giải tích không gian cực hay

Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 cho trước.. Chú ý: Bài toán còn có thể phát hiểu dưới dạng khác “Lập phương trình đường

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KHÔNG GIAN

Bài toán 1: Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình:

(P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Với A1: B1: C1 ≠ A2: B2: C2 và điểm MO (xo; yo; zo) không thuộc (P1) và (P2) Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P1), (P2) chứa điểm MO hoặc góc đối đỉnh của nó

Phương pháp thực hiện: Gọi P là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện bài toán khi đó M (x; y; z) ∈ (P)

 M và MO cùng phía với (P1)

M và MO cùng phía với (P2)

d (M, (P1) = d (M1, (P2)) (A1x + B1y + C1z + D1) (A1xO + B1yO + C1zO + D1) >O

 (A2x + B2y + C2z + D2) (A2xO + B2yO + C2zO + D2) >O

Từ hệ trên ta có được phương trình mặt phẳng (P) cần tìm

Bài toán 2 : Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A,BC,D)

Phương pháp thực hiện: Gọi (P) là mặt phẳng phân giác cần tìm Khi đó, điểm M (x; y; z) ∈ (P): 

M và A cùng phía với (BCA)

M và D cùng phía với (ABC)

d (M, (ABC) = d (M, (BCD))

Từ hệ đó ta có được phương trình mặt phẳng cần tìm

Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d1) và (d2) cho trước

Chú ý: Bài toán còn có thể phát hiểu dưới dạng khác “Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A

song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d1)”

Phương pháp thực hiện:

Cách 1: - Bước 1: Xác định các VTCP của (d1), (d2)

- Bước 2: Gọi u r

là một VTCP của đường thẳng (d), ta có:u ur1⊥ u r & u uur r2 ⊥ u ⇒ = u r [ ; ] u u ur uur1 2

- Bước 3: Viết phương trình (d) thỏa

Qua A Và có VTCP u r

Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1) thỏa:

Qua A (P1) ⊥ (d1)

- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa: Qua A và

(P2) ⊥ (d2)

A x B y C z D A x B y C z D

A B C A B C

- Bước 3: Khi đó (d) chính là giao tuyến của (P1) và (P2)

Chú ý: Nếu ta chọn cách 2 thì lập phương trình tổng quát,rồi từ đó đưa về phương trình tham số và chính tắc ,

còn cách 1 thì lập phương trình tham số và chính tắc

Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2)

Chú ý: Bài toán còn có thể phát biểu dưới dạng: “Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc

với 1 vectơ (hoặc song song với một mặt phẳng) và cắt đường thẳng (d1)”

Phương pháp thực hiện: Ta có thể thực hiện một trong ba cách sau:

Cách 1: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1) thỏa

Qua A và (d1) ⊥ (P1)

- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa

Qua A và (d2) ⊥ (P2)

- Bước 3: Kết luận

* Nếu (P1) ≡ (P2): Bài toán có vô số nghiệm

* Nếu (P1) ≠ (P2): Gọi (d) là giao tuyến của (P1) và (P2):

+ d // d2 thì bài toán vô nghiệm

+ Còn lại, ta kết luận d là đường thẳng cần dựng

Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) thỏa:

Qua A và (d1) ⊥ (P)

- Bước 2: Xác định giao điểm B của (d2) và (P)

* Nếu không tồn tại giao điểm Kết luận vô nghiệm

* Nếu có vô số giao điểm (d2 ⊂ (P2)) Kết luận có vô số đường thẳng trong (P) đi qua A cắt (d2)

* Nếu có nghiệm duy nhất, ta thực hiện bước 3

- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (d) thỏa Qua A và cóVTCP uuur AB

Cách 3: Được thực hiện khi (d2) cho dưới dạng tham số.

- Bước 1: Giả sử (d) cắt (d2) tại B, khi đó tọa độ B thỏa phương trình tham số của (d2), từ đó suy ra

AB Xác định tọa độ u ur1

là VTCP của (d1)

- Bước 2: Vì (d) ⊥ (d1)  uuur ur AB u 1 = 0 => tọa độ điểm B

- Bước 3: Lập phương trình (d) thỏa

Qua A và có VTCP uuur AB

Chú ý: Cách 1 dẫn đến lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d), sau đó đưa về chính tắc hay tham số ,

còn ta sử dụng cách 2 và 3 thì đưa về lập phương trình chính tắc và tham số

Bài toán 5 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt hai đường thẳng (d1 và (d2).

Bài toán còn được mở rộng khi ta thay điều kiện điểm A bằng điều kiện:

- (d) // (d3) và cắt (d1) và (d2) hoặc là:

- (d) ⊥ (P) và cắt (d1) và (d2) (trong đó d3 là đường thằng, (P) là mặt phẳng cho trước)

Phương pháp thực hiện:

Cách 1: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1) thỏa

Qua A và (d1) ⊂ (P1)

- Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P2) thỏa Qua A và(d2) ⊂ (P2)

- Bước 3: Kết luận d là giao của (P1) và (P2)

+ Nếu (P1) song song hoặc trùng (P2) thì vô nghiệm

+ Nếu d // d1 hoặc d // d2 thì vô nghiệm

+ Còn lại ta kết luận d chính là đường thẳng cần tìm

Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa d1.

- Bước 2: Xác định giao điểm B của (d2) và (P)

+ Nếu không tồn tại giao điểm, kết luận vô nghiệm

+ Nếu có vô số nghiệm, kết luận bài toán có vô số nghiệm đó chính là chùm đường thẳng trong (P)

đi qua A

+ Nếu có nghiệm duy nhất, ta thực hiện được tiếp theo bước 3:

- Bước 3: Lập phương trình (d) qua A và có VTCP uuur AB

Lưu ý: là ta cân kiểm chứng (d) không song song với (d1).

Cách 3: - Bước 1: Giả sử (d) cắt (d1) và (d2) theo thứ tự B và C Khi đó tọa độ B, C theo thứ tự thỏa mãn các

phương trình tham số của (d1) và (d2)

- Bước 2: Từ điều kiện A, B, C thẳng hàng ta xác định tọa độ B, C

- Bước 3: Lập phương trình (d) qua A và B

Bài toán 6: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A, vuông góc với (d1)và nằm trong mặt phẳng (P).

- Bước 1: Lập phương trình (đường thẳng) mặt phẳng (Q) thỏa:

(Q) : qua A

(Q) ⊥ (d1)  (Q) : qua A có VTCPu r

- Bước 2: Khi đó (d) là giao tuyến của (P) và (Q)

Bài toán 7 : Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Cách 1: - Bước 1: Gọi d là đường vuông góc chung của (d1) và (d2), khi đó một VTCP a r

của (d) thỏa mãn:

a ⊥ a a ⊥ ⇒ = a a a a

- Bước 2: Gọi P1 là mặt phẳng chứa (d) và (d1) khi đó:

(P1) qua M1 ∈ (d1)

 (P1): qua M1 ∈ (d1) => (P1) có cặp VTCP a ur1& a r

ø VTPT n ur1 = [ ; ] a a ur r1

- Bước 3: Gọi (P2) là mặt phẳng chứa (d) và (d2), khi đó:

(P2) qua M2 ∈ (d2)

 (P2): qua M2 ∈ (d2) => (P2) có cặp VTCP a uur r2 & a

VTPT n uur2 = [ ; ] a a uur r2

- Bước 4: Phương trình (d) chính là giao tuyến của (P1) và (P2)

Cách 2: - Bước 1: Gọi A, B theo thứ tự là chân đường vuông góc chung với (d1) và (d2).

- Bước 2: Từ đó suy ra tọa độ A, B theo phương trình tham số của (d1) và (d2)

- Bước 3: Từ điều kiện:

(d) ⊥ (d1)



1

AB ⊥ a

uuur ur



1

AB a =

uuur ur

=>

t

=> tọa độ A, B (d) ⊥ (d2)

2

AB ⊥ a

uuur uur

2

AB a =

uuur uur

u

Bước 4: Khi đó phương trình đường vuông góc chung (d) được cho bởi qua A và có VTCP uuur AB

Chú ý: Nếu (d1), (d2) chéo nhau và vuông góc, ta còn có thể thực hiện như sau:

- Bước 1: Dựng mặt phẳng (P1) thỏa

(d1) ⊂ (P1) (d2) ⊥ (P1)

- Bước 2: Dựng mặt phẳng (P2) thỏa

(d2) ⊂ (P2) (d1) ⊥ (P2)

- Bước 3: Phương trình (d) chính là giao tuyến của (P1) và (P2).

Bài toán 8: Lập phương trình đường thẳng (d1) là hình chiếu của (d) trên mặt phẳng (P).

a) Nếu (d) ⊥ (P) ta có hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P)

b) Nếu (d) // (P) ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Lấy điểm A ∈ (d), từ đó xác định tọa độ điểm HA là hình chiếu vuông góc của A lên (P)

- Bước 2: Phương trình đường thẳng (d1) được cho bởi : (d1)// (d) & qua HA

c) Nếu (d) cắt (P) ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm I của (d) và (P)

+ Bước 2: Lấy điểm A ∈ (d), từ đó xác định tọa độ điểm HA là hình chiếu vuông góc của A lên (P)

+ Bước 3: Phương trình (d1) được cho bởi: qua HA và VTCP IH uuuurA

là hình chiếu vuông góc của A lên (P)

Bài toán 9 : Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P).

Cách 1: - Xác định VTPT n của mặt phẳng (P)

- Lập phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với (P)

- Hình chiếu vuông góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P)

Cách 2 : - Xác định VTPT n r

của mặt phẳng (P).- Giả sử H (x; y; z) là hình chiếu vuông góc của A lên (P), suy ra:

( )

 uuur r Tọa độ của H.

Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng d2 đối xứng với đường thẳng d1 cho trước qua mặt phẳng (P)

cho trước

Phương pháp thực hiện:

a.Nếu d1 ⊥ ( ) P , ta có ngay d1 ≡ d2

b.Nếu d1// (P), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1:Lấy điểm A∈(d1), từ đó xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua (P)

Bước 2:Phương trình d2 được xác định: qua B và d2//d1

c.Nếu d1 cắt (P), ta thực hiện các bước sau:

Bước1: Xác định tọa độ giao điểm I của d1 với (P)

Bước 2: Lấy điểm A∈(d1), từ đó xác định tọa độ giao điểm A1 đối xứng với A qua (P)

Bước 3: Phương trình d2 lập bởi VTCP IA uur1

và qua A1

Bài toán 11: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.

Phương pháp thực hiện:

Cách 1:

Bước 1: Xác định VTCP a r

của đường thẳng d

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, suy ra tọa độ H thỏa mãn phương trình tham số của d

Bước 3: Ta có điều kiện:AH ⊥ ( ) d ⇔ uuur AH ⊥ ⇔ a r uuur r AH a = ⇒ 0 tọa độ H

Cách 2:

Bước 1: Xác định VTCP a r

của đường thẳng d

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P)thỏa mãn : qua A và vuông góc với d

Bước 3: Hình chiếu vuông góc của A chính là giao điểm của d và mặt phẳng P