Một số bài toán thống kê qua biển diễn toán động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾKHOA TOÁN HỌC *.* NGUYỄN THỊ LANH MỘT SỐ BÀI TOÁN THỐNG KÊ QUA BIỂU DIỄN TOÁN ĐỘNG TIỂU LUẬN HỌC PHẦN ỨNG DỤNG CNTT VÀ TT TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Huế, tháng 12/2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN HỌC

*.*

NGUYỄN THỊ LANH MỘT SỐ BÀI TOÁN THỐNG KÊ QUA BIỂU DIỄN TOÁN ĐỘNG

TIỂU LUẬN

HỌC PHẦN ỨNG DỤNG CNTT VÀ TT

TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

Huế, tháng 12/2019

LỜI NÓI ĐẦU

Việc học toán không chỉ học các định lí, các công thức, mà còn là họccách vận dụng các kiến thức toán vào thực tế cuộc sống, trong đó khả năngtính toán và mô phỏng là một kĩ năng quan trọng cho việc này Do vậy, việc

sử dụng CNTT và TT trong dạy và học toán là một xu hướng quan trọng.Việc ứng dụng CNTT và TT trong dạy và học môn toán sẽ thực hiện đượccác tính năng rất cần thiết trong giáo dục hiện nay là: Học mọi lúc, mọinơi; Thích ứng cho mọi cá nhân; Kích thích hứng thú học tập qua các công

cụ đa phương tiện; Tra cứu thông tin nhanh và rộng, trao đổi không hạnchế không gian và thời gian; Tự kiểm tra kết quả học tập; Giảm chi phí họctập Hiện nay trên thế giới đã có nhiều phần mềm dạy học toán như Maple,Cabri, GSP, v.v Các phần mềm này đã phần nào đó giúp GV và HS đạtđược hiệu quả cao hơn trong việc dạy và học toán Tuy nhiên việc lựa chọnphần mềm sao cho phù hợp và sử dụng nó một cách hiệu quả cũng là mộtvấn đề không mấy dễ dàng đối với không ít GV và HS hiện nay

Thống kê là một nội dung quan trọng trong chương trình toán lớp 10 nóiriêng cũng như chương trình toán học THPT nói chung Thống kê là tậphợp các phương trình toán học được sử dụng để phân tích những gì đangxảy ra xung quanh chúng ta Qua đó, giúp chúng ta có được nhiều thôngtin hiểu biết về thế giới xung quanh Những thông tin đó có được bằng cách

sử dụng toán thống kê Khi được sử dụng đúng cách, thống kê sẽ cho chúng

ta biết bất kỳ xu hướng nào đã từng xảy ra trong quá khứ và có thể có íchtrong việc dự đoán những gì có thể xảy ra trong tương lai Vì vậy, tôi chọn

đề tài "Giải quyết các vấn đề trên biểu diễn toán động trong một số bài toánthống kê" với phần mềm The Geometer’s Sketchpad ( thường được gọi tắt

là Sketchpad hay GSP) để giải quyết vấn đề toán toán học liên quan cácbài toán thống kê, hỗ trợ bạn đọc, những người có niềm yêu thích với toántrong việc giải quyết các vấn đề toán học

Hoàn thành đươc đề tài tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáoNguyễn Đăng Minh Phúc - người hướng dẫn cũng như là người phụ tráchmôn học "Ứng dụng CNTT và TT vào dạy học môn Toán" Do thời gian

Lời mở đầu 2

và khả năng có hạn nên bài tiểu luận còn nhiều hạn chế và không thể tránhkhỏi những thiếu sót nên tôi rất mong nhận được sự góp ý của độc giả đểtiểu luận thêm phần hoàn thiện hơn

Một số kí hiệu viết tắt 3

MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT

CNTT Công nghệ thông tin

GSP The Geometer’s Sketchpad

Mục lục

Lời mở đầu 1

Một số kí hiệu viết tắt 3

Mục lục 4

I GIỚI THIỆU CHUNG 6 1 Giải quyết vấn toán học 6

1.1 Bản chất của giải quyết vấn đề 6

1.2 Quy trình thực hiện 6

1.3 Ưu điểm 8

1.4 Hạn chế 9

2 Biểu diễn toán động 9

2.1 Biểu diễn toán động là gì? 9

2.2 Vai trò của biểu diễn toán động trong dạy học Toán 10 3 Tổng quan về phần mềm Geometer’s Sketchpad 11

II CƠ SỞ LÝ THUYẾT 13 1 Lịch sử hình thành khái niệm thống kê 13

2 Một số khái niệm 14

3 Trình bày một mẫu số liệu 15

4 Biểu đồ 15

5 Các số đặc trưng của mẫu số liệu 16

5.1 Số trung bình 16

5.2 Số trung vị 16

MỤC LỤC 5

5.3 Mốt 16

5.4 Phương sai và độ lệch chuẩn 17

III SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TOÁN ĐỘNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỐNG KÊ 18 1 Bài toán 1 18

