Bài 2 LÔGARIT ÔN THI ĐH

+ Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên..  Kĩ năng + Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.. + Biết vận dụng các tính chất của lôgarit

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT

BÀI 2 LÔGARIT Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết khái niệm và tính chất của lôgarit

+ Biết các quy tắc lôgarit và công thức đổi cơ số

+ Biết các khái niệm lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên

 Kĩ năng

+ Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản

+ Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài toán biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Khái niệm lôgarit

Cho hai số dương a b, với a 1 Số  thỏa mãn đẳng

thức a  được gọi là lôgarit cơ số b a của b, và ký

hiệu là log a b

2 Tính chất

Cho a b, 0,a1 Ta có:

 

log

a

b

a

Nhận xét: log  , 0, 1



2

log 8 3  2 8

Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0.

3 Quy tắc tính lôgarit

a Lôgarit của một tích

Cho a b b  với , ,1 2 0 a 1, ta có:

log (a b b ) log b log b a  a

Chú ý: Định lý trên có thể mở rộng cho tích của n số

dương:

loga b b n loga b  log a n b

trong đó a b b, , , ,1 2 b n 0,a1

Ví dụ:

log log 2 log 2 log 1 0;

3

1 2 3 7 8 log

2 3 4 8 9

3

1

9

b Lôgarit của một thương

Cho a b b  với , ,1 2 0 a 1, ta có:

1

2

loga b loga b loga b

b

Đặc biệt: log 1 log

b a0,b0 

Ví dụ:

• log5125 log 125 log 25 3 2 1;5 5

• log7 1 log 497 2.

c Lôgarit của một lũy thừa

Cho hai số dươnga b, , a 1.Với mọi  , ta có:

loga b loga b



 Đặc biệt:

1

a b a b

n



Ví dụ:

• log 82 3 3log 8 3.3 9;2  

• log 82 4 1log 82 1.3 3.

4 Đổi cơ số

Cho a b c, , 0;a1;c1, ta có:

log log

logc

a

c

b b

a



Ví dụ:

2

log 16 4

log 8 3

Trang 3

Đặc biệt: log 1  1 ;

log

a

b

a

1 loga b loga b  0



• 3

27

1

log 3

• log 2 log 2128 27 1log 22 1.

5 Lôgarit thập phân – lôgarit tự nhiên

a Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 Với b0, log10b

thường được viết là log b hoặc lg b

b Lôgarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Với b0, loge b

được viết là ln b

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Biến đổi biểu thức lôgarit

Bài toán 1 Chứng minh đẳng thức

Trang 4

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho ,x y  và0 x24y2 12 xy Khẳng đinh nào sau đây đúng?

A log2x2y log2xlog2 y1

B log2 2 log2 log 2

4

1

2

x y   x y

D 4 log2x2y log2xlog 2y

Hướng dẫn giải

Với ,x y  , ta có: 0 2 2  2

log x 2y log 16xy

2 log x 2y 4 log x log y

 log2 2  2 1 log2 log2 .

2

Chọn C.

Nhận xét: Các lôgarit

có mặt trong các đáp

án đều có cùng cơ số

2 Do đó ta cũng có thể dùng các quy tắc của lôgarit, biến đổi từng đáp án đến khi thấy xuất hiện biểu thức không còn lôgarit và so sánh với giả thiết ban đầu để tìm ra đáp án đúng

Ví dụ 2: Cho các số thực a b 0 Mệnh đề nào sau đây sai?

A ln ab 2 ln a2 ln b2 B.ln  1ln ln 

2

ab  a b

C ln a ln a ln b

b

 

 

2

ln a ln a ln b

b

 

 

 

Vì khi a b 0 không tồn tại ln , ln a b

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho a b c d, , , là các số thực dương, khác 1 Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A a c b d ln a c

 

ln

a b

b c

ln

a b

b d

 

 

Do a b c d, , , là các số thực dương, khác 1 nên ta có:

ln

b c

Chú ý: Khi biến đổi

biểu thức chứa lôgarit, ta cần thận trọng trong việc lựa chọn tính chất, công thức, quy tắc sao cho biểu thức luôn xác định với điều kiện ban đầu

Trang 5

Chọn B.

