Khi t½nh giîi h¤n h m sè, chóng ta câ thº sû döng qui tc L'Hæpital... Chùng minh b¬ng qui n¤p.[r]
Trang 1CHUYN DY SÈ Khi l m vi»c vîi d¢y sè, ngo i vi»c t¼m hiºu t½nh ch§t cõa sè h¤ng (têng qu¡t) th¼ vi»c t¼m giîi h¤n cõa d¢y sè â l quan trång nh§t Ch½nh v¼ i·u n y, trong t i li»u nhä n y tæi
cè gng tr¼nh b y nhúng k¾ thuªt th÷íng dòng nh§t khi t¼m giîi h¤n cõa d¢y sè B¶n c¤nh
â l mët lîp b i tªp li¶n quan ¸n c¡c d¢y sè nguy¶n
1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n
Cho h m sè
u :N∗ −→R
n 7−→ un Th÷íng th¼ chóng ta k½ hi»u {un}∞n=1ho°c gån hìn (un)ho°c {un} Ð ¥y vi»c xu§t ph¡t
tø u0 hay u1 khæng quan trång
D¢y {un}∞n=1 ÷ñc gåi l câ giîi h¤n l ∈ Rn¸u vîi måi > 0, tçn t¤i n0 ∈Nsao cho vîi måi n ≥ n0 th¼ |un− l| < K½ hi»u lim
n→∞un = l ho°c lim un = l
D¢y {un}∞n=1 câ giîi h¤n l ∞ n¸u lim 1
un
= 0 Sau ¥y tæi tr¼nh b y v i t½nh ch§t cì b£n cõa d¢y sè
(i) N¸u lim un = l th¼ lim |un| = l
(ii) N¸u lim un = l, lim vn = l0 th¼ lim un± vn = l ± l0, lim unvn = ll0
(iii) N¸u lim un = 0v (vn)bà ch°n (tùc tçn t¤i M > 0 sao cho |un| ≤ M, ∀n) th¼ lim unvn =
0
(iv) N¸u lim un = l, lim vn = l06= 0 v vn 6= 0 tø mët ch¿ sè n o â trð i th¼ limun
vn =
l
l0 (v) N¸u un ≤ wn ≤ vn tø mët ch¿ sè n o â trð i v lim un = lim vn th¼ lim wn = lim un
2 Mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m giîi h¤n d¢y sè
2.1 Dòng t½nh ìn i»u cõa d¢y sè
Mët d¢y sè ÷ñc gåi l t«ng (gi£m) n¸u un+ ≥ un(un+1≤ un) vîi måi n ∈N
Mët d¢y sè ÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n (d÷îi) n¸u tçn t¤i M > 0 sao cho un ≤ M (−un < M ) vîi måi n ∈N
N¸u (un) t«ng (gi£m) v bà ch°n tr¶n (d÷îi) th¼ tçn t¤i l sao cho lim un = l Ð ¥y ta c¦n chó þ |l| ≤ M
¦u ti¶n ta i v o mët v½ dö kh¡ ìn gi£n
1 Cho d¢y sè
an = n!
(2n + 1)!!. Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n húu h¤n v t¼m giîi h¤n â
Trang 2Gi£i B¬ng vi»c sû döng m¡y t½nh bä tói ta dü o¡n ÷ñc an l d¢y gi£m Ta câ
an+1
an =
n + 1 2n + 3 < 1.
