phương trình đường thẳng và mặt phẳng

Chương 2Tọa độ và Ứng dụng Mục đích của chương này là thiết lập biểu thức tọa độ cũng như phương trình của các đối tượng tronghình học thuần túy như: điểm, véctơ, đường thẳng, mặt phẳng,

Chương 1

1

Chương 2

Tọa độ và Ứng dụng

Mục đích của chương này là thiết lập biểu thức tọa độ cũng như phương trình của các đối tượng tronghình học thuần túy như: điểm, véctơ, đường thẳng, mặt phẳng, và các đại lượng liên quan như khoảngcách, góc, , cũng như các quan hệ song song, quan hệ vuông góc, Do đó chúng tôi xem bạn đọc

đã nắm được các tính chất hình học cũng như mối quan hệ giữa các đối tượng này

Để xác định vị trí của một đại lượng (điểm, véctơ, ) trong mặt phẳng hay trong không gian, người tathường dùng hệ trục tọa độ Tuy nhiên, với một hệ trục tọa độ tùy ý, ta không thể nghiên cứu đầy đủcác tính chất của các đối tượng hình học Trong giáo trình hình này chúng ta chỉ quan tâm đến hệ tọa độDescartes vuông góc Hệ trục tọa độ này không những giúp ta nghiên cứu đầy đủ các tính chất nói trênđây mà còn làm cho việc tính toán được dễ dàng hơn

2.1.1 Hệ trục tọa độ Descartes vuông góc

theo góc quay nhỏ nhất là ngược (t ư., cùng) kim đồng hồ

Hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian gồm ba đường thẳng có hướng x0Ox, y0Oy và z0Ozđôi một vuông góc nhau Điểm O gọi là gốc tọa độ Các đường thẳng x0Ox, y0Oy, z0Oz gọi là các trục

tọa độ, trong đó x0Ox gọi là trục hoành và y0Oy gọi là trục tung và z0Oz gọi là trục cao XXXX Trên

mỗi trục chọn các véctơ đơn vị−−→

2.1.2 Tọa độ của điểm

Tọa độ điểm trong mặt phẳng

Tọa độ điểm trong không gian

2.1.3 Tọa độ của véctơ

Tọa độ véctơ trong mặt phẳng

Tọa độ véctơ trong không gian

2.1.4 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng

Xét hệ trục tọa độ Oxy Cho −→a = (a

1, a2), −→

b = (b, 1, b2) Gọi ϕ là góc giữ hai véctơ trên Khi đó

• Biểu thức tọa độ của tíc vô hướng:

• Công thức tính độ dài véctơ:

• Công thức tính góc giữa hai véctơ:

Trong không gian

Xét hệ trục tọa độ Oxyz Cho −→a = (a

1, a2, a3), −→

b = (b, 1, b2, b3) Gọi ϕ là góc giữ hai véctơ trên Khiđó

• Biểu thức tọa độ của tíc vô hướng:

• Công thức tính độ dài véctơ:

• Công thức tính góc giữa hai véctơ:

Một số bài toán đơn giản

- Tính khoảng cách hai điểm A, B trong mặt phẳng và trong không gian

- Bài toán tìm điểm chia doạn thẳng theo tỉ lệ cho trước: M chia đoạn AB theo tỉ số k nếu−−→

M A =

k−−→

M B

2.1.5 Biểu thức tọa độ của tích có hướng

Xét hệ trục tọa độ Oxyz với ba véctơ đơn vị trên Ox, Oy, Oz lần lượt là −→e

2.1.6 Biểu thức tọa độ của tích hỗn tạp

Xét hệ trục tọa độ Oxyz với ba véctơ đơn vị trên Ox, Oy, Oz lần lượt là −→e

1, c2, c3) Khi đó(−→a ,−→b , −→c ) = (−→a ∧−→b )−→c = (a

1−→e

1 + a2−→e

2 + a3−→e

3) ∧ ( .) =

2.2 ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG TRONG MẶT PHẲNG 5

Trong mặt phẳng, một đường bất kỳ đều có thể xem là quỹ tích của các điểm thỏa mãn một điều kiệnnào đó Nếu trong mặt phẳng đang xét ta có một hệ trục tọa độ thì quỹ tích vừa nói trên đây thỏa mãnmột phương trình F (x) = 0 nào đó, trong đó, F là một hàm số xác định trên R2 Chẳng hạn như ví dụ

sau đây Đường tròn tâm I bán kính R là tập

Định nghĩa 1 Phương trình F (x, y) = 0 được gọi là phương trình của đường L trong mặt phẳng nếu

mọi điểm của L có tọa độ thỏa mãn đó, và ngược lại, mọi điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình trênđều thuộc L

Chú ý 1 i) Trong hình học giải tích, việc nghiên cứu các tính chất hình học của một đường có thể được

đưa về việc nghiên cứu các tính chất đại số của các phương trình tương ứng của chúng

ii) Đôi khi ta có thể biểu diễn phương trình của một đường L bằng cách biểu diễn hai biến x, y quamột biến thứ ba

Ta gọi sự biểu diễn này là phương trình tham số của đường L.

