NGUYỄN HỒNG ĐIỆP Hình học tọa độ trong không gian A B C a uv F 16 tháng 05, 2014 3 rd −L A T E X−2014 02 HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Copyright c 2014 by Nguyễn Hồng Điệp Phần I Hình học 3 Chương 1 Phương pháp tọa độ trong không gian A. Vectơtrongkhônggian Trong không gian cho các vectơ −→ u 1 =  x 1 , y 1 , z 1  , −→ u 2 =  x 2 , y 2 , z 2  và số k tùy ý • −→ u 1 = −→ u 2 ⇔    x 1 = x 2 y 1 = y 2 z 1 = z 2 • −→ u 1 ± −→ u 2 =  x 1 ± x 2 , y 1 ± y 2 , z 1 ± z 2  • k −→ u 1 =  k x 1 , k y 1 , kz 1  • Tích có hướng: −→ u 1 . −→ u 2 = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2 Hai vectơ vuông góc nhau ⇔ −→ u 1 . −→ u 2 = 0 ⇔ x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2 = 0 •   −→ u 1   =  x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 • Gọi ϕ là góc hợp bởi hai vectơ  0 ◦  ϕ  180 ◦  cos ϕ = cos  −→ u 1 , −→ u 2  = −→ u 1 . −→ u 2   −→ u 1   .   −→ u 2   = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2  x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 .  x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 • −→ AB =  x B − x A , y B − y A , z B − z A  AB =  ( x B − x A ) 2 +  y B − y A  2 + ( z B − z A ) 2 • Tọa độ các điểm đặc biệt:  Tọa độ trung điểm I của AB : I  x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2   Tọa độ trọng tâm G của tam giác AB C : G  x A + x B + x C 3 , y A + y B + y C 3 , z A + z B + z C 3   Tọa độ trọng tâm G của tứ diện AB C D : G  x A + x B + x C + x D 4 , y A + y B + y C + y D 4 , z A + z B + z C + z D 4  • Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cả hai vectơ xác định bởi −→ u =  −→ u 1 , −→ u 2  =      y 1 z 1 y 2 z 2     ,     z 1 x 1 z 2 x 2     ,     x 1 z 1 x 2 z 2      • Một số tính chất của tích có hướng  −→ a và −→ b cùng phương ⇔  −→ a , −→ b  = −→ 0 A, B,C thẳng hàng ⇔  −→ AB , −→ AC  = −→ 0  Ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng ⇔  −→ a , −→ b  . −→ c = 0 Bốn điểm A,B, C ,D không đồng phẳng ⇔  −→ AB , −→ AC  . −→ AD = −→ 0 5 6 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN      −→ a , −→ b     =   −→ a   .    −→ b    . sin  −→ a , −→ b  • Các ứng dụng của tích có hướng  Diện tích hình bình hành: S AB C D =     −→ AB , −→ AD      Diện tích tam giác: S AB C = 1 2     −→ AB , −→ AC      Thể tích khối hộp: V AB C D .A  B  C  D  =     −→ AB , −→ AD  . −→ AA      Thể tích tứ diện: V AB C D = 1 6     −→ AB , −→ AC  . −→ AD    B. Phương trình mặt phẳng • Phương trình tổng quát ( α ) : a x + b y + c z + d = 0 với (a 2 + b 2 + c 2 = 0). • Phương trình mặt phẳng ( α ) qua M  x 0 , y 0 , z 0  và có vectơ pháp tuyến −→ n = (a, b, c ) ( α ) : a ( x − x 0 ) + b  y − y 0  + c ( z − z 0 ) = 0 • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: ( α ) qua A(a ,0, 0); B (0, b, 0); C (0, 0, c ) ( α ) : x − x 0 a + y − y 0 b + z − z 0 c = 1, với a , b , c = 0 • Nếu −→ n = (a , b, c ) là vectơ pháp tuyến của ( α ) thì k −→ n ,k = 0 cũng là vectơ pháp tuyến của ( α ) . Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Trong một số trường hợp ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể cho a (hoặc b hoặc c ) và tính hai giá trị còn lại đảm bảo đúng tỉ lệ a : b : c . C. Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho ( α ) : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 và  β  : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 • ( α ) cắt  β  ⇔ a 1 : b 1 : c 1 = a 2 : b 2 : c 2 • ( α ) song song  β  ⇔ a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = d 1 d 2 • ( α ) trùng  β  ⇔ a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = d 1 d 2 • ( α ) vuông góc  β  ⇔ a 1 a 2 + b 2 b 2 + c 1 c 2 = 0 D. Phương trình đường thẳng Cho đường thẳng d qua M 0  x 0 , y 0 , z 0  và có vectơ chỉ phương là −→ u = (a , b , c ). Khi đó: • Phương trình tham số của d 7 d :    x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t • Phương trình chính tắc của d (khi a b c = 0) d : x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c E. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Đường thẳng d 1 qua M 1 và có vectơ chỉ phương là −→ u 1 , d 2 qua M 2 và có vectơ chỉ phương là −→ u 2 thì: • d 1 trùng d 2 ⇔  −→ u 1 , −→ u 2  =  −→ u 1 , −−−→ M 1 M 2  = −→ 0 • d 1 song song d 2 ⇔       −→ u 1 , −→ u 2  = −→ 0  −→ u 1 , −−−→ M 1 M 2  = −→ 0 • d 1 và d 2 cắt nhau ⇔     −→ u 1 , −→ u 2  . −−−→ M 1 M 2 = 0  −→ u 1 , −→ u 2  = −→ 0 • d 1 và d 2 chéo nhau ⇔  −→ u 1 , −→ u 2  . −−−→ M 1 M 2 = 0 F. Góc • Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( α ) có vectơ pháp tuyến là −→ n α , mặt phẳng  β  có vectơ pháp tuyến −→ n β , khi đó góc giữa ( α ) và  β  được tính bằng cos  ( α ) ,  β  =   cos  −→ n α , −→ n β    =   −→ n α . −→ n β     −→ n α   .   −→ n β   • Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có các vectơ chỉ phương là −→ u 1 và −→ u 2 , khi đó góc giữa d 1 và d 2 tính bằng cos ( d 1 , d 2 ) =   cos  −→ u 2 , −→ u 2    =   −→ u 1 . −→ u 2     −→ u 1   .   −→ u 2   • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là −→ u , mặt phẳng ( α ) có vectơ pháp tuyến là −→ n , khi đó góc giữa d và ( α ) là ϕ được tính bằng sin ϕ =   −→ u . −→ n     −→ u   .   −→ n   G. Khoảng cách • Khoảng cách từ điểm A  x 0 , y 0 , z 0  tới ( α ) : a x + b y + c z + d = 0 là d ( A, ( α )) =   a x 0 + b y 0 + c z 0 + d    a 2 + b 2 + c 2 8 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN • Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua M 0 và có vectơ chỉ phương −→ u là d (A,∆) =     −−−→ M M 0 , −→ u       −→ u   • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ 1 và ∆ 2 biết ∆ 1 qua M 1 và có vectơ chỉ phương −→ u 1 ; ∆ 2 qua M 2 và có vectơ chỉ phương −→ u 2 d ( ∆ 1 , ∆ 2 ) =     −→ u 1 , −→ u 2  . −−−→ M 1 M 2       −→ u 1 , −→ u 2    • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( α ) và  β  song song nhau là khoảng cách từ M 0 ∈ ( α ) tới  β  . • Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 song song nhau là khoảng cách từ M 1 ∈ ∆ 1 tới ∆ 2 . • Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) song song nhau là khoảng cách từ điểm M 0 ∈ d tới ( α ) . H. Phương trình mặt cầu • Mặt cầu tâm I (a , b, c ), bán kính R có phương trình (S) : (x −a ) 2 + (y − b ) 2 + (z − c ) 2 = R 2 • Phương trình x 2 + y 2 + z 2 −2a x −2b y −2c z +d = 0 có a 2 + b 2 + c 2 > d là phương trình mặt cầu với tâm I (a , b , c ) bán kính R =  a 2 + b 2 + c 2 −d . I. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho ( α ) và S(I , R), khi đó nếu • d (I , ( α ) ) > R : mặt phẳng không cắt mặt cầu. • d (I , ( α ) ) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi đó mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của mặt cầu. Tọa độ tiếp điểm M 0 là tọa độ hình chiếu vuông góc của I xuống ( α ) . • d (I , ( α ) ) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn C (I  , r ), còn gọi là đường tròn giao tuyến, khi đó  Tâm I  là tọa độ hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng ( α )  Bán kính r =  R 2 − I I 2 . 1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( α ) 9 J. Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu Cho đường thẳng d :    x = x 0 + t a 1 y = y 0 + t a 2 z = z 0 + t a 3 và mặt cầu (S) : (x − a ) 2 + (y − b ) 2 + (z − c ) 2 = R 2 . Xét vị trí tương đối của d và (S) ta dùng một trong hai cách: 1. Lập phương trình giao điểm (phương trình (∗)) của d và (S), bằng cách lấy x , y , z từ phương trình đường thẳng thay vào phương trình (S) và giải phương trình theo ẩn t • Phương trình (∗) vô nghiệm: d và (S) không có điểm chung. • Phương trình (∗) có 1 nghiệm: d tiếp xúc với (S). • Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt. 2. So sánh khoảng cách d ( I , d ) và R • d ( I , d ) > R: d và (S) không có điểm chung. • d ( I , d ) = R: d tiếp xúc với (S). • d ( I , d ) < R: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt. Khi cần tìm chính xác tọa độ giao điểm d và (S) ta dùng cách thứ 1. K. Vị trí tương đối hai mặt cầu Cho hai mặt cầu S 1 ( I 1 , R 1 ) và S 2 ( I 2 , R 2 ) • I 1 I 2 < |R 1 −R 2 | ⇔ ( S 1 ) , ( S 2 ) trong nhau. • I 1 I 2 > |R 1 −R 2 | ⇔ ( S 1 ) , ( S 2 ) ngoài nhau. • I 1 I 2 = |R 1 −R 2 | ⇔ ( S 1 ) , ( S 2 ) tiếp xúc trong. • I 1 I 2 = R 1 + R 2 ⇔ ( S 1 ) , ( S 2 ) tiếp xúc ngoài. • |R 1 −R 2 | < I 1 I 2 < R 1 + R 2 ⇔ ( S 1 ) , ( S 2 ) cắt nhau theo một đường tròn. 1.1 Viếtphương trình mặt phẳng ( α ) Viết phương trình mặt phẳng (α) ta cần biết một vectơ pháp tuyến −→ n và một điểm M ∈ (α) 1 Dạng 1 Viết phương trình mp ( α ) khi biết vectơ pháp tuyến −→ n = ( a , b, c ) và điểm M  x 0 , y 0 , z 0  ∈ (α). ( α ) : a ( x − x 0 ) + b  y − y 0  + c ( z − z 0 ) = 0  Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB 1. Tìm tọa độ I là trung điểm của AB , tính −→ AB . 2. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua I và có vectơ pháp tuyến là −→ n = −→ AB . 10 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A α d I B  Viết phương trình mặt phẳng qua M và song song  β  : a x + b y + c z + d = 0 . 1. Do ( α ) song song  β  nên vectơ pháp tuyến của ( α ) là −→ n = ( a , b, c ) . 2. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) .  Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M và vuông góc với đường thẳng d có vectơ chỉ phương −→ u = ( a , b, c ) 1. Do ( α ) song song  β  nên vectơ pháp tuyến của ( α ) là −→ n = ( a , b, c ) . 2. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) . 2 Dạng 2 Viết phương trình mặt phẳng khi biết M ∈ (α) và cặp vectơ chỉ phương −→ a , −→ b . 1. Vectơ pháp tuyến của (α) là −→ n =  −→ a , −→ b  2. Viết phương trình mặt phẳng (α). Bài toán thường gặp của dạng này “Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B, C”. 1. Ta lập 2 vectơ từ 3 điểm: −→ AB , −→ AC 2. Vectơ pháp tuyến của (ABC ) là −→ n =  −→ a , −→ b  3. Viết phương trình mặt phẳng ( AB C ) . A B C 3 Dạng 3 Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng chéo nhau 1. Tìm −→ a , −→ b là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó. 2. Vectơ pháp tuyến của ( α ) là −→ n =  −→ a , −→ b  . 3. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) . [...]... (α) 18 15 Dạng 18 Viết phương trình mặt phẳng qua A, B , C là tọa độ hình chiếu của D (a , b , c ) xuống các trục tọa độ 1 Tọa độ hình chiếu của D xuống các trục tọa độ là A(a , 0, 0); B (0, b , 0); C (0, 0, c ) 2 Viết phương trình mặt phẳng 19 Dạng 19 Viết phương trình mặt phẳng qua A, B , C là tọa độ hình chiếu của D (a , b , c ) xuống các mặt phẳng tọa độ 1 Tọa độ hình chiếu của D xuống các mặt phẳng... trước Loại bài toán này tương tự dạng viết phương trình mặt phẳng qua d có phương trình cho trước β Dựa vào hệ phương trình cho x (hoặc y hoặc z ) hai giá trị cụ thể để xác định hai điểm A, B trên γ d Khi đó bài toán quay về các dạng đã biết