Nhận xét Trong định nghĩa của lớp Eχ,loc(Ω), ta có cảm giác rằngđây là một lớp địa phương, nhưng ta có thể nhận ra rằng tính chất địaphương trong trường hợp này là không tầm thường vì hai lớp E0(Ω) và

E0(D) là rất khác biệt nhau với D là một miền siêu lồi compact tươngđối trong Ω

1.3 Tính chất địa phương của lớp Eχ,loc

Trong suốt mục này ta luôn giả sử χ : R− −→ R+ là hàm giảm thỏamãn χ(2t) ≤ aχ(t) với a > 1 nào đó, khi đó theo mục 1.1 ta có lớp

Eχ(Ω) là một tập nón lồi Ta cũng sẽ giả sử thêm là χ 6≡ 0 và khi đó

ta có Eχ(Ω) ⊂ E (Ω) và toán tử Monge - Ampère hoàn toàn định nghĩađược trên lớp Eχ(Ω)

Ngoài ra, để có thể chứng minh được tính chất địa phương của lớp

Eχ,loc(Ω), ta cần phải giả sử thêm tính chất sau đây của hàm χ

i Nếu χ1, χ2 ∈ K và a1, a2 ≥ 0, thì a1χ1 + a2χ2 ∈ K.

ii Nếu χ1, χ2 ∈ K, thì χ1.χ2 ∈ K

iii Nếu χ ∈ K, thì χp ∈ K với mọi p > 0

iv Nếu χ ∈ K, thì (−t)χ(t) ∈ K và hơn nữa |tk|χ(t) ∈ K với mọi

k = 0, 1, 2,

Trước khi phát biểu và chứng minh kết quả chính của chương này,

ta sẽ phát biểu và chứng minh một số bổ đề cần thiết sau đây

Bổ đề 1.3.2 Cho u, v ∈ P SH−∩ L∞(Ω) thỏa mãn u ≤ v trên Ω và

T là một (n − 1, n − 1)- dòng dương đóng Giả sử rằng χ thỏa mãn(1.3.1) Khi đó ta có:

Ω0, Ω00, Ω và χ

Chứng minh Lấy tập Ω000 thỏa mãn Ω0 b Ω000 b Ω00 và hàm φ ∈

C0∞(Ω), 0 6 φ 6 1, sao cho φ|Ω 0 = 1 và suppφ b Ω000 b Ω00 Khi

đó theo công thức tích phân từng phần ta có

Ω

vddc(φχ(u)) ∧ T (1.3.2)Mặt khác ta lại có

ddc(φχ(u)) =χ(u)ddcφ + φddcχ(u) + dφ ∧ dcχ(u) + dχ(u) ∧ dcφ

=χ(u)ddcφ + φ (χ00(u)du ∧ dcu + χ0(u)ddcu)+ χ0(u) (dφ ∧ dcu + du ∧ dcφ)

udu ∧ d

cu



Mặt khác, vì φ ∈ C0∞(Ω) nên ta có thể chọn được hằng số A > 0 đủlớn sao cho các bất đẳng thức sau thỏa mãn

ddcφ ≥ −Addc|z|2 và dφ ∧ dcφ ≤ Addc|z|2 (1.3.3)Kết hợp các bất đẳng thức này và các bất đẳng thức trên ta có bấtđẳng thức sau đây

ddc(φχ(u)) ≥ − Aχ(u)ddc|z|2 + φχ0(u)ddcu + φχ00(u)du ∧ dcu

− χ0(u)

udφ ∧ dcφ + 1

udu ∧ d

cu



Ta xét các trường hợp của χ00(u) như sau

- Nếu χ00(u) ≤ 0 thì sử dụng các điều kiện u ≤ v ≤ 0, 0 ≤ φ ≤ 1 ta cóvddc(φχ(u)) 6 − Auχ(u)ddc|z|2 + uχ0(u)ddcu + uχ00(u)du ∧ dcu

− u2χ0(u)dφ ∧ dcφ − χ0(u)du ∧ dcu

= − Auχ(u)ddc|z|2 + uχ0(u)ddcu + u min(χ00(u), 0)du ∧ dcu

− u2χ0(u)dφ ∧ dcφ − χ0(u)du ∧ dcu

- Nếu χ00(u) ≥ 0 thì đánh giá trực tiếp ta có

vddc(φχ(u)) 6 − Auχ(u)ddc|z|2 + uχ0(u)ddcu

− u2χ0(u)dφ ∧ dcφ − χ0(u)du ∧ dcu

= − Auχ(u)ddc|z|2 + uχ0(u)ddcu + u min(χ00(u), 0)du ∧ dcu

− u2χ0(u)dφ ∧ dcφ − χ0(u)du ∧ dcuNhư vậy trong mọi trường hợp của χ00(u) ta có

Z

Ω 000

−χ0(u)du ∧ dcu ∧ T

Bây giờ sử dụng điều kiện (1.3.1) của hàm χ ta có

uχ0(u) ≤ c1χ(u) suy ra (−u2)χ0(u) ≤ c1(−u)χ(u),

uχ00(u) ≤ c2(−χ0(u))

Từ đó kết hợp với (1.3.3), ta sẽ thu được xấp xỉ sau đây

Ta cần tiếp một bổ đề sau đây nữa trước khi đi đến kết quả chính.

