gioi han cua ham so

Giáo viên thực hiện:Trần Văn Hào TRƯỜNG THPT BÁN CÔNG EAKAR... I/.giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm :... b Nếu fx > 0 và thì và Dấu của fx được xét trên khoảng đang tìm giới hạn v

Giáo viên thực hiện:

Trần Văn Hào

TRƯỜNG THPT BÁN CÔNG EAKAR

I/.giới hạn hữu hạn của hàm số tại một

điểm :

• 1 Định nghĩa :

2

2 2 2 ( 1)

a Ví dụ:

Xét hàm số lim ( ) lim 2 f xn = xn = × = 2 1 2

Vậy ∀(xn) cho x n ≠ 1

*

N

n∈

∀n∈N*

∀

*

n N

∀ ∈

Mà xn → 1 Thì f x( n ) →2

Ta nói rằng khi x dần tới 1 thì hàm số :

2

( )

1

f x

x

−

=

−

dần tới 2 (Hay giới hạn là 2)

b / Định nghĩa :

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số

y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\ { x0 } Ta nói rằng hàm số:

y = f(x)

có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kỳ, xn k\ {x0 } và ,ta có f(xn)  L

ký hiệu:

0

x → x

0

lim ( )

x x f x L

→ = hay f x( ) → L khi x → x0

• Định lý 1 :

• a) Giả sử

và Khi đó:

0

lim ( )

x x f x L

0

lim ( )

x x g x M

0

lim [ ( ) ( )]=L M

x x f x g x

0

lim [f(x) g(x)]=L M

0

( ) lim

( )

x x

2 Định lý về giới hạn hữu hạn :

Nếu M ≠ 0

b) Nếu f(x) > 0 và thì và

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với )

0

lim

x x L

0

lim ( )

x x f x L

0

x x ≠

Ví dụ 1:

• Cho hàm số f(x) =

2

x

x

+

Tìm

3

lim ( )

x

f x

→

giải

2 2

3

3

1 lim ( ) lim

x

x

x x

f x

x

→

→

+ +

×

Ví dụ 2 Tính

2 1

2 lim

1

x

x

→

+ −

−

2 2 ( 1)( 2)

2

x

Giải

Vì (x-1) 0 khi x 1, nên ta chưa thể áp dụng định lý

1 nêu trên Nhưng với x ≠ 1, ta có:

Do đó:

2

x

Ví dụ 2

3/ Giới hạn một bên :

0

x → x

0

( )n

f x → L

a) Định nghĩa 2 :

 Cho hàm số y =f(x) xác định trên khoảng

(xo; b) Số L được gọi là giới hạn bên phải của

hàm số y = f(x) khi nếu với dãy số (xn)

bất kỳ, x0 <xn< b và

0

lim ( )

x x f x L

+

0

x → x

0

n

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng

(a;x0 Số L được gọi là giới hạn bên trái

của hàm số y=f(x) khi Nếu với

dãy số (xn) bất kỳ, a<xn<x0 và ,

ta có: f x ( )n → L

Ký hiệu:

0

lim

x x+ L

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x f x L x x− f x x x+ f x L

b Định lý 2:

5 2 ( )

3

x

f x

x

+





c Ví dụ 4: Cho hàm số:

Nếu x ≥ 1

Nếu x<1

Giải

1

lim ( ), lim ( ),lim ( )

x

2 2

lim ( ) lim( 3) 1 3 2

x f x x x

→ = → − = − = −

→ = → + = × = =

1

lim ( )

x f x

→

Vậy, khi x dần tới 1 hàm số y=f(x) có giới hạn bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7

Tuy nhiên không tồn tại vì

1 1

lim ( ) lim ( )

x x

f x + f x