Do â (an)l d¢y gi£m v bà ch°n d÷îi bði 0 Gåi l l giîi h¤n cõa (an) M°t kh¡c ta câ
an+1= n + 1
2n + 3an, v¼ th¸ lim an+1 = lim n + 1
2n + 3an hay ta câ ph÷ìng tr¼nh
l = 1
2l
⇔ l = 0
1 Cho d¢y sè
(
x0 = 1
xn+1 = sin xn n ≥ 1
T¼m lim xn
Gi£i Tr÷îc ti¶n ta s³ chùng minh d¢y bà ch°n: xn ∈ (0; 1)vîi måi n ≥ 1 Thªt vªy, ta câ
x1 = sin 1 ∈ (0; 1) v n¸u xn ∈ (0; 1) th¼ xn+1 = sin xn ∈ (0; 1) Ngo i ra ta câ
xn+1= sin xn < xn (sû döng b§t ¯ng thùc sin x < x vîi måi x > 0)
Vªy d¢y xn l d¢y gi£m v bà ch°n d÷îi bði 0 n¶n tçn t¤i lim xn = l ∈ [0; 1] Tø ¥y ta câ
l = sin l
Nhªn x²t: Trong b i n y ta th§y tr÷îc ti¶n ta ph£i chùng minh d¢y bà ch°n, tø t½nh bà ch°n ta mîi i ¸n t½nh ìn i»u cõa d¢y sè C¦n l÷u þ chóng ta n¶n chùng minh bà ch°n
c ng ch°t c ng tèt C¡c v½ dö sau s³ cho ta th§y rã vi»c khâ kh«n trong chùng minh t½nh bà ch°n cõa d¢y sè
2 Cho d¢y sè
an =
q
2012 +p2012 + · · · +√
2012( n l¦n c«n)
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n húu h¤n v t¼m giîi h¤n â
Gi£i Ta d¹ d ng nhªn th§y an+1 =√
2012 + an v an > 0 vîi måi n Khi â
an+1− an =√
2012 + an− an = √ 2012
2012 + an+ an > 0.
¸n ¥y muèn chùng minh d¢y sè hëi tö ta c¦n chùng minh an bà ch°n tr¶n Nh÷ng vi»c
ta t¼m ÷ñc sè M trong b i n y l t÷ìng èi khâ Ta s³ gi£ sû an hëi tö v· l, khi â ta câ
l = √
2012 + l Gi£i ph÷ìng tr¼nh ta t¼m ÷ñc l = 1 +
√ 8049
2 ¸n ¥y ta s³ chùng minh
an < 1 +
√
8049
2 vîi måi n
Trang 3Thªt vªy, a1=√
2012 < 1 +
√ 8049
2 v n¸u an < 1 +
√ 8049
an+1 =√
2012 + an <
r
2012 +1 +
√ 8049
1 +√ 8049
Vªy (an) bà ch°n tr¶n bði 1 +
√ 8049
2 v lim an = 1 +
√ 8049
Nhªn x²t: Ta th§y trong v½ dö n y chóng ta ¢ i t¼m giîi h¤n tr÷îc rçi chùng minh giîi h¤n â công l cªn tr¶n
1 Cho α > 2 v d¢y sè
x1= α 2xn+1=
r
3x2n+ 1 + 3
n n ≥ 1.
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n húu h¤n v t¼m giîi h¤n â
Gi£i Ta d¹ d ng chùng minh α ≥ xn > 1 vîi måi n b¬ng qui n¤p Ta câ
4x2n+1 = 3x2n + 1 + 3
n
⇔ 4(x2n+1− x2n) = −x2n+ 1 + 3
n ≤ −α2+ 1 + 3
n < −3 +
3
n ≤ 0
Ta nhªn th§y (xn) l d¢y gi£m Vªy khi â tçn t¤i l ≥ 1 sao cho lim xn = l hay
lim 2xn+1= lim
r
3x2n+ 1 + 3
n
⇔ 2l =p3l2+ 1
Nhªn x²t: Trong c¡ch l m n y câ l³ c¥u häi ÷ñc ra l t¤i sao l¤i ÷îc l÷ñng ÷ñc α ≥ xn
º ¤t ÷ñc i·u n y, chóng ta câ thº cho α = 3, 4, , sau â chóng ta sû döng m¡y t½nh
bä tói t½nh to¡n c¡c sè h¤ng trong méi tr÷íng hñp rçi ÷a ¸n nhªn x²t â
Mët sè b i tªp · nghà
1 Cho d¢y sè
u1 = 2012
un−1 = n2(un−1− un) Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n v t¼m giîi h¤n
2 Cho a, b > 0 v d¢y
u1 ∈ (0; b)
un+1 =
r
ab2+ a2n
a + 1 n ≥ 1.
