Giới hạn của hàm số

Về kiến thức: - Biết: Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm.. Về kỹ năng: - Biết cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm.. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát tri

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

TIẾT 53 BÀI 2 : GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiết 1)

I MỤC TIÊU

1 Về kiến thức:

- Biết: Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

- Biết: Định lý về giới hạn hữu hạn

- Hiểu và so sánh sự khác nhau giữa giới hạn của hàm số và giới hạn của dãy số

2 Về kỹ năng:

- Biết cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm

- Biết các dùng các định lý về giới hạn hữu hạn

- Giải được các bài tập cơ bản trong SGK

3 Về tư duy và thái độ:

- Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic và hợp tác trong hoạt động nhóm

- Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về quen

- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

4 Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh:

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài

tập và các tình huống

- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động

- Năng lực giải quyết các vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học, các kiến thức liên môn để

giải quyết các câu hỏi, bài tập, tình huống trong giờ học

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mạng internet, các phần mềm hỗ trợ học

tập để xử lý các yêu cầu bài học

- Năng lực giao tiếp: Học sinh tự tin giao tiếp, trao đổi vấn đề với các bạn và thầy cô

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình

- Năng lực tính toán

II CHUẨN BỊ:

1 Giáo viên:

- Soạn giáo án và chuẩn bị hệ thống bài tập, ví dụ.

- Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phấn, thước, bảng phụ, máy chiếu,

2 Học sinh:

- Đọc trước bài và làm bài tập về nhà.

- Chuẩn bị các đồ dùng học tập: Sách, vở, bảng phụ, bút viết bảng,

III BẢNG MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC VÀ CÂU HỎI/BÀI TẬP

1 Định nghĩa

giới hạn của

hàm số tại

mộtđiểm

- Hiểu được định nghĩa giới hạn của hàm số tại mộtđiểm - Biết dùng định nghĩa giớihạn của hàm số tại

mộtđiểm

- Nắm được các bước tính toán và lập luận

Định nghĩa 1: Cho khoảngKchứa

điểm 0

x

và hàm sốy= f x( )

xácđịnh trên Khoặc 0

\{ }

K x

Ta nói hàm số

( )

y= f x

có giới

Ví dụ 1:Cho hàm số

( ) 3 2 2 5

f x = x + x+

Chứng

hạn là sốLkhi xdần tới 0

x

nếu với dãy số( )x n

bất kì, 0

\{ }

n

x ∈K x

và

0

n

x →x

, ta có f x( )n →L

Kí hiệu:

( )

0

lim

x x f x L

hay

( )

f x →L

khi 0

x→x

minh rằng

( )

1

x f x

Ví dụ 2:

a)Cho hàm số

( ) 9 x32

g x

x

−

= +

( )

3

x g x

b)Cho hàm số

( ) x3 28

h x

x

−

=

−

Tính

( )

2

x h x

2 Định lý về

giới hạn hữu

hạn.

Nắm được các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số

Vận dụng được định lý để giải một số bài toán

Vận dụng linh hoạt định lýđể giải một số bài toán thường gặp trong

Vận dụng linh hoạt định lýđể giải một số bài toán thường gặp trong thực tế

có mức độ khó

Định lý 1:

a) Giả sử

( )

0

lim

x x f x L

và

Câu hỏi 2:

Hãy dùngđịnh lý 1 để tính Câu hỏi 3:Học sinh hãy đứng tại

chỗ để trả lời câu hỏi

Câu hỏi 4:

Trong những hàm số sau 2 hàm số nào có cùng giới

( )

0

lim

x x g x M

Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0

x x

x x

x x

x x

f x g x L M

M

→

→

→

→

•  + = +

•  − = −

b) Nếu f x( ) ≥0

và

( )

0

lim

x x f x L

, thì

0

L≥ và

( )

0

lim

x x f x L

( Dấu của f x( )

được xét trên khoảngđang tìm giới hạn, với

0

x x≠ )

2 2

2 lim

2

x

x x x

→−

+ − +

( ) x3 7x2 5

h x

x

= +

Tìm

( )

3

lim

x h x

→−

hạn

2 3

5 3 0

2 2

2 7

2 ) lim

1 ) lim 5 6 1

4 d) lim

1

x

x

x

x

x a

x

x x x x

→−

→

→−

→

− +

+

−

IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG

- Mục tiêu:Tạo sự thích thú, khơi gợi trí tò mò cho học sinh về kiến thức của bài mới

- Nội dung, phương pháp tiến hành:

+ Chuyển giao: Giáo viên đặt vấn đề thực tế liên quan đến giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số

+ Vấn đề: 1 Người ta đã nghiên cứu đượcrằng “ khoảng cách chạy bộ ( x km )” có liên quan với “ lượng calo bị đốt

cháy ( f(x) kCal )” theo hàm số sau:

( ) 2 2 8

2

x

f x

x

−

=

−

Biết rằngmột người chạy giới hạn là 2 km, hỏi lượng calo người

đó bị đốt cháy tối đa là bao nhiêu ?

