Tài liệu “ Ôn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức”

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong qu trình ơn luyện cho học sinh lớp 12 dự thi tốt nghiệp, đại học, học sinh gặp không ít khó khăn khi vận dụng các tính chất và công thức của hình giải tích phẳn

SỞ GD & ĐT TỈNH PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU

Đề tài:

“ Ôn tập hình giải tích phẳng qua

chương số phức”

Năm học: 2009-2010

Giáo viên : NGUYỄN VĂN PHONG.

Đơn vị : Trường THPT Nguyễn Du.

PHẦN I: MỞ ĐẦU.

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong qu trình ơn luyện cho học sinh lớp 12 dự thi tốt nghiệp, đại học, học sinh gặp

không ít khó khăn khi vận dụng các tính chất và công thức của hình giải tích phẳng để giải

bi tập trong chương số phức bởi những lí do chính sau :

 Chương hình giải tích phẳng học sinh đ học ở lớp 10

 Chương số phức học sinh được học ở cuối năm lớp 12

 Thời gian dài học sinh không có cơ hội nhiều để ôn tập và rèn luyện kiến thức hình giải tích phẳng

Trong khi đó, theo chương trình đổi mới sách giáo khoa và nội dung chính trong các

kỳ thi cao đẳng và đại học hiện nay, hình giải tích phẳng gần như là bài toán bắt buộc Việc giáo viên chủ động hướng dẫn học sinh giải cc bi tốn số phức cĩ vận dụng kiến thức hình học phẳng, ra bi tập số phức cĩ vận dụng nhiều hình giải tích phẳng, phức hĩa một số bi tốn hình giải tích phẳng cho học sinh rn luyện và ngược lại , lm học sinh thấy được mối quan

hệ gần gũi giữa chương số phức và chương hình giải tích phẳng, vừa là cơ hội ôn tập cho học sinh hai nội dung chính trong các đề thi, tạo tm lý thích học tốn v gy hứng th cho học sinh khi học chương số phức

Vì lý do trn v thực tiễn tìm hiểu của bản thn gần 10 năm công tác giảng dạy, học hỏi kinh nghiệm của một số thầy có kinh nghiệm trong công tác giảng dạy, chưa tìm thấy ti liệu

no trình by về kinh nghiệm trn, tôi chọn nghiên cứu đề tài “ Ơn tập hình giải tích phẳng qua chương số phức ” V qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy đề tài này áp dụng có hiệu

quả

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

 Nhằm hồn tốt nhiệm vụ năm học 2009-2010 và nhu cầu giáo dục hiện nay

 Tìm hứng th học tập của học sinh 12 THPT Nguyễn Du thơng qua chương số phức

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

 Đề ti nghin cứu trong phạm vi lớp 12C2 trường THPT Nguyễn Du

 Hiệu quả của việc ơn tập v vận dụng cc kiến thức hình học phẳng trong chương số phức

 Hiệu quả của việc ơn tập v vận dụng cc kiến thức hình học phẳng thơng qua việc giải

cc bi tốn hình học phẳng đ được phức hĩa thnh bi tốn số phức và ngược lại

IV NHIỆM VỤ NGHIN CỨU.

 Đưa ra các bi tập số phức cĩ vận dụng cc kiến thức hình học phẳng cho học sinh ơn tập v rn luyện

 Đưa ra các bài tập thể hiện mối quan hệ giữa số phức và hình học phẳng v tính hiệu quả của việc ơn tập

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Để giải quyết các vấn đề này tôi tiến hành thực hiện các phương pháp sau:

- Phương pháp điều tra viết : Tiến hành điều tra 10 học sinh của lớp 12C2 với 15 bi tập

- Phương pháp phỏng vấn : Phỏng vấn 5 học sinh

- Thảo luận cc gio vin trong trường và tham khảo ý kiến của cc thầy cơ có nhiều năm kinh nghiệm trong nghề

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI I- CƠ SỞ KHOA HỌC

1 Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng v cc kiến thức lin quan

Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy là hệ gồm 2 trục Ox, Oy, đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, với  ,i j là các véc tơ đơn vị tương ứng ở trên các trục Ox, Oy

 Công thức tính độ dài đoạn thẳng

 Cơng thức toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng

 Cơng thức tính gĩc giữa hai đường phẳng: cos( ; ') '

'

u u

u u

  



 

  với u,u '

lần lượt là

các véctơ chỉ phương của  , '

 Cơng thức tính khoảng cch từ 1 điểm M(x0, y0) đến đường thẳng

d : Ax + By + C = 0 : d M d( ; ) Ax0 2By0 2 C

A B





 Phương trình đường thẳng (phương trình tổng qut, phương trình tham số, phương trình đoạn chắn)

 Phương trình đường trịn

2 Cc kiến thức về số phức:

 Cc php tốn về số phức (cộng , trừ, nhn , chia )

 Căn bậc hai và giải phương trình bậc hai số phức

 Dạng lượng giác của số phức v ứng dụng

3 Cc bi tốn số phức cĩ vận dụng nhiều kiến thức hình giải tích phẳng:

 Quỹ tích điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức

 Tìm số phức cĩ mơđun cho trước (nhỏ nhất , lớn nhất…)

 Tìm số phức cĩ Acrgumen cho trước.

 Điều kiện về phần thực v phần ảo

II- CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH:

Bi 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mn điều kiện: a) z =1 ( Bi tập 5a trang 134, sch giải tích 12 ban cơ bản)

b) z  1 1 v cĩ modun nhỏ nhất ( lớn nhất )

c) z  1 1 v một acgumen của z bằng 0

Lời giải:

a) z = x + y.i; với x, y là hai số thực Ta được: x2y2  1 x2y2 1 Vậy quỹ tích cần tìm l đường trịn x2y2 1

b) Tương tự câu a): z  1 1 (x 1)2y2 1 Dựa vo hình vẽ ta được: Số phức

có môdun nhỏ nhất tha đề bài là z = 0 v số phức cĩ mơdun lớn nhất tha đề bài là z

= 2

c) Với kết quả cu a, b) Ta được: z = 2

   

   

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát:

 Nếu quỹ tích là đường trịn: số phức cĩ mơdun lớn nhất, nhỏ nhất thì điểm biểu diễn

số phức là giao điểm của đường trịn thu được với đường thẳng nối tâm đường trịn v gốc tọa độ

 Nếu quỹ tích là đường thẳng : số phức có môdun nhỏ nhất thì điểm biểu diễn số phức

là giao điểm của đường thẳng thu được với đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng đ cho

2

O

I

2

O

I

4

2

-2

O I

2

d O

M

d

2

d

O M

Bi 2:

Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mn điều kiện:

a) z = z- 3 + 4i ( Bi tập 9c trang 190, sch giải tích 12 ban nng cao)

b) z = z- 3 + 4i và có mođun nhỏ nhất

c) z = z- 3 + 4i v cĩ một acgumen bằng Lời giải:

a) z = x + y.i; với x, y là hai số thực Ta được:

x y

Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng d:6x 8y25 0

2

-6x-8y+25=0 k: y = 1.33x+0.00

M: (1.50, 2.00)

O

4

2

-2

-4

   

   

 

 

2

y=x -6x-8y+25=0

A: (1.79, 1.79)

 

  

b) Phương trình đường thẳng k đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với đường thẳng d có phương trình 4

3

y x Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d và k là ( ;2)3

2

M Vậy quỹ tích cần tìm l điểm ( ;2)3

2

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d và đường thẳng y = x là A( 25/14; 25/14 ) Vậy quỹ tích cần tìm l điểm A( 25/14; 25/14 )

Bi 3: ( Đề thi Đại học 2009B)

Tìm số phức z tha mn điều kiện : z- (2+i) = 10; z z = 25

Lời giải:

z = x + y.i; với x, y l hai số thực z (2 i)  10  (x 2) 2  (y 1) 2  10;

z z   x y  Giải hệ

25

x y





 ta được ( ; ) (5;0)( ; ) (3;4)x y x y 



5

3 4

z





Nhận xt:

 Bi tốn trn l phức hĩa của bi tốn : Tìm tọa độ giao điểm của hai đường trịn

(x 2)  (y 1)  10 v x2 y2 25 trong mặt phẳng tọa độ Oxy Qua bài toán này ta kiểm tra được kỷ năng tìm giao điểm của hai đường trịn khi biết được phương trình

 Tổng quát hơn, ta có thể thay giả thiết của bài toán để chuyển bài toán về việc tìm giao điểm của đường thẳng và đường trịn; giao điểm của các đường cônic

Bi 4:

Cho z A  2 i z; B  4 3 ;i z C m 2i ; m l số thực Tìm m sao cho tích hai phần thực

v tích hai phần ảo của z C  z Av z C  z B l hai số thực đối nhau

Lời giải:

z  z  m i z  z  m  i Ta được

5

m

m







Nhận xt:

Xem A; B; C lần lượt là các điểm biểu diễn cc số phức z A   2 i z; B   4 3 ;i z C m 2i trong mặt phẳng tọa độ, ta có bài toán sau: Cho A(2; 1); B(4; -3); C(m; -2) Tìm m sao cho tam

gic ABC vuơng tại C ( Cao đẳng 2006 kinh tế kỹ thuật Cần Thơ)

Bi 5: ( Đề thi Đại học 2009A)

z1, z2 l hai nghiệm phn biệt của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 Tính Az12 z2 2

Lời giải:

Cch 1:

Lời giải theo đáp án của bộ giáo dục

Cch 2:

z = x + y.i; với x, y là hai số thực Ta được:

2

0 1 3

xy y x y

 







 





Nhận xt:

 Với lời giải ny, ta cĩ thể xem bi tốn trn l phức hĩa của một bi tốn hình học phẳng : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M, N lần lượt là giao điểm của hai đường cong có phương trình:x2 y22x10 0 v xy y 0 Tính gi trị của biểu thức A= OA2 +

OB2

 Để tránh đi giả thiết nghiệm phương trình, ta cĩ thể thay giả thiết bi tốn thnh: z1, z2 l hai số phức phn biệt thỏa mn đẳng thức z2 + 2z + 10 = 0 Tính Az12 z2 2(ta có thể tổng quát cho phương trình cĩ bậc ty ý)

Bi 6 : ( Đề thi Cao đẳng 2008A)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: x -2y + 3 = 0 Tìm hai điểm lần lượt nằm trên Ox, Oy và đối xứng nhau qua d

4

A: (0.00, 4.00)

B: (2.00, 0.00)

  

Phức hĩa:

1 Tìm hai số phức z1 = x v z2 = yi, với x, y là hai số thực sao cho z1 + 2iz2 + 6 = 0 v z +

2 = 2iz1.

2 Tìm hai số phức z1 = x v z2 = yi, với x, y là hai số thực sao cho điểm biểu diễn số phức (z1 + z2 )/2 nằm trên đường thẳng x -2y + 3 = 0

Bi 7: ( Đề thi Đại học 2007A)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho A(0; 2), B(-2; -2), C(4; -2) Gọi H là chân đường cao kẻ

từ B của tam giác ABC, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam gic HMN

2

-2

H: (1.00, 1.00)

LN: (x-0.50)2+(y+0.50)2 = 1.582

N M

H A

C B

4

2

5

x+y-8=0 x+y-2=0

A: (2.00, 2.00)

C: (3.00, 5.00)

B: (-1.00, 3.00)

 

 

Phức hĩa:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển các số phức 2i, -2-2i, 4-2i Gọi H là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam gic HMN

Bi 8: ( Đề thi Đại học 2007B)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2), đường thẳng d1 có phương trình: x + y – 2 = 0, đường thẳng d2 có phương trình: x +y – 8 = 0 Tìm hai điểm B, C lần lượt nằm trên d1, d2 sao cho tam gic ABC vuơng cn tại A

Phức hĩa:

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển cc số phức z1 = 2+ 2i, z2 = m + (2-m).i, z3 = ( 8- n) + n.i Tìm m, n sao cho tam gic ABC vuơng

cn tại A

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diển các số phức z1 = 2+ 2i, z2 = (m +2) –m.i, z3 = ( n + 2) + (6- n).i Tìm m, n sao cho tam gic ABC vuơng cn tại A

Bi 9:

Cho z A  1 2 ;i z B 2;z C  3 i Tìm z sao cho: z  z A  z  z B  z  z C

Lời giải:

z = x + y.i; với x, y l hai số thực

11

14 14

14

x

x y

x y

y









 Nhận xt:

Bi tốn trn l phức hĩa của bi toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam gic ABC

Bi 10

Cho zA   1 2 ; i zB   3 4 i Tìm số thực z sao cho: z  z A  z  z B nhỏ nhất

Nhận xt:

Bi tốn trn l phức hĩa của bi toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; 2); B(3; 4); Tìm tọa độ diểm M thuộc trục Ox sao cho MA + MB có độ dài nhỏ nhất

2

-2

-4

DB: (x+0.79) 2 +(y+0.93) 2 = 2.94 2

B: (2.00, 0.00) C: (-3.00, 1.00)

A: (-1.00, 2.00)

B

2

-2

5

B: (3.00, 4.00)

A: (1.00, 2.00)

M

III BI TẬP TỰ LUYỆN:

CC BI TỐN TỔNG HỢP.

Kí hiệu: A(x; y) là điểm biểu diển số phức z A  x yi trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Cu 1:

Cho z A  1 i z; B  x 3 ;i z C yi; với x, y l hai số thực Tìm x; y sao cho:

z  z z  z  z  z

Cu 2:

Chứng minh: Các điểm biểu diễn số phức z thỏa z3 = 1 trong mặt phẳng tọa độ tạo thành các đỉnh của một tam giác đều

Cu 3:

Cho z A 2t t i d x y ; :   3 0;d x y:   4 0 Tìm

: ( ; ) 2 ( ; )

A

z sao cho d A d  d A d 

Cu 4:

Cho z A  1 2 ; :i d x y  1 0 Tìm z sao cho A; B đối xứng qua d B :

Cu 5:

Cho z A 1;z B 4;z C m i , m l số thực Tìm m sao cho tam gic GAB vuơng tại G; với G l trọng tm tam gic ABC

Cu 6:

Cho z A  1 i z; B  4 3 ;i z C 2m 1 m i , m l số thực Tìm m : d(C; AB) = 6

Cu 7:

Cho z A 2 ;i z B  3 i

a) Tìm z sao cho z z:  A  z z B  z

b) Tìm trực tm của tam gic OAB

Cu 8:

Cho z A cost 2 sin ; i t z B cost - 2 sin ;i t z C 2 , t l số thực Tìm

t sao cho z  z  z  z

Cu 9:

Cho z A  1 i 2  z A 2 2; z B  2 i 2  z B 2 7; z z C; D l hai số thực Tìm

; ; ;

z z z z sao cho A; B; C; D l 4 đỉnh của một hình vuơng.

CC BI TỐN TÌM QUĨ TÍCH TRONG MẶT PHẲNG PHỨC.

Cu 1:

Hy biểu diễn hình học của tập hợp cc điểm phức z thoả mn điều kiện:

1/ |z i  | |z 1| 2/ |z  2 | 2

3/ |z1| | z 1| 4 4/ |z 2 | | z2 | 3

Nu ý nghĩa hình học của mỗi hệ thức trn

Cu 2:

Hy biểu diễn hình học của tập hợp cc điểm phức: w z 2 trong các trường hợp sau: 1/ z 1 yi 2/ z x i 

3/ z x yi  , x y 1 4/ | | 2z  , 0 arg z 

Cu 3:

Hy biểu diễn hình học của tập hợp cc điểm phức 1

w

z

 trong các trường hợp sau: 1/ | | 1z  2/ z x yi   ,0   x 1

3/ 0 arg

4

Cu 4:

Hy biểu diễn hình học tập hợp cc điểm phức trong các trường hợp sau:

1/ 1

w

1

z z





 với | | 1z 

2/ w z i

z i





 với | | 1z  .

3/ w z i

z



 với z x yi  với y 1

4/ 1

w

2

z

z





 với 1 | | 2 z 

5/ w z i

z i





 với | | 1z  v | z   1| 2.

Cu 5:

Tìm cc tập điểm biểu diễn số phức z thoả mn điều kiện:

1/ Mơdun bằng 2

2/ argz bằng

6



Cu 6:

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mn từng điều kiện sau:

1/ Một acgumen của z   1 2  i  bằng

6



2/ Một acgumen của z i bằng một acgumen của z  1

Cu 7:

Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho 2

2

z z



 cĩ một acgumen bằng

3



.

Cu 8:

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z ( 2 – 5.i) thoả mn

từng điều kiện sau:

1/ |z  1| 1 2/ | z i | 1

z i







Cu 9:

Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z + 2 – 3i thoả mn:

1/ z2 l số ảo 2/ | | | z   z 3 4 |  i

Cu 10;

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z x yi  vơi x y R,  thì thoả mn điều kiện: 1/ | | | | 1 x  y 

2/ 21

2

y x









Cu 11:

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn cc số phức i.z thoả mn một trong cc điều kiện sau:

1/ | z z   3| 4 

2/ | z z    1 i | 2 

3/ 2 | z i  | |   z z  2 | i

4/ | z2    z 2| 4 

5/ |z  1 i| 2

6/ | 2z| | i z|

7/ | 2z| | z 2 |

8/ |z 4 | |i  z4 | 10i 

9/ 1 |  z 1 i| 2

Cu 12:

Cho số phức z m    m  3 ,  i m R 

1/ Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x

2/ Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đưịng hypebol: 2

y x



3/ Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất

Cu 13 (Đề thi Đại học 2009D):

Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mn điều kiện:

(3 4 ) 2

Cu 14:

Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cc số phức sau:

4i/(i + 1); (1- i)(1 + 2i); (2 + 6i)/(3 – i) a) Chứng minh ABC l tam gic vuơng cn

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuơng

PHẦN III: KẾT LUẬN

Chúng ta đ biết rằng khơng cĩ một “chìa khoá” vạn năng nào có thể mở được tất cả các kho tng tri thức của nhn loại, phương pháp dùng chương số phức để ôn tập h́nh học phẳng cũng vậy, nhưng nếu biết vận dụng nó một cách hợp lư sẽ mang lại hiệu quả trong giảng dạy

Từ thực tế giảng dạy thu được kết quả khả quan tôi đ mạnh dạn viết nn đề tài này Theo tôi đề tài có tác dụng:

- Thể hiện mối quan hệ gần gũi giữa hình giải tích phẳng v số phức

- Giải quyết được tâm lí sợ khó khi ơn tập lại những kiến thức h́nh giải tích phẳng

- Gây được cho học sinh hứng thú và sự tự tin khi làm bài và đối với rất nhiều bài toán có thể giải quyết một cách dễ dàng hơn

- Bản thân cũng như đồng nghiệp, học sinh có thể dùng đề tài này làm tài liệu để ôn luyện cho học sinh 12

Đề tài này có nhiều vấn đề cần phải được bổ cứu, mong các bạn đọc, đồng nghiệp góp ý, v

cĩ gì sai sĩt mong cc bạn lượng thứ

Xin chn thnh cảm ơn!