T¼m lim un
Trang 43 Cho d¢y sè (un) thäa m¢n i·u ki»n
(
an ∈ (0; 1)
an(1 − an) > 1
4
n ≥ 1
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n v t¼m giîi h¤n â
4 Cho a > 0, x²t d¢y sè sau
u1 > 0
un+1 = paun
a2+ u2 n
n ≥ 1
T¼m sè h¤ng u2012 v giîi h¤n cõa d¢y
5 Cho (un) l d¢y sè d÷ìng v °t
Sn = u1+ u2+ · · · + un Gi£ sû ta câ
un+1 ≤ 1
Sn+1 ((Sn− 1)un+ un−1) T¼m lim un
6 Cho c ≤ 1 v d¢y sè
a1= c 2
an+1= 1
2(c + a
2
n) n ≥ 1
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n
7 Cho d¢y sè
an+1 = 1
p
(p − 1) an+ a
ap−1n
, n ≥ 1
trong â p ∈N∗, a ≥ 0, a1> 0 Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n
8 Cho d¢y sè
x1 = 2
xn = x1+ 2x2+ · · · + (n − 1)xn−1
n(n2− 1) n ≥ 2.
T¼m lim un vîi un = (n + 1)3xn
HD: (n + 2)3xn+1 = n
2(n + 2)2 (n + 1)4 (n + 1)3xn ⇔ un+1= n
2(n + 2)2 (n + 1)4 un
9 Cho d¢y (un) thäa m¢n
u0 > 0
un+1 = un(u
2
n+ 12) 3u2
n+ 4 n ≥ 0.
T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè tr¶n
HD: °t f(x) = x(x2+ 12)
3x2+ 4 Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m f º suy ra t½nh ìn
i»u cõa d¢y sè
Trang 52.2 Dòng h m co ho°c kh£o s¡t ë ch¶nh l»ch
D¢y sè (un) ÷ñc x¡c ành
(
u1 ∈ [a; b]
un+1 = f (un) trong â |f0(x)| ≤ q < 1 vîi måi x ∈ (a; b) Trong ph÷ìng ph¡p n y th÷íng dòng ành lþ Largrange: N¸u f l h m sè li¶n töc tr¶n [a; b] v kh£ vi tr¶n (a; b) th¼ khi â tçn t¤i c ∈ (a; b) sao cho
f (b) − f (a) = f0(c)(b − a)
1 Cho d¢y sè
(
u1 = α
un+1 = 1
2ln(1 + u
2
n) − 2012 n ≥ 1
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n húu h¤n v t¼m giîi h¤n â
Gi£i X²t h m sè f(x) = 1
2ln(1 + x
2) − 2012, x ∈R Ta câ
|f0(x)| = | x
1 + x2| ≤ 1
2, ∀x ∈R. M°t kh¡c ph÷ìng tr¼nh f(x) = x câ nghi»m duy nh§t x0 hay f(x0) = x0 Do â
|un+1− x0| = |f (un) − f (x0)|
p döng ành lþ Largrange, khi â tçn t¤i c n¬m giúa un v x0 sao cho
|f (un) − f (x0)| = |f0(c)||un− x0| ≤ 1
2|un− x0| ≤ · · · ≤1
2
n
|u1− x0|
Tø ¥y ta câ lim |un+1 − x0| ≤ lim1
2
n
|u1 − x0| = 0 Vªy lim |un+1 − x0| = 0 hay
Nhªn x²t: Trong v½ dö tr¶n chóng ta th§y rã vi»c dòng ành lþ Largrange v h m co ¢ gióp chông ta ¡nh gi¡ ÷ñc ë l»ch |un− l| Trong nhi·u tr÷íng hñp chóng ta câ thº ¡nh gi¡ ngay m khæng c¦n dòng ¸n vi»c sû döng h m co v ành lþ Largrange
1 Cho d¢y sè
u0> 0
un+1= u
2
n+ 3 2(un+ 1) ∀n ≥ 1. T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè
Gi£i Rã r ng un > 0 vîi måi n N¸u (un)câ giîi h¤n l l th¼ ta câ
l = l
2+ 3 2(l + 1)
⇔ l = 1
Khi â ta x²t
|un+1− 1| ≤ (un− 1)
2 2(un+ 1) =
|un− 1|
2(un+ 1)|un− 1|,
Trang 6m ta câ b§t ¯ng thùc |x − 1|