2 Bài toán 2 23

3 Bài toán 3 27

4 Bài toán 4 34

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Chương I

GIỚI THIỆU CHUNG

1.1 Bản chất của giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một PPDH trong đó GV tạo

ra những tình huống có vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động

tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đóchiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tậpkhác Đặc trưng cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là "tìnhhuống gợi vấn đề" vì "Tư duy chỉ bắt đầu khi xuất hiện tình huống có vấnđề" (Rubinstein)

Tình huống có vấn đề (tình huống gợi vấn đề) là một tình huống gợi racho HS những khó khăn về lí luận hay thực hành mà họ thấy cần có khảnăng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc bằng một thuật giải, màphải trải qua quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượnghoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

1.2 Quy trình thực hiện

1 Giải quyết vấn toán học 7

Theo Polya, quá trình giải quyết vấn đề toán học có bốn giai đoạn chính:a) Giai đoạn 1: Hiểu vấn đề

+Bạn phải hiểu được vấn đề

+Cái gì chưa biết? Những dữ kiện thế nào? Điều kiện nào?

+Có thể thoả mãn điều kiện được không? Hay là nó không thoả mãn?Hay là thừa? Hay là mâu thuẩn?

+Hãy vẽ một hình Đưa ra các chú giải phù hợp

+Tách những phần khác nhau của điều kiện Bạn có thể viết chúng rađược không?

b) Giai đoạn 2: Hình thành một phương án giải

+Tìm mối liên hệ giữa những yếu tố đã cho và cái chưa biết Bạn cóthể buộc phải xét đến các bài toán phụ nếu không tìm ra được mối liên hệnào

+Bạn nên đạt đến một phương án giải

+Bạn đã gặp bài toán này chưa?

+Bạn đã gặp một bài toán giống như thế này dưới dạng hơi khácchưa?

+Bạn có biết đến một bài toán có liên quan không?

+Bạn có biết đến một định lý nào mà có thể vận dụng cho bài toánnày không?

+Hãy chú ý đến điều chưa biết cần phải tìm! Cố gắng nghĩ đến mộtbài toán có điều chưa biết giống hoặc tương tự với bài toán này

+Đây là một bài toán đã giải trước đây có liên quan đến bài toán bạnđang làm Bạn có thể dùng nó được không? Bạn có thể dùng kết quả của nóđược không? Bạn có thể dùng phương pháp của nó được không? Bạn nênđưa ra một vài yếu tố phụ để có thể sử dụng được bài toán đã giải

+Bạn có thể đặt lại bài toán được không? Cách đặt lại bài toán có gìkhác trước không?

+Nếu bạn không thể giải được bài toán đã đưa ra, trước hết cố gắnggiải một vài bài toán có liên quan Bạn có thể hình dung ra được một bàitoán liên quan mà có thể dùng cho trường hợp này được không? Một bài

1 Giải quyết vấn toán học 8

toán tổng quát hơn? Một bài toán đặc biệt hơn? Một bài toán tương tự?

+Bạn có thể giải một phần của bài toán được không? Chỉ giữ mộtphần của điều kiện, loại bỏ các điều kiện khác; khi đó điều cần tìm sẽ đượcxác định và thay đổi như thế nào? Bạn có thể rút ra những điều gì hữu ích

từ các giả thiết đã cho? Bạn có thể thay đổi những điều cần tìm hay nhữnggiả thiết, hoặc cả hai nếu cần thiết sao cho những điều cần và những giảthiết mới là gần với nhau hơn được không?

+Bạn đã sử dụng hết tất cả giả thiết chưa? Bạn đã dùng toàn bộ điềukiện chưa? Bạn đã cân nhắc và vận dụng các khái niệm liên quan đến bàitoán chưa?

c) Giai đoạn 3: Thực hiện phương án giải

+Thực hiện phương án giải của bạn để tìm lời giải;

+Kiểm tra từng bước;

+Bạn có thể thấy các bước thực hiện là đúng đắn không?