Ví dụ 4: Với các số thực dương a b, bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

3

2

log a 1 3log a log b

b

B

3

b

C

3

2

log a 1 3log a log b

b

D

3

b

Ta có:

3

2

log a log 2a log b log 2 log a log b 1 3log a log b

b

Chọn A

Bài toán 2 Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện Rút gọn biểu thức.

Phương pháp giải

Để tính loga b ta có thể biến đổi theo một trong các cách sau:

• b a,

 từ đó suy ra loga bloga a ;

• a b,

 từ đó suy ra log b log 1;

a b b



• a c,

 b c,

 từ đó ta suy ra

loga b logc c



Để tính bloga c, ta biến đổi b a

 , từ đó suy ra

loga c loga c

Ví dụ:

7

7 log 128 log 2 ;

5

• 32log 9 2 25log 9 2 9 5

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho a,b,c,d 0 Rút gọn biểu thức

S lna lnb lnc lnd

C S ln a b c d

b c d a

Trang 6

Ta có: S lna lnb lnc lnd ln a b c d ln1 0.

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho a b , 0 và a b , 1, biểu thức Plog a b3.logb a4

bằng

Ta có :

1 2

2

a

b

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a 1, a b và

loga b  3

Biến đổi biểu thức P log b

a

b a

A P  5 3 3 B P  1 3

C P  1 3 D P  5 3 3

Ta có:

1

a

P

a



Chọn C.

Ví dụ 4 : Biến đổi biểu thức

b



(với 0a1, 0b1)

ta được

A P 2 B.P 1 C.P  3 D.P  2

Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit ta có:

Phương pháp giải trắc nghiệm: Ta thấy các đáp án

đều là các hằng số, như vậy ta

dự đoán giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a b, .

Sử dụng máy tính bỏ túi Casio, thay a b 2 vào biểu thức

log a b logb a rồi bấm =, được kết quả P 24

Chọn B.

Phương pháp giải trắc nghiệm:

Chọn a2,b2 3

Bấm máy ta được

1 3

P  

Chọn C.

Trang 7

 

b



 

1 10 2 log 2 1 1log 6 1.

Chọn B

Bài toán 3 Tính giá trị biểu thức theo một biểu thức đã cho

Phương pháp giải

Để tính loga b theo mlog ;a x nloga y ta biến đổi

b a x y  



Từ đó suy ra loga b loga a x y .  m n

Ví dụ: Cho loga b2,loga c3

Tính giá trị của

2 3 4

loga a b

c

Ta có:

2 3

4

loga a b log a log b log ca a a

 

2 3.2 4 3 20

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho log 2712 a Khi đó giá trị của log 16 được tính theo a là6

A 4 3 

3

a



3

a a



3

a a

3

a a



a a

4 3

2

3

a







Chọn A.

Ví dụ 2 Cho lg3a,lg2b Khi đó giá trị của log 30 được tính theo a là:125

A 4 3 

3

a

b



3 1

a b



3

a b

3

a a



Ta có:

125

lg125 3 1 lg2 3 1

a b

Trang 8

Chọn B.

Ví dụ 3 Cho alog 3;2 blog 5;3 clog 2.7 Khi đó

giá trị của log 63 được tính theo a, b, c là:140

2 1

ac

abc c



abc c ac



2 1

ac

abc c



2 1

ac abc c



Ta có:

2

log 63 log 3 7 2 log 3 log 7

log 63

log 140 log 2 5.7 2 log 5 log 7



2

7

log 2

a c ab c

1 2

ac

c abc





Chọn C.

Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính: gán lần lượt

log 3,log 5,log 2 cho a, b, c Lấy log 63 trừ140

đi lần lượt các đáp án ở A, B, C, D Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH

Cơ sở lý thuyết: A B  A B 0

+) Đây là một nhận định cực kì cơ bản nhưng dựa vào nó ta có thể có các kỹ thuật bấm rất nhanh gọn phù hợp với yêu cầu của thi trắc nghiệm

+) Khi đề bài cho dưới dạng tính giá trị của biểu thức P và bên dưới cho 4 đáp án Khi đó 1 trong 4 đáp án

sẽ bằng P và ta sử dụng máy tính bỏ túi để tìm ra đáp án đúng một cách nhanh nhất.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Nếu a log 315 thì

A

25

3

5 1 a



25

5

3 1 a





C

25

1

2 1 a



25

1

5 1 a





Tư duy tự luận thì ta làm như sau:

a a





Trang 9

Khi đó: 25 5 5   5 

3

log 15 log 15 log 5.3 1 log 3 1

1

a

Chọn C.

Bây giờ, ta sẽ sử dụng casio - vinacal theo cơ sở lí thuyết đã trình bày ở trên

để giải bài toán này

Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 3 cho A.15

Bấm log 3 15

Bước 2: Nhập biểu thức: log 15 ( )25 

Lần 1: Nhập 25

3 log 15

3(1 )

 A

Loại A

Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành 25

5 log 15

2(1 A)



Loại B

1 log 15

2(1 )

 A

Chọn C.

Ví dụ 2 Đặt a log 3,2 b log 3.5 Biểu diễn log 45 theo a, b ta được6

A log 456 a 2ab.

ab



2 6

log 45 a ab

ab





C log 456 a 2ab.

ab b





2 6

log 45 a ab

ab b







Ta có: log 32 a log 23 1

a

   và log 35 b log 53 1.

b

Trang 10

Khi đó:

6

1

b

b ab

a



Chọn C.

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI (CASIO HAY VINACAL) ĐỂ GIẢI NHƯ SAU:

Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 3, 2 log 3 cho A, B.5

Gán log 32 A

Bấm log 3.2

Gán log 35 B

Bấm log 3.5

Bước 2: Nhập biểu thức: log 45 6   

Lần 1: Nhập 6

2 log 45 A AB

AB



Loại A

Lần 2: Bấm để sửa biểu thức thành

2 6

AB



Loại B

2 log 45 A AB

AB B



Chọn C.

Ví dụ 3 Nếu log275a;log 78 b;log 32 c thì log 35 bằng12

A 3 2

2

b ac

c



2

b ac c



3

b ac c



1

b ac c



Bước 1: Để dễ dàng bấm máy ta gán các giá trị log 5,27 log 7,8 log 3 cho A, B, C.2

Gán log 527 A

Bấm log 5.27

Gán log 78 B

Bấm log 7.8

Trang 11

Gán log 32 C.

Bấm log 3.2

Bước 2: Nhập biểu thức: log 35 12   

Lần 1: Nhập 12

log 35

2

B AC C



Loại A.

log 35

2

B AC C



Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Với mọi số tự nhiên n Khẳng định nào sau đây đúng?

căn bậc hai

log log 2

n

n 

căn bậc hai

log log 2

n

n 

    

căn bậc hai

2 log log 2

n

n  

căn bậc hai

2 log log 2

n

n  

    

Câu 2: Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn log2 8log  3  8.

3

a b b a b  Tính giá trị biểu thức P log aa ab3 2017, ta được

A P 2019 B P 2020 C P 2017 D P 2016

Câu 3: Biết log 35 a, khi đĩ giá trị của log327

25 được tính theo a là

A 3a 2

a



B 3 2

a

C. 3

a

a 

Câu 4: Cho a log 20.2 Giá trị log 5 theo a bằng20

A 5

2

a

B a 1

a



C a 2

a



D 1

2

a a





Câu 5: Số thực x thỏa mãn: log 1log3 2 log 3log

2

x a b c (a, b, c là các số thực dương) Hãy biểu diễn x theo a, b, c.