Bổ đề 1.3.3 Giả sử hàm χ thỏa mãn χ(2t) ≤ aχ(t) với a > 1 nào đó,

u ∈ Eχ(Ω) và Ω0 b Ω Khi đó ta có các đánh giá sau đây

Chứng minh Chọn số R > 0 đủ lớn sao cho |z|2 − R2 < 0 trên Ω vàgiả sử hàm ϕ ∈ E0(Ω) đã được chọn.

Ta tiếp tục chọn số A > 0 đủ lớn sao cho |z|2 − R2 ≥ Aϕ trên Ω0.Đặt h = max



|z|2 − R2, Aϕ

 Thì ta có h ∈ E0(Ω) và ddch = ddc|z|2

Bây giờ ta chứng minh i trong trường hợp u ∈ Eχ(Ω).

Khi đó, theo định nghĩa lớp Eχ(Ω) thì tồn tại dãy {uj} ⊂ E0(Ω) với

uj & u trên Ω và sup

Vậy i hoàn toàn được chứng minh

ii Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh i., ta chỉ cần chứngminh ii trong trường hợp u ∈ E0(Ω) Khi đó ta có

Z

Ω

χk−1(u)du ∧ dcu ∧ (ddcu)n−k−1∧ (ddc|z|2)k

= −Z

Ω

dχk(u) ∧ dcu ∧ (ddcu)n−k−1 ∧ (ddc|z|2)k

=Z

Vậy Bổ đề 1.3.3 hoàn toàn được chứng minh.

Bây giờ ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của chương

đó là tính chất địa phương của lớp Eχ,loc(Ω) cụ thể như sau

Định lý 1.3.4 Giả sử χ : R− −→ R+ là một hàm giảm thỏa mãnχ(2t) ≤ aχ(t) với a > 1 nào đó và χ thỏa mãn điều kiện (1.3.1) Khi

đó lớp Eχ,loc(Ω) là một lớp địa phương

Chứng minh Theo Định nghĩa 1.1.1, để chứng minh lớp Eχ,loc(Ω) làđịa phương, ta sẽ chỉ ra nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

i Nếu ϕ ∈ PSH−(Ω) là hàm thỏa mãn ϕ|Ωi ∈ Eχ,loc(Ωi), ∀i ∈ I, với

Ω = S

i∈I

Ωi thì ϕ ∈ Eχ,loc(Ω)

ii Nếu ϕ ∈ Eχ,loc(Ω) thì ϕ ∈ Eχ,loc(D) với mọi miền siêu lồi D b Ω

Ta sẽ lần lượt chứng minh từng điều kiện như sau

i Cho Ω0 b Ω Chọn i1, i2, , im ∈ I sao cho Ω0 b Ωi1 ∪ ∪ Ωim.Tiếp đến ta tìm tập Ω0ik ⊂ Ωik, k = 1, m sao cho Ω0 b Ω0i 1 ∪ ∪ Ω0im

ψ1 + · · · + ψm ≤ hϕΩ0 ,Ω

trên Ω.

Vì Eχ(Ω) là một nón lồi nên từ đây suy ra i được chứng minh

ii Ta chứng minh ii khi hàm χ được giả thiết thỏa mãn (1.3.1).Lấy D0 b D Ta sẽ chỉ ra rằng hϕD0 ,D ∈ Eχ(D)

Vì vậy theo Mệnh đề 4.9 trong [8] ta suy ra rằng hϕD0 ,D ∈ Eχ(D) và ii.được chứng minh.

Chú ý 1.3.5 i Nếu ta chọn hàm χ(t) ≡ 1 thì Eχ(Ω) = F (Ω) và

Eχ,loc(Ω) = E (Ω) Và theo Định lý 1.3.4 ta khẳng định lại lớp E (Ω) cótính chất địa phương

ii Nếu ta chọn hàm χ(t) = (−t)p, p > 0 thì Eχ(Ω) = Ep(Ω), ở đây lớp

Ep(Ω) được giới thiệu và nghiên cứu bởi U Cegrell trong [14]

