Giáo án- Các đặc trưng số của véc tơ

Giáo án- Các đặc trưng số của véc tơ

§2 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA VECTOR (X, Y)

2.1 Đặc trưng của phân phối có điều kiện

2.1.1 Trường hợp rời rạc

X x1 x2 … xi … xm

PX/Y=y

j P1/j p2/j … pi/j … pm/j

Y y1 y2 … yj … yn

PY/X=x

i q1/i q2/i … qj/i … qn/i

a/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = yj

i 1

M X / Y y x p

=

Kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X = xi

n

i j j/ i

j 1

M Y / X x y q

=

= = å

b/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y

+ M(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị M(X/yj) khi Y = yj và Y (Y ) = M(X / Y)

+ M(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị M(Y/xi) khi X = xi và Y (X) = M(Y / X)

2.1.2 Trường hợp liên tục

M(X / y) = ị xf(x/ y)dx = Y (y) M(Y / x) = ị yf(y/ x)dy = Y (x)

2.2 Kỳ vọng của hàm 1 vector ngẫu nhiên (rời rạc)

Z = j (X,Y) thì

m n

i j ij

i 1 j 1

M(Z) M[ (X,Y)] (x ,y )p

= =

VD Cho Z = j (X, Y ) = X + Y và bảng sau

(X, Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)

pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2

M(Z) = (0 + 0).0,1 (0 1).0,2 (0 2).0, 3 + + + +

(1 0).0, 05 (1 1).0,15 (1 2).0,2 1,75

§3 TÍNH CHẤT CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ

3.1 Tính chất của kỳ vọng M(X)

+ M(C) = C, với C = const và P(C) = 1

+ M(CX) = CM(X)

+ M(X + Y) = M(X) + M(Y)

+ M(XY) = M(X)M(Y), nếu X và Y độc lập

3.2 Tính chất của phương sai D(X)

+ D(C) = 0 và D(X) = 0 suy ra P[X = C] = 1

+ D(CX) = C2D(X)

+ D(X +Y) = D(X) + D(Y), nếu X và Y độc lập

Đặc biệt

+ D(X + C) = D(X) + D(C) = D(X)

+ D(X – Y) = D(X) + (-1)2D(Y) = D(X) + D(Y)

§4 ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA

CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐẶC BIỆT 4.1 X Ỵ H(N;N ;n)A

k n k

N N N

A

n N

C C

C

N

Phương sai D(X) npq N n, q 1 p

N 1

-4.2 Ỵ X B(n;p)

n

a/ Mod[X] k = 0 Ỵ {0;1; ;n}/ P[X { = k ]0 }max

VD

Cho X Ỵ B(100;0,03) , ta có

Þ Mod[X] = 3

b/ Kỳ vọng M(X) = np

c/ Phương sai D(X) = npq

Đặc biệt

M(X)=p

X B(p)

D(X)=pq

ìïï

Ỵ Þ íïïỵ , n 1= .

4.3 Ỵ X P ( ) l

M X ( ) D X ( )

4.4 X N Ỵ ( ms ; 2)

Mod X [ ] M X ( ) , ( ) D X

Chương VI

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT

§1 Một số loại hội tụ trong xác suất

1.1 Định nghĩa

Cho X và dãy {Xi}, i = 1;2;…;n là các đại lượng ngẫu nhiên

a/ Hội tụ hầu chắc chắn

b/ Hội tụ trung bình toàn phương

¾ ¾ ® Û ê - ú®

l

c/ Hội tụ theo xác suất

¾ ¾P® Û ë - ³ e ® "e>û

1.2 Hội tụ theo phân phối

a/ Định lý liên hệ giữa siêu bội và nhị thức

Nếu n cố định, N tăng vô hạn và

A

N

p 0 p 1

N ( ) thì

Ý nghĩa

Nếu n nhỏ không đáng kể so với N thì

( )

n

n N

N

b/ Định lý giới hạn Poisson

Nếu n ® ¥ , p ® 0 np, ® l thì

- l

»

k

k k n k n

e

C p q

!

c/ Định lý giới hạn tích phân Moivre – Laplace

Với n đủ lớn, p không quá gần 0 và 1 thì

-+P X = =k C p qk k n kn » 1 f t

npq

p

2

t 2

VD Trong 1 thành phố có 40% người dân có thu nhập cao Chọn ngẫu nhiên 300 người (chọn từng người) Tính xác suất để trong 300 người được chọn a/ Có 140 người có thu nhập cao

b/ Có khoảng 100 – 140 người thu nhập cao

Ta có n = 300, p = 0,4 và q = 0,6

, ,

b/ P 100 X 140 [ £ £ ] » 0 9818 ,