2(x + 1) ≤ 1
2, ∀x ≥ 0 Do â
|un+1− 1| ≤ 1
2|un− 1| ≤ · · · ≤ 1
2n|u1− 1|
Nhªn x²t: Qua v½ dö n y v so s¡nh vîi 2 v½ dö tr¶n, ta th§y rã muèn dû döng ÷ñc
h m co ta ph£i t¼m ÷ñc [a; b] c ng ch°t c ng tèt sao cho un ∈ [a; b] v f l h m co
Mët sè b i tªp · nghà
1 Cho d¢y sè
(
u1 = 2012
un+1 = 1
4cos 2un− π, n ≥ 1
T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè
2 cho d¢y sè ÷ñc x¡c ành nh÷ sau
(
u1 = 0
xn+1(xn+ 2) = 3 n ≥ 1
(a) T¼m cæng thùc têng qu¡t cõa d¢y sè
(b) T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè
3 T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè
u1= 1
un+1= 2(2un+ 3)
un+ 3 n ≥ 1.
2.3 Dòng °t d¢y phö
Trong ph÷ìng ph¡p n y ta s³ vay m÷ñn giîi h¤n cõa mët d¢y sè kh¡c º t¼m giîi h¤n thæng qua c¡ch °t d¢y phö
1 Cho d¢y sè
(
x1, x2 ∈ (0; 1) 3xn+2= 2xn+1+ xn ∀n ≥ 1
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n húu h¤n v t¼m giîi h¤n â
Gi£i °t
v1 = max{x1, x2}
vn+1 = 2
v n+ vn
3 , n = 1, 2,
Tr÷îc ti¶n ta s³ t¼m d¢y giîi h¤n cõa d¢y (vn) B¬ng qui n¤p chóng ta chùng minh ÷ñc
vn ∈ (0; 1) vîi måi n Ta câ b§t ¯ng thùc sau
2x ≥ 2x, ∀x ∈ (0, 1)
Trang 7p döng b§t ¯ng thùc tr¶n ta chùng minh ÷ñc vn+1 ≤ vn Khi â tçn t¤i giîi h¤n lim vn = L, L ∈ [0; 1] B¬ng c¡ch chuyºn qua giîi h¤n ta câ ph÷ìng tr¼nh L = 2L+ L
3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta ÷ñc L = 0 Sau ¥y chóng ta s³ chùng minh {xn}∞n=1 công câ giîi h¤n
l 0 Ta câ v1 ≥ x1, x2, gi£ sû vn ≥ u2n, u2n+1 Khi â
x2(n+1)= x2n+2 = 2
x 2n+1+ x2n
v n+ vn
3 = vn+1
v
x2(n+1)+1 = x2n+3 = 2
x 2n+2+ x2n+1 3
≤ 2
v n+1 +v n
3
≤ 2
v n+ vn
3 = vn+1. Vªy 0 < x2n, x2n+1 ≤ vn, chuyºn qua giîi h¤n ta lim xn = 0
Nhªn x²t: Trong d¤ng un+2 = f (un+1, un) n y, ta c¦n chó þ c¡ch °t v1 Vi»c chån max hay min s³ phö thuëc vn hëi tö v· cªn tr¶n hay cªn d÷îi nh¬m sû döng ành l½ kµp Ti¸p theo tæi s³ tr¼nh b y vi»c °t d¢y phö b¬ng c¡ch nh¥n mët l÷ñng f(n) th½ch hñp
1 Cho d¢y sè
(
u1= b > 0 (n + 2)2un+1 = n2un− n − 1 n ≥ 1
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n húu h¤n v t¼m giîi h¤n â
Gi£i Nh¥n hai v¸ cho (n + 1)2, ta ÷ñc
(n + 2)2(n + 1)2un+1 = (n + 1)2n2un− (n + 1)3
°t vn = (n + 1)2n2un Khi â ta ÷ñc
vn+1 = vn− (n + 1)3 Khi â
vn+1 = v1−23+ 33+ · · · + (n + 1)3 = 8b −(n + 1)
2(n + 2)2
Vªy lim un = lim
8b − (n + 1)
2(n + 2)2
(n + 1)2n2 = −1
Sau ¥y l mët sè b i tªp tü r±n luy»n
1 Cho d¢y sè
(
x1, x2∈ (0; 1)
xn+2 = 1
3x
2 n+1+ 2 3
√
xn T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè tr¶n
2 Cho d¢y sè
(
x1, x2 ∈ (0; 1)
xn+2 = 1
2012.x
4 n+1+2009
2010.