Trong [15], U Cegrell đã giới thiệu và nghiên cứu một số lớp nănglượng, đặc biệt là hai lớp F và E và chỉ ra rằng E là lớp con lớn nhất

mà trên đó toán tử Monge-Ampère định nghĩa được và liên tục dướidãy giảm các hàm đa điều hòa dưới âm (xem Định lý 4.5 trong [15]).Trong [19], U Cegrell và J Wiklund đã giới thiệu và nghiên cứu khônggian vectơ δF khi nó được trang bị chuẩn Monge-Ampère Hơn nữa,các tác giả còn chỉ ra rằng không gian δF là không gian Banach khôngkhả ly và không gian đối ngẫu tô pô của δF có thể viết được dướidạng (δF )0 = δF0 Vì hàm trong δE cũng thuộc vào δF trên mọi tậpcompact tương đối K trong Ω nên tô pô trên δE có thể được sinh rabởi họ các nửa chuẩn ||.||K, K b Ω, ở đó ||.|| là chuẩn trên δF (xem

30

[27]) Hơn nữa trong [27], các tác giả đã chỉ ra rằng không gian tô pô

δE là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ

Trong [14], U Cegrell đã giới thiệu lớp Ep(với p > 0) các hàm đađiều hòa dưới âm có p− năng lượng đa phức xác định và hữu hạn.Không gian δEp đã được nghiên cứu bởi P ˚Ahag và R Czy˙z trong [4].Mỗi u ∈ δEp họ định nghĩa

Đây là tựa chuẩn trên δEp và hơn nữa (δEp, ||.||p) là một không giantựa Banach với p 6= 1 và (δE1, ||.||1) là một không gian Banach (xemĐịnh lý 4.7 trong [4])

Lớp năng lượng có trọng Eχ được tổng quát từ lớp Ep đã được giớithiệu và nghiên cứu bởi các tác giả S Benelkourchi, V Guedj and A.Zeriahi trong [8] và [9] Mục đích chính của chương này là xây dựng

và nghiên cứu tô pô lồi địa phương trên không gian δEχ và chỉ ra rằng

δEχ là không gian Fréchet không khả ly và không phản xạ với tô pônày

2.2 Kiến thức chuẩn bị

Trong mục này ta sẽ nhắc lại một số khái niệm và tính chất của cáclớp con các hàm đa điều hòa dưới để chuẩn bị cho việc chứng minh cáckết quả chính của chương ở mục sau Những khái niệm và tính chấtnày có thể được tìm thấy trong [3], [6], [8], [9], [14], [15], [22], [29], [40]

Ta dễ thấy rằng E0 ⊂ F ⊂ E, và theo [15] chúng là những nón lồi.

2.2.2 Không gian δEχ

Trong mục này ta sẽ mô tả không gian δEχ và đưa ra một số kháiniệm chuẩn bị cho việc xây dựng và nghiên cứu tô pô trên không gian

đó ở mục sau Ta đặt

δEχ = {u ∈ L1loc(Ω) : ∃v, w ∈ Eχ, u = v − w}

Như đã đề cập ở Chương 1, nếu hàm χ thỏa mãn χ(2t) ≤ cχ(t) với

c > 1 thì lớp Eχ là một nón lồi và vì vậy δEχ sẽ trở thành một khônggian vectơ

Với mỗi số tự nhiên m ∈ N ta đặt

2.2.3 Khái niệm dung lượng

Ta sẽ nhắc lại ở đây khái niệm dung lượng theo nghĩa của E Bedford

và B A Taylor (xem thêm ở [6]) Với mọi tập Borel E trong Ω, ta đặt

Từ [6] ta có kết quả sau đây

cap(E) =

Z

E

(ddch∗E,Ω)n,

ở đó h∗E,Ω là chính quy hóa nửa liên tục trên của hàm cực trị tương đối

hE,Ω của tập E, tức là hàm được xác định như sau

hE,Ω = sup{u ∈ PSH−(Ω) : u ≤ −1 trên E}

Sau đây ta sẽ nhắc lại khái niệm hội tụ theo dung lượng Cho Ω làmột miền trong Cn và uj (j = 1, 2, 3, ) và u là các hàm đa điều hòadưới trên Ω Ta nói rằng dãy {uj} là hội tụ tới u theo dung lượng nếuvới mỗi số  > 0 ta có

lim

j→+∞cap({z ∈ K : |uj(z) − u(z)| > }) = 0, với mọi K b Ω

2.3 Các kết quả trên không gian δEχ

Mục này được dành để trình bày các kết quả chính của chương vềkhông gian δEχ như các tính chất về tô pô và toán tử Monge - Ampèretrên không gian này

2.3.1 Tô pô trên không gian δEχ

Bổ đề 2.3.1 Tập Um được xác định trong Mục 2.2.2 là một tậpcân trong không gian vectơ δEχ, tức là tập thỏa mãn ∀u ∈ Um ta có