A x 3ac2 3 .

b

b c

b



Câu 6: Đặt log 53 a Mệnh đề nào sau đây đúng?

A log 7515 1 .

a a



 B log 7515 2 1.

1

a a



 C log 7515 2 1.

1

a a



 D log 7515 2 1.

1

a a





Trang 12

Câu 7: Cho a, b là các số thực dương, a 1. Rút gọn biểu thức: P log2  2 log 1,

log

a

b ab

a

A Ploga b B Ploga b1 C Ploga b1 D P 0

Câu 8: Cho log 527 a,log 78 b,log 32 c Giá trị của log 35 bằng12

A 3 3

2

b ac

c



2

b ac c



3

b ac c



1

b ac c



Câu 9: Cho a 0,b 0,a 1,b 1,n      *

Một học sinh tính:

loga b loga b loga b loga n b

Bước I: log log 2 log 3 log n

Bước II: log  2 3 n

b

P a a a a

Bước III: log 1 2 3 n

b



Bước IV: P n n  1 log  b a

Trong các bước trình bày, bước nào sai?

Câu 10: Cho log 127 x, log 2412 y và log 16854 axy 1 ,

bxy cx





 trong đó a, b, c là các số nguyên Tính

giá trị biểu thức S a 2b3 ,c ta được

Câu 11: Cho a ,b 0,a 1 thỏa mãn log

4

a

b

b  và log2a 16

b

 Tổng a b bằng

Câu 12: Biết rằng log ,log ,log2a 3b 5c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và có tổng bằng 14, đồng

thời log2a4,log3b2,log5c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Giá trị của P a b c   bằng

Câu 13: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log4 log9 log6 1

4

xy

x y   

  Giá trị của biểu thức

9

4 log 6

log 6

P x y bằng

Câu 14: Cho alog 15;20 blog 1530 biết log4000600 ma nb

ab pb qa





  và trong đó , , ,m n p q Giá trị của biểu thức S m n p q    bằng

Câu 15: Cho

2

loga logb logc logx 0;b x y.

p  q  r   ac Tính y theo p, q, r.

Trang 13

A  y q2 pr B

2

p r y

q



 C y2q p r  D y2q pr

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chưa lôgarit theo một biểu thức đã cho

Để tính loga b theo mlog ;a x nlog ,a y ta sẽ biến đổi

b a x y  



Từ đó suy ra: log b loga a a x y .  m n

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho log 2712 a Khi đó giá trị của log 16 tính6

theo a bằng

A 4 3 

3

a



 B 4 3 

3

a a



3

a a

3

a a



a a

4 3

2

3

a







Chọn A.

Ví dụ 2: Cho log3a,log2b Khi đó giá trị của log 30125

tính theo a là

A 4 3 

3

a

b



3 1

a b



3

a b

3

a a



Ta có:

125

log125 3 1 log2 3 1

a b

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho alog 3;2 blog 5;3 clog 2.7 Khi đó giá trị

của biểu thức log 63 được tính theo a, b, c là140

2 1

ac

abc c



abc ac ac



2 1

ac

abc c



2 1

ac abc c



Thật vậy:

loga b loga a x .y 



.loga x loga y

Phương pháp trắc nghiệm:

Sử dụng máy tính: gán log 2712 A

Lấy log 16 trừ đi lần lượt các đáp số ở6

A, B, C, D kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.

Chọn A.

Sử dụng máy tính: gán lần lượt

log3A;log2B

Lấy log 63 trừ đi lần lượt các đáp án140

số ở A, B, C, D, kết quả nào bằng 0 thì đó

là đáp án.

Trang 14

Ta có:

2

log 63 log 3 7 2 log 3 log 7 log 63

log 140 log 2 5.7 2 log 5 log 7



2

7

log 2

c

c abc ab

c



Chọn C.