4
√
xn T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè tr¶n
Trang 83 Cho d¢y
(
x1, x2 ∈ (0; 1) 3xn+2 = 2an+1+ an ∀n ≥ 1
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n v t¼m giîi h¤n
4 Cho d¢y
(
x1, x2 > 1
xn+2 =√
xn+1− 1 +√xn+ 4; n = 1; 2; . Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n v t¼m giîi h¤n
5 Cho d¢y sè
(
u0 = 0
un+1 = un
2012 + (−1)
n n ≥ 1
Chùng minh d¢y sè câ giîi h¤n húu h¤n v t¼m giîi h¤n â
6 Cho k > l > 0 D¢y (un) bà ch°n v thäa m¢n
un+2 ≤ k − l
k un+1+
l
kun. Chùng minh d¢y sè tr¶n hëi tö
7 Cho d¢y sè
Sn = n + 1
2012n+1
n Σ k=1
2012k
k . T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè
8 T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè
u0, u1 > 0
un+2 = u4nun+1
1
5 n ≥ 1.
9 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a, a0 thäa 0 < a0 < 2
a X²t d¢y sè ÷ñc x¡c ành bði
(
u1 = a0
un+1 = un(2 − aun) n ≥ 1
T¼m giîi h¤n cõa d¢y tr¶n
10 Cho d > 0 H¢y t¼m u1 sap cho d¢y sè sau câ giîi h¤n
un+1= u
2
n+ d 2un .
Trang 92.4 Dòng giîi h¤n h m sè
N¸u lim
x→+∞f (x) = l v un = f (n)th¼ lim un = l Khi t½nh giîi h¤n h m sè, chóng ta câ thº
sû döng qui tc L'Hæpital â l i·u m trong giîi h¤n d¢y ta khæng l m ÷ñc
1 T½nh giîi h¤n:
(i) lim n(√n
a − 1), (a > 0) (ii) limln n
nα , (α > 0) Gi£i
(i) Theo qui tc L'Hæpital ta câ:
lim x→+∞x(√x
a − 1) = lim
t→0 +
at− 1
t = limt→0 +
atln a
1 = ln a.
Vªy lim n(√n
a − 1) = ln a
(ii) T÷ìng tü ta câ
lim x→+∞
ln x
xα = lim t→+∞
ln t1α
1
αt→+∞lim
ln t
t =
1
αt→+∞lim
1
t = 0.
2.5 Dòng ành lþ Cesaro v ành l½ Stolz
Cho d¢y sè (un), n¸u lim(un+1− un) = l th¼ limun
n = l
1 Cho d¢y sè
(
x1 = 1 2
xn+1 = xn− x2n n ≥ 1
T¼m lim nxn
Gi£i Sû döng ph÷ìng ph¡p ìn i»u chóng ta chùng minh ÷ñc lim xn = 0 M ta câ
1
xn+1 − 1
xn =
xn− xn+1
xn+1xn =
x2n (xn− x2
n)xn =
1
1 − xn → 1
Theo ành lþ Cesaro ta câ
lim 1
nxn = lim
1
xn
n = lim(
1
xn+1 − 1
xn) = 1.
