2 Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn, đ a về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết... Củng cốQua tiết học này cần nắm những nội dung sau: 2.
Trang 11) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
nội dung bài dạy
VD 1: Cho dãy số (un) với un = 3+ (-1)n/n Biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số:
u2
u1
3,5
u5
2,8
u6
3,17
u7
2,86
u8
2)Nếu biểu diễn các số hạng trên trục số, khi n tăng thì khoảng cách từ u n đến 3 càng nhỏ, hay các điểm u n chụm lại xung quanh
điểm 3.
Kết luận:
1) Dãy số (un)nói trên có giới hạn bằng 3
1)Khi n tăng thì giá trị của các số hạng u n xấp xỉ gần bằng 3.
NX:
2) Dãy số (un) có giới hạn là 3 dãy
số (un-3) có giới hạn 0
lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
Trang 2lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn Muốn chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn
là L R, ta chứng minh dãy số (u n L) có –
giới hạn 0
Nhận xét:
Lim un = L lim (un - L) = 0 hay ta núi khoảng cách từ điểm un đến điểm L trở lên nhỏ bao nhiêu cũng đ ợc miễn là n đủ lớn
Trang 3nội dung bài dạy
1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
Muốn chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn
là L R, ta chứng minh dãy số (u n L) có –
giới hạn 0.
VD2: Cho dãy số (un) với un = Chứng minh rằng: lim un = 2
2 n 1
n
+
VD3: Cho dãy số không đổi (un) với un = c, (c
là hằng số) CMR: lim un = c
VD4: Dãy số (un), với un = (-1)n có giới hạn hay không?
Nhận xét: Nếu un=vn+L(L là 1 số thực) và limvn=0 thì lim un=L
Trang 41) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
2) Một số định lí:
Giả sử lim un = L, lim vn = M và c là
một hằng số Khi đó:
Lim (un+vn) = L + M
Lim (un- vn) = L - M
Lim (un.vn) = L.M
Lim (c.un) = cL
Lim ( nếu M ≠ 0)
n n
Giả sử lim un = L Khi đó:
a) Lim | un | = | L | và lim
b) Nếu un ≥ 0 ∀ n thì L ≥ 0 và lim
3 3
n
n
Định lý 2:
Định lý 1:
ýCác b ớc tìm giới hạn : 1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa cao nhất 2) Sử dụng định lí về các phép
toán giới hạn, đ a về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết
Cho các dãy số (un )có dạng
1
1
i j
p p
p p
q q
p q
a b R i j N
a b
−
−
−
−
≠
VD 6: Tìm lim 4 34 3 32 5
+ − + + −
VD 7: Tìm lim 3 2 22
3 1
n
− + +
= 1/2
= 0
ýNX: lim u n =
p< q
p q
a b
nếu p = q
0 nếu
Trang 5nội dung bài dạy 1) ĐN dãy số có giới hạn hữu hạn
lim u n = L R lim (u n - L) = 0
Khi đó dãy số (un) gọi là dãy số có
giới hạn hữu hạn
2) Một số định lí:
ý Các b ớc làm :
1) Chia cả tử và mẫu cho n có luỹ thừa cao nhất
2) Sử dụng định lí về các phép toán giới hạn, đ a về giới hạn của một số dãy số có giới hạn 0 đã biết. Cho dóy s (u ố n ), v i: ớ 1 1 0 * 1 1 0 , ; , ;
; ,
0 i j p p p p n q q q q p q a b R i j N a n a n a u p q N b n b n b a b − − − − ∈ ∈ + + + = ∈ + + + ≠ Giả sử lim un = L, lim vn = M và c là một hằng số Khi đó: Lim (un+vn) = L + M
Lim (un- vn) = L - M
Lim (un.vn) = L.M
Lim (c.un) = cL
Lim ( nếu M ≠ 0)
n n u L v = M Giả sử lim un = L Khi đó: a) Lim | un | = | L | và lim
b) Nếu un ≥ 0 ∀ n thì L ≥ 0 và lim
3 3
n
n
Định lý 2:
Định lý 1:
ýNX : lim u n =
p > q
p q
a b
nếu p = q
0 nếu
Trang 61
n n
u q
Do đó:
Vậy để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta cần xác định u1 và q
1
lim
1
n
u S
q
=
−
Trang 7Củng cố
Qua tiết học này cần nắm những nội dung sau:
2 Nếu un=vn+L(L là 1 số thực) và limvn=0 thì lim un=L
3 Định lí 1 và định 2.
1
1
i j
p q
a b
−
−
−
−
≠
p < q
p q
a b
nếu p = q
0 nếu
1
u
q
−
Trang 8B I T P V NH À Ậ Ề À
Xem lại bài học ngày hôm nay, học bài và làm tất cả các
bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tâp.