+Bạn có thể chứng minh rằng nó đúng được không?

d) Giai đoạn 4: Nhìn lại

+Kiểm tra lại lời giải đã thu được

+Bạn có thể kiểm tra được kết quả không?

+Bạn có thể kiểm lập luận của mình được không?

+Bạn có thể đi đến kết quả bằng cách khác không?

+Bạn có thể dùng kết quả hay phương pháp này cho một vài bài toánkhác được không?

1.3 Ưu điểm

Phương pháp này góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy phê phán,

tư duy sáng tạo cho HS Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm

đã có HS sẽ xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết

2 Biểu diễn toán động 9

Đây là phương pháp phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét dưới nhiềugóc độ khác nhau Trong khi phát hiện và giải quyết vấn đề, HS sẽ huy độngđược tri thức và khả năng cá nhân, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận vớibạn bè để tìm ra cách giải quyết vấn đề tốt nhất

Thông qua việc giải quyết vấn đề, HS được lĩnh hội tri thức, kĩ năng vàphương pháp nhận thức ("giải quyết vấn đề" không còn chỉ thuộc phạm trùphương pháp mà đã trở thành một mục đích dạy học, được cụ thể hóa thànhmột mục tiêu là phát triển năng lực giải quyết vấn đề, một năng lực có vị tríhàng đầu để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội)

1.4 Hạn chế

Phương pháp này đòi hỏi GV phải đầu tư nhiều thời gian và công sức,phải có năng lực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được nhiều tình huốnggợi vấn đề và hướng dẫn tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề

Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương pháp pháthiện và giải quyết vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian hơn so với cácphương pháp thông thường Hơn nữa, theo Lecne: "Chỉ có một số tri thức vàphương pháp hoạt động nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mớitrở thành đối tượng của dạy học nêu vấn đề"

2.1 Biểu diễn toán động là gì?

Biểu diễn toán động bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình hình học đượcthiết kế bằng phương tiện CNTT như MTĐT Biểu diễn toán động là công

cụ thiết yếu để dạy, học và làm toán Đặc biệt, những mô hình toán tích cựcđược thiết kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh

2 Biểu diễn toán động 10

động, trực quan về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích

dữ liệu; đồng thời thiết lập các phép tính một cách hiệu quả và chính xác.Chúng có thể hổ trợ học sinh khảo sát toán trong mọi lĩnh vực toán học baogồm: hình học, đại số, thống kê, đo đạc và số học Với công nghệ và nhữngcông cụ phù hợp, học sinh có thể tập trung vào việc đưa ra các quyết định,phản ánh, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học

2.2 Vai trò của biểu diễn toán động trong dạy học Toán

Các biểu diễn toán động có thể giúp cho sinh viên và học sinh:

2.2.1 Tăng cường khả năng quan sát của HS

- Quan sát tình huống: Các đối tượng trong một tình huống sẽ đượcxem xét ở nhiều góc độ khác nhau, ở nhiều vị trí tương đối khác nhau Nhữngtác động của các giả thiết trong tình huống sẽ được quan sát đầy đủ hơn

- Quan sát mối liên hệ: HS sẽ quan sát mối liên hệ, ràng buộc giữacác đối tượng dễ dàng hơn thông qua những ứng xử của đối tượng đó trongmột tổng thể, từ đó HS có thể đưa ra những dự đoán, giả thuyết để rồi kiểmchứng và hình thành tri thức thông qua hoạt động

- Quan sát khám phá: Với thế mạnh của phần mềm động, có thể địnhlượng các yếu tố để có những kết luận Từ các định lượng đó và với tính chất

“động” của giá trị, HS có thể phát hiện những bất biến, các quy luật của cácđối tượng được quan sát

2.2.2 Làm những thực nghiệm nhanh, chính xác, ít tốn kém

- Thực nghiệm nhanh chóng: HS có thể tiến hành thực nghiệm những

ý tưởng của mình thông qua những công cụ dựng sẵn của phần mềm động.Những thực nghiệm này rất nhanh chóng và với số lượng đủ lớn

- Điều kiện thực nghiệm ổn định: Với những thực nghiệm mang tínhvật lý, các điều kiện về các đối tượng phải được đảm bảo trong suốt quátrình thực nghiệm Đối với thực nghiệm trên phần mềm động, điều đó làhiển nhiên có được

