KIỂM TRA BÀI CU
Tính giới hạn của dãy sô Giải
Ta có:
lim
n
n
− +
2 3
1
n
n
−
− =
2
4 lim
n n
+ +
Trang 2Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SÔ
I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SÔ TẠI MỘT ĐIỂM 1.Định nghĩa
Xét hàm sô
1) Biến x gồm những giá trị khác 1, lập thành một dãy sô (xn),
xn →1
f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) f(x 4 ) … f(x n ) … →?
3 ( 1) ( )
1
x x
f x
x
−
=
−
2
3 2
x = 3
4 3
x = 4 5
4
n
n x
n
+
=
Trang 3a) Chứng minh:
3 3 ( ) 3n n n
n
+
= =
b) Tính lim ( ) f xn
Giải
a) b)
2) với dãy sô bất kii (x n ), x n ≠ 1 và
x n →1, ta có
Khi đó ta nói hàm sô f(x) có giới hạn là 3 khi x dần tới 1.
3 3 lim ( ) limf x n n
n
+
=
2) Chứng minh với dãy sô bất
kii (x n ), x n ≠ 1 và x n →1, ta có
f(x n ) → 3
3 3 lim
1
n
n
x x
f x
x
−
=
−
lim 3x n lim 3.lim x n 3.1 3
1
n n
n
−
Trang 4ĐỊNH NGHĨA 1 (SGK)
Ví dụ 1 Cho hàm sô .Tính giới hạn
Giải
Hàm sô đã cho xác định trên R\{3}
Giả sử (x n) là dãy sô bất kỳ thỏa mãn x n ≠ 3 và x n →3 khi n→+∞
Ta có:
0
lim ( )
2
9 ( )
3
x
f x
x
−
=
→
lim ( ) f xn =
3
Vậy
lim(x n 3) 3 3 6
= + = + =
Trang 5BT) Cho hàm sô::́
Tính
Giải
BT) Hàm sô đã cho xác định trên R\{8} Giả sử (x n) là dãy sô bất kỳ thỏa mãn
x n≠ 8 và x n →8 khi n→+∞
Ta có:
lim(x n 8) 8 8 16
2 64 ( )
8
x
f x
x
−
=
−
8
lim ( )
→
lim ( )f x n =
Vậy
8
lim ( ) 16
Trang 62 Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Giả sử và Khi đó
b) Nếu f(x) ≥ 0 và , thi L ≥ 0 và
Nhận xét: (c là hằng sô)
nếu M ≠ 0
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
0
lim [ ( ) ( )]
0
lim [ ( ) ( )]
0
lim [ ( ) ( )]
x x f x g x L M
0
lim ( )
0
( ) lim
( )
x x
0
lim ( )
.
.
.
.
Trang 7Ví dụ 2.
a) Cho hàm sô
Tính
b) Cho hàm sô
Tính
2
lim ( )
→
( )
x
f x
x
−
=
−
( )
1
g x
x
− +
=
−
1
lim ( )
→
Giải
Giải
a)
b)
2
2
lim(3 4)
3 4 lim ( ) lim
2 3 lim(2 3)
x
x
x x
f x
→
→
−
−
2
2
3.lim 4 3.2 4
2 2.lim 3 2.2 3
x x
x x
→
→
2
lim ( ) lim
1
g x
x
− +
=
−
1
( 1)( 3) lim
1
x
x
→
=
−
lim( 3) lim 3 1 3 2
MTcsofx
Tim nghiệm của tam thức x2 – 4x + 3
Hai nghiệm x 1 = 3 , x 2 = 1
Vậy x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)
Trang 8Nhóm 1 và 2
1) Cho hàm sô
Tính
-Nhóm 3 và 4
2) Cho hàm sô
Tính
Giải
-Giải
( 2)( 1)
2
x x
−
2
lim 1 2 1 3
→
= + = + =
lim( 4) lim 4 lim(3 2) 3.lim 2
1 4 3 3.1 2 5
+
4 ( )
x
f x
x
−
=
+ 1
lim ( )
→
4 lim ( ) lim
3 2
x
f x
x
−
=
+
1)
2)
( )
2
g x
x
− −
=
− 2
lim ( )
x g x
→
2
2 lim ( ) lim
2
x x
g x
x
− −
=
−
Trang 9ĐỊNH NGHĨA 2
*Cho hàm sô y = f(x) xác định trên khoảng (x o; b)
sô L được gọi là giới hạn bên phải của hàm sô y = f(x) khi x→ x 0 nếu với dãy sô (x n) bất ki, x 0 < x n <b và x n→ x 0, ta có f(x n ) →L
Kí hiệu:
3 Giới hạn một bên
0
x x+ f x L
→ =
*Cho hàm sô y = f(x) xác định trên khoảng (a ; x o)
sô L được gọi là giới hạn bên trái của hàm sô y = f(x) khi x→ x 0 nếu
với dãy sô (x n ) bất ki, a <x n < x 0 và x n→ x 0 , ta có f(x n ) →L.
Kí hiệu:
0
lim ( )
x x− f x L
→ =
0
x 0
a x
0
x → x−
Trang 10ĐỊNH LÍ 2
khi và chỉ khi
0
lim ( )
x x f x L
x x− f x x x+ f x L
→ = → =
Ví du 3: Cho hàm sô
a) Tính và
b) (Hoạt động 2) Xác định a để hàm sô f(x) có giới hạn tại x = 1
Giải
a)
1
lim ( )
→ 1
lim ( )
−
→
2 1 ( )
3 < 1
f x
= −
nếu nếu
lim ( ) lim( 3) 1 3 2
lim ( ) lim( 2) 2
→ = → + = +
lim ( ) lim ( )
⇔ + = − ⇔ = −
b) Để hàm sô f(x) có giới hạn tại x = 1 thi
Trang 112 Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Giả sử và Khi đó
b) Nếu f(x) ≥ 0 và , thi L ≥ 0 và
Nhận xét: (c là hằng sô)
nếu M ≠ 0
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
0
lim [ ( ) ( )]
0
lim [ ( ) ( )]
0
lim [ ( ) ( )]
x x f x g x L M
0
lim ( )
0
( ) lim
( )
x x
0
lim ( )
.
.
.
.
Củng cô
Trang 12Hướng dẫn bài tập về nhà
1) Tính
2) Xác định a để hàm sô f(x) có giới hạn tại x = 2
2 1 nêu 2 ( )
1 nêu < 2
f x
= −
2 3
lim
3
x
x
→
−
Trang 13
BT: Cho hàm sô
a) Tính
b) Xác định a để hàm sô f(x) có giới hạn tại x = 1
( )
1 nêu < 2
f x
2
lim ( )
→ lim2 ( )
→