Cách 1 Cách 2 10 Dùng phương trình chùm mặt phẳng Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với β và γ − − → → 1 Tìm nβ , nγ là các vectơ pháp tuyến... được các ẩn còn lại, lưu ý điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 0 8 Viết phương trình mặt phẳng 1.2 1 Các bài toán khác về mặt phẳng Dạng 1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M xuống mặt phẳng (α) Cách 1: 1 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (α) 2 Khi đó H là tọa độ giao điểm d và (α) Cách 2: tọa độ điểm H được xác định bởi: 1 H thuộc (α) −−→ − → 2 M H và nα cùng phương nhau 2 Dạng. .. d α 1.4 1 Các bài toán khác về đường thẳng Dạng 1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống đường thẳng d Cách 1: 1 Gọi H là tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d , do H thuộc d ta tìm tọa độ H theo tham số của d −→ − → 2 Ta có AH u d = 0, từ đó tìm được tọa độ H Cách 2: 1 Gọi (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (α) 2 Gọi H là tọa độ hình chiếu... điểm của d và (α) Tìm tọa độ H 30 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN d A H α Bài toán có thể phát biểu dưới dạng khác "Tìm H thuộc d sao cho khoảng cách AH là bé nhất, với A là điểm nằm ngoài d" Khi đó H cần tìm là tọa độ hình chiếu của A lên d 2 Dạng 2 Tìm tọa độ đối xứng của điểm A qua đường thẳng d 1 Tìm H là tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d 2 Gọi A là điểm đối xứng... cầu bài toán A P M N S D B R Q C 18 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Lưu ý • Mặt phẳng cách đều A, B: là mặt phẳng qua trung điểm I của AB khi đó d (A, (α)) = d (B , (α)) L A I α B • Mặt phẳng trung trực: là mặt phẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc AB Mặt phẳng trung trực là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút A, B tức là M A = M B với M là điểm bất kì thuộc (α) A I α B d 25 Dạng. .. TRONG KHÔNG GIAN Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng qua giao tuyến của (α) và β (α) Ta có : d: (1) β Cách 1: Trong hệ (1) cho x = t (hoặc y = t , hoặc z = t ) và giải tìm 2 ẩn còn lại theo t Khi đó ta được phương trình tham số của d Cách 2: Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tìm vectơ chỉ phương của d rồi viết phương trình 1 Tìm tọa độ A thuộc d : trong hệ (1) cho x , y , z một giá trị cụ thể và giải. .. A 3 H A Dạng 3 Trong không gian O x y z cho hai điểm A, B và đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M A 2 + M B 2 nhận giá trị bé nhất 1 Do M thuộc đường thẳng d nên ta có được tọa độ điểm M theo tham số t của d 2 Ta tính M A 2 + M B 2 và tìm được hàm f (t ), từ đó tìm giá trị lớn nhất của f (t ) 4 Dạng 4 Trong không gian O x y z cho điểm A và hai đường thẳng d 1 , d 2 Tìm tọa độ các điểm... biết H là trực tâm tam giác AB C Cách 1: 1 Gọi giao điểm của (α) với các trục tọa độ là A(a , 0, 0); B (0, b , 0); C (0, 0, c ) − → −→ − −→ −→ − → −→ − 2 Do H là trực tâm tam giác AB C nên ta có: H A.B C = 0, H B AC = 0, H C AB = 0 Từ đó ta được 3 phương trình và giải tìm được a , b , c 3 Viết phương trình mặt phẳng A H B C 16 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Cách 2: 1 Chứng minh O H ⊥ (AB... phương trình β 4 Khi đó đường thẳng d là giao tuyến của (α) và β 6 Dạng 6 Viết phương trình đường thẳng qua M , vuông góc và cắt ∆ 26 CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Cách 1: 1 Gọi H là tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng ∆ 2 Khi đó đường thẳng d là đường thẳng qua M , H Viết phương trình đường thẳng d ∆ d M H Cách 2: Dùng giao tuyến 2 mặt phẳng 1 Viết phương trình mặt phẳng