- Thực nghiệm có độ chính xác cao: Những thực nghiệm mà HS tiến

3 Tổng quan về phần mềm Geometer’s Sketchpad 11

hành có độ chính xác rất cao do dựa trên những công cụ đã được kiểm nghiệm

và tính chính xác của các phép tính trên máy tính

- Thực nghiệm ít tốn kém: Với phần mềm động, những chi phí tốn kémcho thực nghiệm sẽ được giảm thiểu nhưng vẫn bảo đảm tính khách quan,chính xác

2.2.3 Làm việc trên một số lượng lớn các kết quả

- Khả năng xử lý một số lượng lớn dữ liệu: Với một tập hợp lớn các

dữ liệu thu thập được, HS có thể nhanh chóng có ngay các kết quả cần thiếtcủa mình dưới sự hỗ trợ của phần mềm động

- Trích xuất các kết quả dưới những dạng khác nhau: Dựa trên những

số liệu thu được, HS có thể có được những kết quả được thể hiện ở nhữngdạng khác nhau, chứa đựng nhiều thông tin cần thiết theo thế mạnh củanhững dạng đó Với GSP, có thể sử dụng tính năng vẽ hình để có các bảngkết quả

- Những thay đổi tương ứng: Với dữ liệu đầu vào thay đổi, những kếtquả đã có cũng tương ứng thay đổi theo, giúp cho HS có ngay những kết luậncho mình

Sketch-pad

Phần mềm Geometer’s ketchpad do một nhà toán học Mỹ thiết kế vàonhững năm 90 Hiện tại phần mềm này được coi là phần mềm mô phỏnghình học động số một thế giới

Phần mềm này được cung cấp cho các trường phổ thông Việt Nam trongkhuôn khổ dự án "Thực hành phát triển nghiệp vụ"_PDL (Professionaldevolopment Laboratory) ký kết giữa hãng IBM và Bộ giáo dục_Đào tạo.Cho đến nay đã có rất nhiều giáo viên và nhà trường phổ thông đang sửdụng phần mềm này trong việc giảng dạy và học tập

Trước đây, việc làm bằng thủ công thường không trực quan và chính xác,

3 Tổng quan về phần mềm Geometer’s Sketchpad 12

ta chỉ có thể thấy được kết quả sau khi chứng minh Trong thực tế, khi soạnthảo văn bản trên máy tính, đôi khi bạn cần đưa vào tài liệu các hình họchoặc các hình được vẽ bằng các đường nét hình học cơ bản

Trong Geometer’s ketchpad, các hình được dựng theo phương pháp kiếnthiết Khi một hình được vẽ xong, bạn có thể thay đổi, chuyển dời các thànhphần của hình để được một hình mới với các quan hệ được khai báo tronglúc dựng hình vẫn được bảo toàn

Để đưa hình ảnh vào tài liệu Word, bạn chỉ cần copy hình từ Geometer’sketchpad và paste vào tài liệu Các hình có thể là hình phục vụ dạy học mônhình học, đồ thị hàm số, hình vẽ phối cảnh, hình biểu diễn các hiện tượngvật lý

Chương II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Từ thống kê được xuất phát từ tiếng Latin statisticum collegium và một

từ tiếng Ý statista Từ statistik (tiếng Đức) lần đầu tiên được giới thiệu bởiGottfried Achenwall (1749) nhằm giới thiệu sự phân tích dữ liệu thống kê,biểu thị “khoa học của thống kê” Thống kê mang nghĩa thu thập và phântích dữ liệu lần đầu tiên được đề cập vào đầu thế kỷ XIX Nó được giới thiệubằng tiếng Anh bởi ông John Sinclair

Phương pháp toán học của thống kê xuất hiện từ lý thuyết xác suất, lýthuyết được bắt đầu từ bức thư của Pierre de Fermat và Blaise Pascal

Lý thuyết sai số có lẽ được mô tả đầu tiên bởi Roger Cotes trong cuốnOpera Miscellanea (xuất bản sau khi tác giả mất, 1722) nhưng một hồi ức

ký của Thomas Simpson vào năm 1755 (in năm 1756) lần đầu tiên đã ứngdụng lý thuyết đó cho thảo luận việc quan sát các sai số

Pierre - Simon Laplace (1774) đã làm những phép thử đầu tiên để xácđịnh một quy luật của sự tổ hợp các quan sát nguồn gốc của lý thuyết xácsuất Ông đã trình bày luật sai số xác suất bởi một đường cong Ông suy

ra một công thức cho giá trị trung bình của 3 quan sát Ông cũng đưa ramột công thức cho luật thuận lợi của sai số, nhưng đó là một điều dẫn đếncác phương trình không kiểm soát được Daniel Bernoulli (1778) giới thiệu

xã hội phức tạp như tỉ lệ tội phạm, tỉ lệ hôn nhân hoặc tỉ lệ tự tử.