Để giải quyết vấn đề trên chúng ta cùng trả lời các câu hỏi sau:

Nếu ta cho đại lượng “khoảng cách chạy bộ (x km)” lập thành một dãy số( )x n ,x n →2

như trong bảng sau:

x

1 1

x =

2

4 3

2

5

1

n

n x n

=

( )

f x f x( )1 f x( )2 f x( )3 f x( )4 f x( )n f x( )n →?

Khi đó các giá trị tương ứng của hàm số f x( ) ( )1 ,f x2 , ,f x( )n ,

Cũng lập thành mộtdãy số mà ta ký hiệu là( f x( )n )

a) Chứng minh rằng

1

n

n

+ b) Tìm giới hạn của dãy số( f x( )n )

2 Chứng minh rằngvới mọi dãy số bất kì( )x n ,x n ≠2

và

2

n

x →

ta luôn có f x( )n →8

.

HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.

Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.1 HÌNH THÀNH ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM.

- Mục tiêu:Phát biểu được định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.

- Nội dung, phương pháp tổ chức:

Phương pháp sử dụng:Giáo viên nêu khái niệm và giải thích cho học sinh hiểu khái niệm.

Tiến hành:

HOẠT ĐỘNG CỦA

CÁC NĂNG LỰC CẦN ĐẠT

Học sinh lắng nghe, suy

nghĩ và trả lời câu hỏi Định nghĩa 1: Cho khoảngKchứa điểm x0và hàm sốy= f x( )

xácđịnh trên Khoặc

0

\{ }

Năng lực ghi nhớ và ghi chép

Ta nói hàm số

( )

y= f x

có giới hạn là sốLkhi xdần tới 0

x

nếu với dãy số( )x n

bất kì,

0

\{ }

n

x ∈K x

và n 0

x →x

, ta có f x( )n →L

Kí hiệu:

( )

0

lim

x x f x L

hay f x( ) →L

khi 0

x→x

Học sinh lắng nghe, ghi

bài - GV giải thíchđịnh nghĩa cho HS.- GV đưa ví dụ để HS hiểu hơn vềđịnh nghĩa

Ví dụ 1:Cho hàm số f x( ) =3x2+2x+5

Chứngminh rằng

( )

1

x f x

- GV làm mẫu cho HS:

Hàm sốđã cho có tập xácđịnh K = ¡ Giả sử( )x n

là một dãy số bất kì, thõa mãn

1

n

x → khi n→ +∞

Ta có:

lim f x n = lim 3x n + 2x n+ = 5 lim 3x n + lim 2x n + lim5 3 2 5 10 = + + =

( )

1

x f x

Năng lực tư duy

Năng lực ghi nhớ và ghi chép

Học sinh lắng nghe, ghi

bài -GV nêu nhận xét cho HS.Nhận xét:

0 0

x x x x x c x c

,với c làhằngsố

Năng lực ghi nhớ và ghi chép

-Ví dụ áp dụng:

Mục tiêu: Học sinh hiểu được định nghĩa của giới hạn hữu hạn của hàm số Giải được một số bài toán ở mức

độ nhận biết, thông hiểu

Nội dung, phương thức tổ chức:

+ Chuyển giao:

Học sinh làm việc theo nhóm giải quyết ví dụ sau:

LỰC CẦN ĐẠT

Ví dụ 2:

a)Cho hàm số

( ) 9 x32

g x

x

−

= +

( )

3

x g x

b)Cho hàm số

( ) x3 28

h x

x

−

=

−

Tính

( )

2

x h x

a) Hàm số đã cho có tập xác định

{ 3}

\

K =¡ −

Giả sử( )x n

là một dãy số bất kì, thõa mãn

3

n

x ≠ −

và

3

n

x → −

khi n→ +∞

Ta có:

n

x x

g x

−

+

+

Do đó

( )

1

x g x

b) Hàm sốđã cho có tập xácđịnh

{2}

\

K =¡

Giả sử( )x n

là một dãy số bất kì, thõa mãn

2

n

x ≠ và

2

n

x →

khi n→ +∞

Ta có:

2

2 2

n

−

−

−

( )

1

x h x

Năng lực thảo luận nhóm

Năng lực giải quyết vấn đề

Năng lực thuyết trình

+ Thực hiện: Học sinh làm việc theo nhóm, viết lời giải vào bảng phụ Giáo viên quan sát học sinh làm việc,

nhắc nhở học sinh không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc.

