Cac De Day so cua THTT gan day - Update to 2013 - uni

Giả sử ngược lại, trong mọi nhóm k số hạng thì số nhỏ nhất không lớn hơn một nửa số lớn nhất... Vậy điều giả sử của ta là sai.[r]

CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TỐN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY

I NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2009

Chứng minh quy nạp theo n ta thấy ngay x n 0, n 0

i u u u với số nguyên dương k nào đó

Cho dãy số ( )u n được xác định như sau: u1 u2 1; u n1 4u n 5u n1, n 2 3,

Chứng minh rằng với mọi số thực a  5, ta đều có: lim n 0

n

u a

( ) (cos cos sin sin sin cos cos sin )

( ) (c

n n

1 1

1

2 1

n

u 

là số chính phương với mọi số tự nhiên n

Nhận xét rằng mọi số hạng của dãy đã cho đều nguyên Với n = 0, ta có:

2 0

2 1



 

 

 

Nhận xét rằng: x2n 1;n1 2, , do ln1 0 ,suy ra: limx2n 1

Tiếp theo, ta chứng minh dãy (x2n1) cũng cĩ giới hạn là 1

Xét hàm số f x( )xlnxliên tục và đồng biến trong ( ;0 ), vì f x'( ) 1 1 0với x 1

x a Giả sử x thì f x f nên hiển nhiên x

tức dãy x bị chặn dưới bởi

Chuyển qua giới hạn dãy sinh bởi hàm f x( )xlnx, ta thu được: c = c - lnc c1

Vậy dãy ( )x n cĩ giới hạn là 1

II NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2010 Bài T11/387: - THTT tháng 01/2010 tr23

Cho dãy số ( )u n được xác định như sau:

Dùng kết quả (3), bằng tính tốn trực tiếp ta cĩ: 2u n 3, n 1 2 3 4 5, , , , và1u6 2

Dùng kết quả (2), (3), chứng minh bằng quy nạp theo n = 6, 7, 8, ta nhận được: 1u n 2, n 6

Hệ quả là: u1u2 u n n, n * Suy ra: lim(u1u2 u n) 

Nhận xét: Kết hợp (2), (3) với (1) ta suy ra: 2 1, u1u2 u3u4  1 2u5

Như vậy (vn) là dãy tăng, bị chặn trên bởi 1, nên nĩ cĩ giới hạn

Giả sử limv n c với0 c 1

Thật vậy, theo cách xác định v0, BĐT đúng với n = 0

Giả sử BĐT đúng với n 1,nghĩa là v: n u2n; v n u2n1 thì:

Nhận xét: Theo đầu bài, (un) bị chặn nhưng khơng đơn điệu Để cm nĩ cĩ giới hạn, ta đã sử dụng

nguyên lý kẹp: Nếu au n v và v n n a thìlimu n a Đây là 1 kỹ thuật thường dùng để xét giới hạn của một dãy

Từ giả thiết ta cĩ ngay: S nS n1 u n30, n 2 3, , ta thu được Sn là một dãy tăng

Vậy nên, nếu dãy Sn bị chặn trên thì Sn là một dãy hội tụ và limu3n lin S( nS n1)0

Xét trường hợp dãy (S n) khơng bị chặn trên thì limS   n

: n n n n n n , , ,

Từ giả thiết ta có S u  u S u u  n

Từ đây, ta thu được: S u n nu n1S u2 2u n1, 2 3,

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1], cĩ dạo hàm trên (0;1) và thỏa mãn điều kiệnf(0) = 0; f(1) = 1 CMR với 2 số thực k1, k2 bất kì, luơn tồn tại các số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho:

là số cho trước lớn hơn 1 Tìm limx n

Nhận xét rằng với x0  1thì x n 0 và do vậy x n 1,n1 2, , Xét hàm số :

1

2

11

1

81

Vì f(1) > 1 và f(2) < 2 nên phương trình f(x) = x cĩ nghiệm duy nhất trong khoảng (1;2) Gọi nghiệm

đĩ là L Theo định lý Lagrange thì với mọi L x1 tồn tại c > 1 sao cho:

1818

1

11

n

n n

n

n

n n

1 1

* Chú ý: có thể giải phần 1 của btoán theo cách sau:

Chứng minh dãy ( )x n tăng và

0 1 2

2010, , ,

n n

Từ (1) và (2) ta thấy tồn tại limxn và

10

410

Từ các nhận xét trên ta thu được:

(i) với x  ( ; )0 luơn luơn cĩ f x  ( ) ( ; )0

(ii) với 0 3

2( ; )

x  luơn luơn cĩ 0 3

2( ) ( ; )

f x 

(iii) với 3

2( ; )

x   luơn luơn cĩ 3

2( ) ( ; )

f x  

Ta xét các TH cụ thể của a

TH1: a < 0 Theo (i) thì mọi x n 0 và x n1x n x x n( n1 2)( x n3)0 Do đĩ ( )x n là dãy giảm nên

cĩ giới hạn limx n b.Khi đĩ 0 1 3

x   và x  x  Do đĩ ( )x n là dãy tăng

nên nếu cĩ giới hạn limx n bthì 0 1 3

Do a neân a  Suy ra dãy ( )x n có giới hạn hữu hạn là 1

Kết luận: Dãy ( )x n có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi 0 3

2[ ; ]

n n n

Khi a thì x Khi a thì x Khi a thì x

III NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2011 Bài T10/399: - THTT tháng 01/2011 tr23