1 Cho d¢y sè
(
x0 = 1
xn+1 = sin xn n ≥ 1
T¼m lim(√nxn)
Trang 10Gi£i Trong ph÷ìng ph¡p ìn i»u chóng ta ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng lim xn = 0 Thay v¼ t¼m lim(√nxn), chóng ta s³ t¼m lim 1
nx2 n Do â ta x²t hi»u sau
1
x2n+1 − 1
x2 n
= x
2
n− sin2xn
x2
nsin2xn
Sû döng qui tc L'Hæpital ta câ lim
x→0
x2− sin2x
x2sin2x =
1
3 Vªy
lim 1
x2n+1 − 1
x2 n
= 1
3.
Sû döng ành lþ Cesaro ta câ lim 1
nx2 n
= 1
3 Tø ¥y ta suy ra lim(√nxn) = √
Nhªn x²t: Trong v½ dö tr¶n thay v¼ t½nh lim nxn, lim(√
nxn)chóng ta ta ¢ chuyºn qua t½nh lim 1
nxn, lim
1
nx2 n ( i·u n y xu§t ph¡t tø ành lþ Cesaro).Tø ¥y ta câ k¸t luªn º t¼m
lim cõa nαxβn ta câ thº chuyºn qua t½nh limx
− β α
n
n v sû döng ành l½ Cesaro Nh÷ng tø i·u
n y ta l¤i th§y ph£i n¥ng mô cõa xn i·u n y trong mët sè b i to¡n s³ g°p khæng ½t khâ kh«n, º khc phöc i·u n y sau ¥y tæi xin giîi thi»u ành l½ Stolz: Cho (vn) v (un) l hai d¢y thäa m¢n: (vn) t«ng thªt sü ¸n +∞ v
limun+1− un
vn+1− vn = l th¼ limun
vn = l
1 Cho d¢y sè thäa
Sn = 1 + √1
2+
1
√
3+ · · · +
1
√
n. T¼m lim Sn
√
n Gi£i Ta chån un = Sn v vn =√
n Khi â ta câ
lim un+1− un
vn+1− vn = lim
1
√
n + 1(√
n + 1 −√
n) = 2.
Vªy theo ành l½ Stolz ta câ lim Sn
√
B i tªp · nghà
1 Cho d¢y sè
u0= 2012
un+1= un+ 1
u2 n
n ≥ 1 T¼m giîi h¤n cõa limu3n
n .
Trang 112 °t
Sn =
n X
k=1
k cosπ k
T½nh giîi h¤n limSn
n2
3 Cho a > 0 v d¢y sè
(
u1 = a
un+1 =√
u1+ u2+ · · · + un n ≥ 1
°t yn = un
n Chùng minh r¬ng d¢y sè (yn) câ giîi h¤n v t¼m giîi h¤n
4 Cho d¢y sè
u1 = 1
un+1 = un + 1
un n ≥ 1.
Chùng minh lim un
√
n =
√ 2
2.6 Dòng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa
Trong ph÷ìng ph¡p n y chõ y¸u chóng ta i t¼m cæng thùc têng qu¡t cho d¢y sè b¬ng c¡ch l÷ñng gi¡c hâa
1 Cho d¢y sè thäa
un =
q
2 +p2 + · · · +√
2 (n l¦n d§u c«n)
T¼m giîi h¤n cõa d¢y sè
Gi£i Tho¤t nh¼n ta th§y b i to¡n n y gièng b i to¡n ¢ gi£i ð ph¦n dòng t½nh ìn i»u Vªy ð b i n y câ g¼ kh¡c? Ta vi¸t l¤i d¢y sè
(
u1=√
2
un+1 =√
2 + un n ≥ 1
Ch½nh vi»c nh¼n th§y u1 = √
2 ¢ gióp ta li¶n t÷ðng ¸n vi»c l÷ñng gi¡c hâa Thªt vªy,
u1 = 2
√
2
2 = 2 cos
π
4 v
u2 =
r
2 + 2 cosπ
4 =
r
4 cos2 π
8 = 2 cos
π
8.