Sử dụng máy tính: gán lần lượt

log 3A;log 5B;log 2C

Lấy log 63 trừ đi lần lượt các đáp án140

số ở A, B, C, D, kết quả nào bẳng 0 thì đó

là đáp án.

Ví dụ 4 Cho các số thực , ,a b c  1;2 thỏa mãn điều kiện log32alog32blog32c1

3 log a log b log c

P a b c  a  b  c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a b c  bằng

1

3 3

3.2 C 4 D 6.

3 log log

f x x  x x c với x  1;2 

Ta có đạo hàm  

2

3log 3

ln2 ln 2

x

 

2

3

ln 2 ln 2 ln 2

6 log 3 log



nên

   1 1,67 0

f x f  

Như vậy hàm số f x  đồng biến và có nghiệm duy nhất trên 1;2  vì f 1 0; f 2 0và có đồ thị lõm trên 1;2  Do đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy rằng f x  cho nên  1

P  a b c

Trang 15

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1,c2 và các hoán vị.

Chọn C.

Ví dụ 5 Trong tất cả các cặp x y thỏa mãn ;  logx y2 2 24x 4y 4 1.

     Với giá trị nào của m thì tồn tại

duy nhất cặp x y sao cho ;  x2y22x 2y 2 m0?

A  10 2 2 B  10 22 và  10 2 2

C 10 2 và 10 2 D 10 2

Điều kiện: 4x4y 4 0.

Ta có logx y2 224x4y 4 1 

1

4x 4y 4 x y 2 x 2 y 2 2 C

Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ)  C có tâm 1 I12;2 bán kính R 1 2.

Mặt khác: x2y22x 2y 2 m 0 x1 2 y 12 m *  

Với m 0 thì x1;y1 (không thỏa mãn x 2 2 y 22 2)

Với m 0 thì  * là đường tròn  C có tâm 2 I 2 1;1 bán kính R2  m.

Để tồn tại duy nhất cặp x y thì ;   C và 1  C tiếp xúc với nhau.2

Trường hợp 1:  C và 1  C tiếp xúc ngoài.2

Khi đó: R R1 2 I I1 2  m 2 10  m 10 2 2

Trường hợp 2:  C nằm trong 1  C và hai đường tròn tiếp xúc trong.2

Trang 16

Khi đó: R2 R1I I1 2  m 2  10  m 10 2 2

Vậy m  10 22 và m  10 22 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn B.

Ví dụ 6 Xét các số thực a, b thỏa mãn a b 1 Giá trị nhỏ nhất P của biểu thứcmin

 

loga 3logb

b

a

b

 

  bằng

A P min 19 B P min 13 C P min 14 D P min 15

Ta có:

2

log

b

a

b

 

2

a

a b

Đặt loga b t 0  t 1  Khi đó

1

t t

Ta có  

3 1

t t

 Bảng biến thiên:

Trang 17

Từ bảng biến thiên, ta có P min 15.

Chọn D.

Ví dụ 7 Cho hai số thực x, y thỏa mãn:

logx y x x4  3x4y  3y  2

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y 

Khi đó biểu thức T2M m 1 có giá trị gần nhất số nào sau đây?

logx y x x4 3x 4y 3y 2 logx y x y 4x 3 2

x2 y2 4x 3 x2 y22 x 22 y2 1

Tập hợp các số thực x, y thỏa mãn:

3

x y







những điểm thuộc miền trong hình tròn  C có tâm1

2;0 ,

I bán kính R  và nằm ngoài hình tròn 1 1  C có tâm 2 O0;0 và bán kính R 2 3.

Biểu thức: P x y   x y P  0 là họ đường thẳng  song song với đường y x

Các giao điểm của hai hình tròn là 3 3; , 3; 3

A  B  

P đạt giá trị nhỏ nhất khi đường thẳng  đi qua A

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	2,9 MB