+ Báo cáo, thảo luận: Hết thời gian dự kiến cho ví dụ, gọi hai nhóm có lời giải nhanh nhất thì gọi lên bảng

trình bày lời giải Các nhóm khác quan sát lời giải, so sánh với lời giải của nhóm mình, cho ý kiến Có thể gọi

một nhóm có kết qủa sai để so sánh

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp, chốt kiến thức: Trên cơ sở bài làm của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời

giải

+ Sản phẩm:Lời giải của ví dụ 2, HS biết áp dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số để làm bài tập.

2.2 HÌNH THÀNH ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

-Mụctiêu:

+ HS biết đượcđịnh lý về giới hạn hữu hạn

+ Sử dụng định lý để làm một số bài toán

- Nội dung, phương pháp tổ chức: thuyết trình, gợi mở vấn đáp

+ Chuyển giao:Giáo viên dựa vào các kết quả của ví dụ 2 từ đó đặt một số câu hỏi liên quan rồi đưa đến kết

luận các định lý giới hạn hữu hạn của hàm số

+ Thực hiện:Học sinh lắngnghe và ghi chép bài và vở.

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp, chốt kiến thức:Giáo viên chốt lại các kiến thức

HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC

Học sinh lắng nghe và ghi chép -GV nêu và giải thíchđịnh lý cho HS

Định lý 1:

a) Giả sử

( )

0

lim

x x f x L

và

( )

0

lim

x x g x M

Khi đó:

Năng lực ghi chép Năng lực tiếp nhận thông tin

Năng lực ghi nhớ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0

x x

x x

x x

x x

f x g x L M

M

→

→

→

→

•  + = +

•  − = −

b) Nếu f x( ) ≥0

và

( )

0

lim

x x f x L

, thì 0

L≥ và

( )

0

lim

x x f x L

( Dấu của f x( )

được xét trên khoảngđang tìm giới hạn, với 0

x x≠ )

Học sinh lắng nghe, tiếp nhận

kiến thức

- GV đưa ví dụ để học sinh hiểu hơn vềđịnh lý trên

Ví dụ: Cho hàm số

x

f x

x

+

= + Tìm

( )

2

lim

x f x

→

Giải:Theo Định lí 1 ta có:

( )

2 2

2

2

lim( 2) 2

x

x

x x

f x

→

→

+ +

2

lim( ) lim(2) 4 2 2 lim(3) lim( 1) 3 2 1 3

x

x

Năng lực ghi chép Năng lực tiếp nhận thông tin

Năng lực ghi nhớ

HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP, CỦNG CỐ

Học sinh nhớ lại và nêu các yêu

Tình huống 2: Nhắc lại định lý vừa được học

Năng lực ghi nhớ Năng lực thuyết trình

Định nghĩa 1: Cho khoảngKchứa điểm 0

x

và hàm sốy= f x( )

xácđịnh trên Khoặc 0

\{ }

Ta nói hàm số

( )

y= f x

có giới hạn là sốLkhi xdần tới 0

x

nếu với dãy số( )x n

bất kì, 0

\{ }

n

x ∈K x

và n 0

x →x

, ta có

( )n

f x →L

Định lý 1:

a) Giả sử

( )

0

lim

x x f x L

và

( )

0

lim

x x g x M

Khi đó:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0

0

0

0

x x

x x

x x

x x

f x g x L M

M

→

→

→

→

•  + = +

•  − = −

b) Nếu f x( ) ≥0

và

( )

0

lim

x x f x L

, thìL≥0

và

( )

0

lim

x x f x L

( Dấu của f x( )

được xét trên khoảngđang tìm giới hạn, với 0

x x≠ )

HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.

- Mục tiêu

+ Từ định nghĩa, định lý giới hạn hữu hạn của hàm số học sinh giải được một số bài toán

- Nội dung, phương pháp tổ chức: thực hiện dưới 1 trò chơi “Lucky number”, để tìm khả năng nhận được

quà của các nhóm.