Cho dãy số ( )a n được xác định như sau: a0 10 6;( a n)(16a n1)96, n 0 1 2, , ,

i i

8

13

n n

a a

Cho a là số thực dương tùy ý Xét dãy số ( )x n được xác định như sau:

n

Đặt y     có n số Chứng minh bẳng quy nạp ta cĩ:

1 1

x

x a

x

a Lại đặt b Khi đó trở thành

4

32

m m

1 7 4 1 14

k k

2

11

*

( )

n

u k

Đặt k

k

u Từ cm quy nạp ta có n n

Tiếp theo ta chứng minh bằng pp quy nạp:x2n1 x2n1 và x2n2 x2n(  n )

Thật vậy, giả sử cĩ: x2n1x2n1 thì f x( 2n1) f x( 2n1) nên x2n x2n2 và vì vậy f x( 2n) f x( 2n2)

1 27

13

a

Tương tự cũng thu được b

* Nếu x 1 2 thì từ (4) suy ra x  n 2, với n = 1, 2 Do đĩ limx  n 2

* Nếu  1 x12 thì từ (4) suy ra x n1 x n, với n = 1, 2 Từ (2) và (3) suy ra  1 x n 2 Do đĩ ( )x n là dãy giảm và bị chặn dưới bởi - 1 nên dãy hội tụ Từ (1) suy ra limx   n 1

* Nếu x  1 1 thì từ (3) suy ra x   n 1, với n = 1, 2 Do đĩ limx   n 1

* Nếu x  1 1 thì từ (4) suy ra x n1 x n, với n = 1, 2 kết hợp (1) suy ra limx   n

Tĩm lại dãy ( )x n hội tụ khi và chỉ khi  1 x12 và l2 nếu x12;l 1nếu 1 x12

Ta sử dụng biến đổi sau đây:

(sin sin sin ) ( sin cos sin ) (sin cos cos sin )

Theo định lý Lagrange, tồn tại

1

1

5165

0

165

n

Bằng quy nạp ta thu được u u

Chứng minh a2011 chia heát cho 2011

Xét phương trình đặc trưng của dãy:

IV NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2012

x  n a n   n với a tham số thực

a/ Tìm a sao cho dãy số đã cho cĩ giới hạn hữu hạn

b/ Tìm a sao cho dãy số ( ) (x n n 1 2, , )là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đĩ)

Do đĩ tồn tại giới hạn hữu hạn limx n khi và chỉ khi a = - 1

b/ Từ lí luận phần a/ suy ra:

1

1lim n

Ta cm a  1 là điều kiện đủ để cĩ kết luận trên Thật vậy với a  1

88

b/ Ta cĩ: 2011 3

1

14

4

cot cotcot( )

*Với bất kì x ,ta có x:

p Ch

Từ (1) cĩ : a2 a11 ( ),3 thay vào( )2 được:4 a1 (a11)  1 a1 2a14 a1  0

Do đó a a Thay vào ta có a

Như vậy ba số hạng đầu của dãy là Giả sử a k a k k

Từ giả thiết a a a suy ra k a

x x



 V65y từ (1) suy ra: x n1x n 1 ( )2

Từ (2) ta cĩ dãy (xn) giảm và bị chặn dưới bởi 0 Do đĩ tồn tại lim xn = a

Qua giới hạn hai vế của (1) ta được:

Cho n sao cho u n n

u u u u

0

9

n k k





 là số chính phương khi và chỉ khi: n 1 2 n là số nguyên dương lẻ

* Nhận xét: Bài dễ nhưng khó là nhận xét được công thức lùi (1)

Bài T11/422: - THTT tháng 12/2012 tr24

Cho dãy số ( )u n được xác định như sau:

0 2 1

0 211

[ ; )

lim ( )

n n

thì vế trái là số dương còn vế phải là số âm

Vậy, luôn tồn tại k   mà u   k [ ; ]1 1 Khi đó theo hệ thức

2

n n

u u

- Hết năm 2012 -

V NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2013 Bài T9/426: - THTT tháng 4/2013 tr22

Cho dãy số nguyên dương ( )a n với a1 1;a2 2và a n2 4a n1a n n, 1 Chứng minh rằng: 1/ 2 ( 1) n 5

n n

a a   luơn là một số chính phương với mọi n 1

2/ Phương trình x24xy y 2 5 cĩ vơ số nghiệm nguyên dương

Do đĩ (a2k1;a2k) là các nghiệm nguyên dương của phương trình x24xy y 2 5 (1)

Vì dãy (an) tăng nên các bộ (a2k1;a2k), k = 1, 2, là khác nhau Do đĩ phương trình (1) cĩ vơ số nghiệm nguyên dương

S x  x x x    x

Tìm tất cả các số thực x sao cho 3 3

4limS x n( )  x

4cos x ( cosxcos x) ta cĩ biến đổi:

n

n x

Hàm số f(x) = x 1 cosx cĩ f(0) = 0 nên x = 0 là 1 nghiệm của pt(*)

Ta thấy khi x < 0 thì f(x) < 0; khi x2thì f x( ) Trong khoảng (0;2), hàm số f(x) liên tục cĩ 0

MỤC LỤC

CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TOÁN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY 1

I NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2009 1

II NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2010 5

III NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2011 13

IV NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2012 20

V NHỮNG BÀI TOÁN CỦA NĂM 2013 26