Trong suốt thế kỷ XX, việc tạo ra các dụng cụ chính xác cho những vấn

đề liên quan đến y tế (dịch tễ học, thống kê sinh học ) và các mục đíchkinh tế xã hội (tỉ lệ thất nghiệp, toán kinh tế ) tạo nên một sự phát triểncủa thống kê trong thực hành Ngày nay việc sử dụng thống kê đã mở rộnghơn nhiều so với gốc của nó như là một dịch vụ cho một bang hoặc chínhphủ Các cá nhân và tổ chức sử dụng thống kê để phân tích dữ liệu và đưa

ra quyết định ở khắp các khoa học tự nhiên và xã hội, y học, kinh doanh vànhững lĩnh vực khác

Thống kê nói chung không được xem như là một lĩnh vực của toán học mà

là một lĩnh vực riêng biệt mặc dù chúng có quan hệ mật thiết Nhiều trườngđại học vẫn giữ việc phân chia các khoa toán học và khoa thống kê Thống

kê cũng được nhắc đến trong các khoa khác như là tâm lý học, giáo dục học

và y tế

- Một tập hợp con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu

- Số phân tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu

- Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu sốliệu

3 Trình bày một mẫu số liệu 15

- Tần số của một giá trị là số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu

5 Các số đặc trưng của mẫu số liệu 16

5 Các số đặc trưng của mẫu số liệu 17

5.4 Phương sai và độ lệch chuẩn

Để đo mức độ chênh lệch (độ phân tán) giữa các giá trị của mẫu số liệu

so với số trung bình ta dùng phương sai s2 và độ lệch chuẩn s = p(s2)

- Với mẫu số liệu kích thước N là {x1, x2, , xN}:

N2



XN i=1xi

N

XN i=1nix2i − 1

N2



XN i=1nixi

2

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán (so với số trung bình)của các số liệu thống kê càng lớn

+ Giả thiết: Thống kê chiều cao của 36 học sinh nam của một trường trunghọc phổ thông được cho bởi bảng phân bố tần số.

+ Kết luận: Vẽ biểu đồ hình quạt

1 Bài toán 1 19

Bước 2: Tìm phương án giải

Ở bài này, muốn vẽ được biều đồ hình quạt thì cần phải biết tần suất củamột giá trị

Với phần mềm GSP sẽ tính toán , và vẽ các giá trị rất chính xác

Bước 3: Giải bài toán

Bước 4: Nhìn lại

+ Biểu đồ hình quạt được sử dụng trong trường hợp biểu diễn bảng phân bốtần suất, thể hiện sự phân bố của các thành phần trong một tổng thể.+ Để xây dựng biểu đồ hình quạt , phải chuyển đổi tần suất của mỗi thànhphần thành tỉ lệ của hình quạt so với toàn bộ hình tròn, bang cách tính góc

ở tâm của hành quạt theo công thức : αi = 3600.fi, trong đó, fi là tần suất

1 Bài toán 1 22

hàng về các mẫu 1, 2, 3, 4,5 của một loại sản phẩm mới được sản suất ở 1nhà máy Dưới đây là bảng phân bố tần số theo số phiếu tín nhiệm dànhcho các mẫu kể trên

Mẫu 1 2 3 4 5 CộngTần số 2100 1860 1950 2000 2090 10000Hãy vẽ biểu đồ quạt thể hiện số phiếu tín nhiệm dành cho các mẫu kể trên

2 Bài toán 2 23

Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau:

Nhiệt độ trung bình của tháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30năm)

Hãy mô tả bảng trên bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột

Bước 1: Hiểu bài toán

+ Giả thiết: Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp nhiệt độ trung bình củatháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm)

+ Kết luận: Vẽ biểu đồ tần suất hình cột

Bước 2: Tìm phương án giải

Ở bài này , đã cho rất rõ ràng nên có thể dựa vào bảng tần suất để vẽ.Việc sử dụng hình ảnh động giúp ta thấy rõ hơn mô tả về nhiệt độ trungbình của tháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm)