Giáo trình hình học Giải tích không gian

Giáo trình hình học Giải tích không gian. Tọa độ điểm trong không gian Trong không gian, mỗi điểm M tương ứng với duy nhất bộ ba số (x; y; z) và bộ ba số đó được gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M(x; y; z) hoặc M = (x; y; z) Cho hai điểm M1(x1; y1; x1) và M2(x2; y2; z2). Kí hiệu I là trung điểm của MN thì tọa độ (x; y; z) của I được xác định bởi công thức

Phần 1

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN

Chương 1 PHÉP TÍNH TOA DO TRONG KHONG GIAN

1 TOM TAT Li THUYET

Toa độ điểm trong không gian

s Trong không gian, mỗi điểm M tương ứng với duy nhất bộ ba số (x ; ÿ ; Z)

và bộ ba số đó được gọi là toạ độ của điểm M, kí hiệu là

s Cho tứ điện ABCD Điểm G gọi là trọng tâm của tứ diện khi và chỉ khi

Vecto trong khong gian

* Trong khong gian cho vecto MN với

M = (x, 3 y1 3.21); N= (X23 yo 3-22) thi MN = (Xa ~ XI; Y2T— Y4; Z2 —Z1),

* Ta hay kí hiệu vectơ bởi các chữ cái ủ, Ở, W,

s Các phép tính về vectơ trong không gian cũng tương tự như các phép tính

về vectơ trong mặt phẳng toa độ

* Giả sử t =(uạ; u2;uạ); Ý = (Vị; Vạ ; vạ) Khi đó ta có

Mử = (Auy ; Aug; Au3), Oday Ae R

© Do dai {al của vectơ ứ(uy ; u¿ ; uạ) được xác định như sau :

[al = fu? + u3 + uy

© Cho hai vecto u, ở Tích vô hướng của hai vectơ ti, là một số thực, kí hiệu là u.V và nó được xác định như sau :

uv = li] -M cos (ii, ¥),

e Biểu thức giải tích của tích vô hướng :

Giảsử — ử =(u¡,u;,uy); V =(Vị, vạ, V3) Khi dé

S UV) + UV? + U3V3 = 0

Tích có hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ U = (uy, Uy, uạ)

<! = (VỊ, Vạ, V3)

Tích có hướng của ủ, V là một vectơ, kí hiệu là [d,V] và nó được xác định

bằng công thức sau đây

ea.)

Tích có hướng của hai vectơ t và Ý có các tính chất cơ bản sau :

ủ2 3 V2 V3

U3 Uy) [UỊ 2

> >

v3 Vị Vị v2

1) |[ú ¥]] = lal sina, ý)

2) [u,¥] = 6 <> i, ¥ là hai vectơ cùng phương

3) Vectơ [1,V] vuông góc với hai vectơ ử, Ÿ, đo đó [l,ÿ].ử = [,v].v =0

Áp dụng tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ ta có các kết quả sau :

1) Ba vectơ ủ, ŸỞ, w đồng phẳng (tức là ba phương của ba vectơ này nằm trên ba mặt phẳng song song) khi và chỉ khi [8v] ,W = 0 (ta thường gọi

[ũ,v] # là tích hỗn tạp của ba vectơ khác nhau)

c

2) Diện tích của hình bình hành ABCD là

Sxncp = [^s.^5],

A D

3) Thể tích hình hộp ABCD.A'BCTD là

VABCD.A'BCD' = [^E AD |.AA\,

4) Cho hình tứ diện ABCD

6 đây d(AB, CD) là khoảng cách giữa

hai đường chéo nhau AB và CD

CHỈ DẪN VỀ LỊCH SỬ

Michel Chasles (Sáclơ) (1793 — 1880)

là nhà toán học người Pháp Ông là một nhà

hình học tổng hợp nổi tiếng Công trình

chính của ông "Khái quát về lịch sử nguồn

gốc và sự phát triển các phương pháp trong

hình học” cho đến nay vẫn còn là một công

Các bài toán cơ bản sử dung phép tính vectơ trong không gian

Thí dụ 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A — 2004)

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ Biết A(2 ; 0; 0); B(0; 1; 0), 50;0; 242) Gọi M là trung điểm của cạnh SC

1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thắng SA, BM

2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N Tính thể tích khối

chóp S.ABMN

Giải

1) Do ABCD là hình thoi có tâm là O

nên từ giả thiết ta có

2 Xét cách giải khác sau đây

Thí dụ 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A — 2003)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BCTD'

có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a ; 0 ; 0), D(O; a ; 0), A'0; 0; b) (a>0,b >0) Gọi M là trung điểm của CC

1) Tìm thể tích khối tứ điện BDA'M theo a, b

2) Xác định tỉ số 5 để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc

với nhau.

Giải

1) Từ giả thiết ta có : C(a ; a; 0); C(a; a; b), D(0; a; b), B(a ; 0; b)

Vì M là trung điểm của CC, nên M = [a 3a; 3):

O bl lb —al j-a 0

x

= (ab, ab, a’)

Vay Vapam= 2 BD.BA"] Bia] = a2) 4 <0) 4Ÿ YRDAM 6 › s 5 mà

2) Gọi K là trung điểm của BD Do A'B = AD > A'K 1 BD

Lại có MB = MD = MK L BD Vậy A'KM =90°

Thi du 3 (Dé thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D — 2004)

Trong không gian với hệ toạ dộ Oxyz cho hình lăng trục đứng ABC.A;B,C; Biét A(a ; 0; 0), B(-a; 0; 0), C(O; 1; 0), By(-a; 0; b) voi a> 0, b>0

1) Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng B¡C và AC) theo a, b

2) Cho a, b thay đối nhưng luôn thoả mãn a + b = 4 Tìm a, b để khoảng cách giữa BỊC và AC) là lớn nhất Zz

Giải

1) Do ABC.A,B,C, 1a lang tru diing,

nên ta có ngay Ai =(a;0; b)

C, =(0; 15; b)

Theo công thức tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng ta có

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa BỊC, AC) là x2 Giá trị này đạt

được khi và chỉ khi a = b= 2

Thí dụ 4 (Đề thì tuyển sinh Đại học, Cao đẳng — khối A 2006)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A'BCTD' với A(0;0;0); B(1;0;0),D(0; 1;0), A(0;0; 1) Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của AB và CD

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN

Mặt phẳng (A'5C) chứa A'C và song song song với MN, nên

d(A'C, MN) = d(MN, (A'BC)) = d(M, (A'BC))

13

Ta có AB'LA'B (hiển nhiên vì

ABBA' là hình vuông)

Do BC 1 (BAA'B') = BC L AB

Vậy AB L (A'BC), nên AH L (ABC

và AH là khoảng cách từ A tới (A'BC),

Ở đây thuần tuý dùng phương pháp hình học tổng hợp (phương pháp hình

Thí dụ 5 (Đề thi tuyén sinh Dai hoc, Cao dang khoi B — 2002)

Cho hình lập phuong ABCD.A,B,C,D, cé canh bang a

1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A;B, và BỊD

2) Gọi M, N, P lần lượt là trụng điểm của các cạnh B¡B, CD, A¡D¡:

Tính góc giữa hai đường thẳng MP và CN

A, =(0;0; a), B, =(a;0; a), / men >p—> ‘los SS

C, = (a; a; a), D, =(0; a; a) ad y L) Ta có B c

Dễ thấy AB =(a;0;-a); BỊD =(~a; a; ~a)

BD = (-a; a; 0)

——_—— [xi] =| 0 -al la —al |~a —al |-a al AI |— 42 | 0

= (a? ; 2a”: a’), Thay vào (1) và có

Vay géc gitta hai duéng thing MP va C,N bang 90°, vì hai đường thẳng

này vuông góc với nhau

Nhận xét Xét cách giải khác của thí dụ trên

Bình luận Các bạn hãy so sánh hai cách giải trên !

16

Thí dụ 6 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D — 2008)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'EBC' đáy là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA'= a2 Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách giữa hai đường thang AM và ĐC

= [AM, B'C]|= a? ae pera Set (2)

Lại có LAM, B'C].AB' (ở đây AB'= (0; -—a;av2))

Thay (2) và (3) vào (1) và có d(AM, B'C) = sứ,

Nhận xét : Xét cách giải khác thuần tuý hình học không gian như sau :

Gọi E là trung điểm của BB', ta có EM // BC A c

Ta thu lại kết quả trên

Bình luận : Về tính hiệu quả của các phương pháp, xin dành cho bạn đọc

Thi du 7 (Đề thi tốt nghiệp THPT — 2003)

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D trong đó

A=(2;4;-—1); OB=Ï+4j-K;C=(2;4;3); OD=2Ï+2j~kK,

1) Chứng minh AB L ÁC, AC L AD, AD L AB

2) Tìm thể tích tứ diện ABCD

Vapcp = —|-8| = — (dvtt) ABCD sl | 3 (dvtt)

Chú ý

1) Vi AB, AC, AD d6éi một vuông góc nên BA 1 (ACD)

Khi đó BA chính là đường cao của hình chop B.ACD A

Đó là cách giải khác cho câu 2): ral

2) Nếu bài toán đòi hỏi thêm : Tính chiều cao kể từ A của tứ điện ABCD

Ta lam như sau :

Bài toán này tương đương với bài toán dạng sau :

Cho bốn điểm A(1 ; 0; 0); B(0; 1; 0), CO; 0; —1), D(-2 ; 1; —1) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn nịh của một tứ diện

A, B,C, D là bốn đỉnh của tứ diện ©> ba vectơ AB, AC, AD không

đồng phẳng :

Lam tuong tự như trên ta có

[ AB ac | AD =1#0> đpcm

20

Tim toa độ của đỉnh D; sao cho hai tứ dién ABCD, A,B,C,D, có cùng trọng tâm

Giải

Giả sử Dị = (XI ; yị ; Z4) Gọi G và G¡ lần lượt là trọng tâm của tứ điện

ABCD và A¡BiC¡D¡ Theo công thức tìm trọng tâm của tứ diện ta có :

<= G=Gy,, 6 day G, 14 trong tam cia ti dién A,B, C,Dj

Ap dung (1) có thể giải lại bài tập trên như sau :

Giả sử Dị =(XỊI;Yy¡; Z4)

Ta có

AAi =(1;0;~2); BBỊ =(-4; 3; -8) ;

CC, = (932; ~3); DD, =(x; -2:y,-1:2;-7)

_ Hai tit dién ABCD vi A,B,C,D, c6 cùng trọng tâm khi và chỉ khi (1) thoả mãn, tức là khi và chỉ khi ta có

1) Chứng minh ABCD là một tứ diện

2) Xác định toạ độ điểm M trong không gian để cho đại lượng

Vậy [ AB, AC |.AD = -8 # 0, suy ra AB, AC, AD 1a ba vectơ khong đồng phẳng, tức là ABCD là tứ điện ˆ

2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, tức là điểm thoả mãn hệ thức

Từ (1) suy ra đại lượng MA” + MBÊ + MC? + MDỶ nhận giá trị bé nhất khi

Chú ý Từ thí dụ trên ta suy ra kết quả sau :

Cho tứ diện ABCD Với mọi điểm M trong không gian, ta có

MA’ + MB’ + MC? + MD’ = GA? + GB? + GC? + GD? + 4MG3,

ở đây G là trọng tâm của tứ điện ABCD

Kết quả này thường gọi là "hệ thức Lepnhit" trong không gian

Nó giống như "hệ thức Lepnhit" trong hình học phẳng đã biết :

Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Khi đó với mọi điểm M trong mặt

phẳng, ta có hệ thức MA” + MB + MC” = GA? + GB + GC? + 3MG?, ở dây

G là trọng tâm của tam giác ABC

CHi DAN VE LICH SỬ

Leibniz G.W sinh 6 Leipzig nam 1646 1a nha

toán học thiên tài người Đức Ông cùng với

Newton I (nhà toán học, vật lí người Anh) phát

minh ra phép tính tích phân

Các từ toạ độ, hoành độ, tung độ dùng trong

hình học giải tích ngày nay là do Leibniz đóng góp

Học sinh phố thông quen biết đến ông qua

công thức kinh điển Newton-Leibniz khi học về LeibnizG.W

24