Tø ¥y ta dü o¡n ÷ñc cæng thùc têng qu¡t cho un = 2 cos π
2n+1 i·u n y d¹ d ng ÷ñc
Trang 125 Cho d¢y
(an) :
a1 = 1 2
an+1 =
1 − (1 − a2n)12
2
12 ∀n ≥ 1
T¼m lim an Chùng minh a1+ a2+ · · · + a2012 < 1.03
Gi£i Ta câ
a1 = 12
an+1 =
1 − (1 − a2n)12
2
12 ∀n ≥ 1
Sau khi bi¸n êi ta ÷ñc
a1= 1 2
q
1 − a2n+1=
r p
1 − a2
n+ 1 2
∀n ≥ 1
Ta th§yp
1 − a21 = cosπ
6 v ta chùng minh ÷ñcp
1 − a2
n = cos π
3.2n Vªy an = sin π
3.2n hay lim an = 0
Ta câ sin π
3.2n < π
3.2n, suy ra
Σai < π
3
1 − 1
2n
D¹ d ng ta chùng minh ÷ñc π
3
1 − 1
22012
Mët sè b i tªp · nghà
1 Cho a ∈ (0; 1) v d¢y sè
x1= a
xn+1=
r
1 + xn
2 n ≥ 1.
T¼m lim
n→+∞
2np1 − x2
n
2 Cho d¢y sè
u1=√
3
un+1= un+
√
2 − 1
1 + 1 −√
2un n ≥ 1.
T¼m u2012
3 Cho hai d¢y sè
x1 = y1 =√
3
xn+1 = xnp1 + x2
n
yn+1 = yn
1 +p1 + y2
n T¼m lim yn
Trang 132.7 D¤ng t¼m giîi h¤n cõa d¢y yn = Σf (ui)
º t¼m ÷ñc giîi h¤n cõa d¢y yn n y ta th÷íng bi¸n êi f(ui) = g(ui−1) − g(ui)
9 Cho d¢y sè
u1 = 1
un+1 = un+ u
2 n
2012 n ≥ 1.
T½nh lim(u1
u2 +
u2
u3 + · · · +
un
un+1) Gi£i Tr÷îc ti¶n ta th§y un > 1 vîi måi n Ta câ
un+1 = un+ u
2 n 2012
⇔ 2012
un
= 2012
un+1
+ un
un+1
⇔ un
un+1 =
2012
un − 2012
un+1. Khi â
un−1
un
= 2012
un−1
− 2012
un
u1
u2 =
2012
u1 −2012
u2 . Cëng v¸ theo v¸ ta ÷ñc
u1
u2 +
u2
u3 + · · · +
un
un+1 =
2012
u1 − 2012
un+1. Trð l¤i vîi d¢y (un) Ta câ un+1− un = u
2 n
2012 > 0, n¶n d¢y (un) l d¢y t«ng N¸u (un) bà ch°n tr¶n th¼ khi â tçn t¤i l ≥ 1 sao cho lim un = l Do â l = l + l2
2012, suy ra l = 0 M¥u thu¨n vîi l ≥ 1 Vªy d¢y (un) khæng bà ch°n tr¶n hay lim un = +∞ V¼ th¸
lim(u1
u2 +
u2
u3 + · · · +
un
un+1) = lim
2012
u1 − 2012
un+1 = 2012.
Nhªn x²t: Tø ¥y ta th§y vi»c bi¸n êi f(ui) = g(ui−1) − g(ui)l m cho vi»c t¼m Σf(ui) trð n¶n ìn gi£n hìn
9 Cho d¢y sè
u1 = 1 2
un =
q
u2n−1+ 4un−1+ un−1
Chùng minh d¢y (yn)vîi yn =
n Σ k=1 1
u2k câ giîi h¤n H¢y t¼m giîi h¤n â