Chứng minh Trước hết ∀t ∈ R− ta có

χ(2nt) ≤ cχ(2n−1t) ≤ ≤ cnχ(t)

Với a ≥ 0, tồn tại k ∈ N sao cho 2k > a Từ đó suy ra

χ(at) ≤ χ(2kt) ≤ ckχ(t), ∀t ∈ R−.Lấy u ∈ δEχ và a ≥ 0 Suy ra tồn tại v, w ∈ Eχ sao cho u = v − w

Từ các ước lượng trên đây ta có

n1thì với mọi 0 ≤ a <  ta có

eχ(av) < 1

m

eχ(aw) < 1

mTức là au = av − aw ∈ Um

Điều này kết hợp với Nhận xét 2.2.1 ta suy ra Um là một tập hấpthụ

Mệnh đề 2.3.3 Trong lớp Eχ, ta có các đánh giá sau đây

i Nếu ϕ, ψ ∈ Eχ thì

eχ(ϕ + ψ) ≤ 22nc2[eχ(ϕ) + eχ(ψ)] (2.3.1)

ii Nếu ϕ, ψ ∈ Eχ là các hàm thỏa mãn ϕ ≥ ψ thì

Chứng minh Vì mỗi hàm thuộc lớp Eχ được xấp xỉ bởi dãy giảm cáchàm thuộc lớp E0, nên ta chỉ cần chứng minh các bất đẳng thức (2.3.1)

e0(ϕ + ψ)n1 ≤ e0(ϕ)n1 + e0(ψ)n1.Đặt

Sử dụng các kết quả trên ta có các ước lượng sau đây

Vậy i được chứng minh

ii Bất đẳng thức (2.3.2) là hệ quả của (2.3.5) và (2.3.6)

Nhận xét 2.3.4 Từ Mệnh đề 2.3.3 ta suy ra rằng với mỗi Um (m ≥ 1)tồn tại số k (theo (2.3.1) ta có thể chọn k = m([22nc2] + 1)) sao chobao lồi của tập Uk vẫn chứa trong Um

Định lý 2.3.5 Không gian vectơ δEχ là một không gian Fréchet.Chứng minh Từ Bổ đề 2.3.1, Bổ đề 2.3.2 và Nhận xét 2.3.4 ta suy rarằng họ A các bao lồi của các tập Um, m ≥ 1 là các tập lồi, cân vàhấp thụ trong không gian vectơ δEχ Vì vậy tồn tại một tô pô lồi địaphương trên không gian đó sao cho họ A trở thành một cơ sở lận cậncủa gốc Để kết thúc chứng minh định lý ta chỉ còn phải chỉ ra tính

đủ của tô pô này Sự chứng minh này được tiến hành như trong [27].Giả sử {um} là một dãy Cauchy trong không gian vectơ tô pô δEχ.Khi đó với mọi m ≥ 1 ta có thể tìm được jm sao cho uj − uk ∈

U(22n+1 c 2 ) m, ∀j, k ≥ jm Ta có thể chọn dãy {jm} thỏa mãn jm+1 >

k=2vk}m>0 là dãy giảm các hàm có χ− năng lượng toàn thể

bị chặn Tương tự ta cũng có kết luận như vậy cho dãy {Pm

k=2wk}m>0

Từ đó ta suy ra rằng dãy con {ujm} là hội tụ trong không gian tô

pô δEχ, tức là {um} là dãy Cauchy hội tụ Vậy định lý được chứngminh

2.3.2 Sự hội tụ trong không gian δEχ

Kết quả sau đây là sự tổng quát của Định lý 4.1 trong [27] và Định

lý 3.2 trong [20]

Định lý 2.3.6 Cho dãy {uj}j≥1 ⊂ δEχ Nếu dãy {uj} hội tụ tới hàm

u trong không gian vectơ tô pô lồi địa phương δEχ khi j → +∞ thì{uj} hội tụ tới u theo dung lượng

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng u = 0.

Từ giả thiết của định lý ta có

∀Um, ∃j0 ≥ 1 sao cho uj ∈ Um, ∀j ≥ i0

Ta viết uj = vj − wj, ở đó vj, wj ∈ Eχ thỏa mãn eχ(vj) → 0 và

eχ(wj) → 0 khi j → +∞ Ta đặt

χn(t) =

Z 0 t

cap({|wj| > } ∩ K) ≤ eχ(wj)

χn(−) → 0,khi j → +∞

Ta có

cap({|uj| > } ∩ K) ≤ cap({|vj| > 

2} ∩ K) + cap({|wj| > 

2} ∩ K) → 0,khi j → +∞ Vậy định lý được chứng minh

Mệnh đề 2.3.7 Cho (uj)∞j=1 ⊂ Eχ là dãy giảm và supjeχ(uj) < +∞.Khi đó limj→+∞uj ∈ Eχ