+ Chuyển giao: Giáo viên cho học sinh làm việc theo nhóm, làm ví dụ sau:

ĐẠT Câu hỏi 1 :

Hãy dùng định nghĩa để tính giới hạn sau: Đáp án: Năng lực thảo

luận nhóm

Năng lực tính

Cho hàm số

( ) x2 5x1 6

f x

x

= +

Tính

( )

1

lim

x f x

→−

( )

2

1

1

f x

x

x x

=

+

+

toán

Năng lực sử dụng công nghệ thông tin

Năng lực tư duy

Câu hỏi 2:

Hãy dùngđịnh lý 1 để tính

2 2

2 lim

2

x

x x x

→−

+ − +

Đáp án:

Vì(x+ →2) 0

khi x→ −2

, nên ta chưa thểáp dụng Định lý 1 nêu trên

Nhưng vớix≠1

, ta có

1

x x

x

Do đó,

2

2

x x

x

Năng lực thảo luận nhóm

Năng lực tính toán

Năng lực sử

nghệ thông tin Năng lực tư duy

Câu hỏi 3:

Học sinh hãy đứng tại chỗ để trả lời câu

hỏi sau:

Cho hàm số

2

h x

x

= +

.Tìm

( )

3

lim

x h x

→−

Đáp án:

2

h x

x

+

Năng lực thảo luận nhóm

Năng lực tính toán

Năng lực sử dụng công nghệ thông tin

Năng lực tư duy

Câu hỏi 4:

Trong những hàm số sau 2 hàm số nào có

cùng giới hạn

luận nhóm

Năng lực tính toán

( )

2

3

5 3

0

2 2

2

7

2

) lim

1

) lim 5 6 1

4 d) lim

1

x

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

→−

→

→−

→

−

+

+

−

2 3

5 3 0

2 2

2 4

4 2

1 5

x

x

x

x

x a

x

x x x x

→−

→

→−

→

+

+ =

−

Năng lực sử dụng công nghệ thông tin

Năng lực tư duy

+ Thực hiện: Học sinh làm theo nhóm, hoàn thành các yêu cầu trong mảnh ghép đã chọn Giáo viên nhắc

nhở các nhóm làm không nghiêm túc Nhóm nào có câu trả lời chính xác sẽ được cộng 10đ Nếu may mắn thì chỉ nhận được 10 điểm mà không phải trả lời câu hỏi

+ Báo cáo thảo luận: Nhóm nhanh nhất cử đại diện lên trình bày, học sinh nhóm khác trao đổi và nhận xét

bài làm của nhóm bạn

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp, chốt kiến thức: Dựa vào bài làm của học sinh và những thắc mắc cần tháo

gỡ, giáo viên chuẩn hóa lời giải và giúp đỡ học sinh giải quyết các bài tập chưa làm được

+ Sản phẩm: Là bài tập mà các nhóm đã thực hiện được.

HOẠT ĐỘNG 5: TÌM TÒI, MỞ RỘNG

- Mục tiêu:Giúp học sinh khắc sau các kiến thức trong chương và những ứng dụng của các kiến thức trong

thực tế Tìm hiểu ứng dụng của giới hạn của hàm số trong thực tế, tìm hiểu về những nhà bác học, toán học

nghiên cứu về lí thuyết giới hạn.

- Nội dung phương pháp tổ chức:Giáo viên giới thiệu các thông tin cần thiết cho học sinh + Chuyển giao: Nêu ra thông tin của nhà bác học Anh Newton vàWeierstrass cho học sinh.

Nhà bác học Anh Niu-tơn ( Newton, 1642-1727) là người đầu tiên đề xuất thuật ngữ “giới hạn”, dịch từ chữ La-tinh “Limes” có nghĩa là “bờ”,”mép” hay “biên giới” Tuy nhiên, chính Giu-rin (Jurin, 1684-1750), sau đó Rô-bin (Robins, 1697-1751), Cô-si (Cauchy, 1789-1587)… mới đưa ra các định nghĩa về khái niệm này

Nhà toán học Đức Vai-ơ-xtrat (Weierstrass) đã trình bày một định nghĩa hiện đại về khái niệm giới hạn, gần giống vớiđịnh nghĩa sau đây mà ngày nay vẫn thường được dùng trong toán học

“Số b được gọi là giới hạn của hàm sốy= f x( )

khi x→a

, nếu với mỗiε >0

, tồn tạiδ >0

sao cho vớix a≠

và

|x a− <| δ

thì bấtđẳngthức| f x( )− <b| ε

được thực hiện” ( Từđiển toán học NXB- KH&KT 1993)

Kí hiệu “lim” mà ta dùng ngày nay là do nhà toán học Thụy Sĩ Luy-lơ (L’Huiler, 1750 – 1840) đưa ra vàonăm 1786

Như vậy, khái niệm Giới hạn chỉ mới ra đờiở thế kỉ XVII Tuy nhiên, tư tưởng “giới hạn” đã xuất hiện rất sớmở nhiều nhà bác học thời cổ đại