Ví dụ 1 i) Phương trình của đường tròn tâm I(a, b) bán kính R có dạng

(x − a)2+ (y − b)2 = R2.ii) Tìm đường xác định bởi phương trình√

Giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy có O trùng với một điểm mà M nằm trện đường thẳng (d), trục Ox trùngvới (d) và có hướng trúng với hướng di chuyển của đường tròn, trục Oy có phần dương nằm trong nửamặt phẳng chứa đường tròn Giả sử M (x, y) ∈ (C) Khi đó

OA = độ dàiAM_Hơn nữa,

at = OA = OK + KA = x + M B = x + a sin t

Mặt khác,

I K M

x y

A O

B t

Định nghĩa 2 Phương trình F (x, y, z) = 0 được gọi là phương trình của một mặt (S) trong không gian

với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz nếu mọi điểm của (S) có tọa độ thỏa mãn phương trình đó, vàngược lại, mọi điểm M (x, y, z) thỏa mãn phương trình này đều thuộc (S)

Ví dụ 2 Viết phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c) bán kính R.

2.3 MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 7

z

I M

2.3.2 Phương trình của đường

Ta biết rằng một đường trong không gian là giao của hai mặt Do đó phương trình của một đường trongkhông gian Oxyz có dạng

2.4 Đường thẳng trong mặt phẳng

2.4.1 Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa 3 Người ta gọi một véctơ khác không là véctơ chỉ phương của một đường thẳng nếu giá của

nó song song hoặc trùng với đường thẳng đó

Bây giờ, trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua M0(x0, y0) cho trước và nhận véctơ

Khi đó ∆ song song với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm (x0, 0)

Tương tự, nếu a2 = 0 (a1 6= 0) thì ∆ song song với Ox và cắt Oy tại điểm (0, y.)

phương trình này được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng ∆.

2.4.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Xét lại đường thẳng ∆ ngay trên đây

Định nghĩa 4 Véctơ −→n được gọi là pháp véctơ, hay véctơ pháp tuyến, của đường thẳng ∆ nếu nó vuônggóc với giá của đường thẳng ∆ Nói cách khác, −→n là pháp véctơ của ∆ khi và chỉ khi −→n ⊥ −→a

Từ đó M nằm trên đường thẳng qua M0 có phương trình tham số có dạng (2.1) với A = a2, B = −a1.

Phương trình (2.3) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M0(x0, y0) và nhận

−

→a = (a

1, a2) làm véctơ chỉ phương Rõ ràng trong trường hợp này, −→n = (a

2, −a1) = (A, B) là phápvéctơ của ∆

Nếu phương trình tổng quát (2.3)thỏa mãn A2+ B2 = 1 thì nó được gọi là phương trình pháp dạng.

Chú ý 4 Một số trường hợp đặc biệt:

i) A 6= 0 6= B, C = 0 Đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ

ii) A 6= 0 6= C, B = 0 hoặc B 6= 0 6= C, A = 0 Đường thẳng ∆ không đi qua gốc tọa độ

iii) A 6= 0, B = C = 0 Đường thẳng ∆ trùng với trục tung

iv) B 6= 0, A = C = 0 Đường thẳng ∆ trùng với trục hoành

2.4.3 Phương trình của đường thẳng đi qua một điểm với hệ số góc cho trước

Định nghĩa 5 Giả sử đường thẳng ∆ có véctơ chỉ phương −→a = (a

1, a2) với a1 6= 0 Ta gọi số thực

k = a2

a 1 là hệ số góc của ∆

Chú ý 5 i) Ta không định nghĩa hệ số góc của đường thẳng song song với trục tung.

ii) Gọi α là góc giữa véctơ chỉ phương −→a của ∆ và véctơ đơn vị −→e

1 trên Ox Khi đó hệ số góc của ∆được xác định bởi k = tan α

Bây giờ, cho đường thẳng ∆ đi qua M (x0, y0) có hệ số góc k đối với hệ tọa độ Oxy Theo định nghĩacủa hệ số góc, đặt k = a1

a 2 Khi đó, từ phương trình tham số (2.1) của ∆ ta có

2.4.4 Phương trình của đường thẳng có hệ số góc và tung độ gốc cho trước

Nếu trong phương trình (2.4), điểm M (x0, y0) là giao điểm của ∆ và trục tung thì x0 = 0, y0 = b Khi

đó phương trình (2.4) trở thành

y = kx + b

Ta gọi b là tung độ gốc.

2.4.5 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Trong hệ tọa độ Descartes Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt cho trước M (x1, y1) và

x − x1 y − y1

x2− x1 y2− y1

= 0

hay

x y 1

x1 y1 1

x2 y2 1

= 0

Hệ quả 1 Điều kiện cần và đủ để ba điểm M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) thẳng hàng là

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

= 0

2.4.6 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Cho đường thẳng ∆ cắt hai trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A(a, 0) và B(0, b) không trùngvới gốc tọa độ Khi đó theo (2.5) ta có

Ví dụ 5 Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(5, 0), B(0, −3).

Hướng dẫn Áp dụng công thức (2.6) ta được 3x − 5y − 15 = 0

2.4.7 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Định nghĩa 6 Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng ∆, ký hiệu d(M, ∆), là giá trị nhỏ nhất

từ M đến điểm N ∈ ∆ bất kỳ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình

Ax + By + C = 0

và điểm M (x0, y0) Từ M, dựng đường thẳng vuông góc với ∆ và cắt ∆ tại H(x1, y1) Khi đó d(M, ∆) =

M H Khi đó véctơ chỉ phương−−→

M H của đường thẳng M H cùng phương với pháp véctơ −→n = (A, B)của ∆ Do đó−−→

M H = t−→n Ta cót(A2 + B2) = t(−→n2

) = (t−→n )−→n =−−→M H.−→n = A(x

1− x0) + B(y1 − y0)

2.4 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 11

M H

n

x y

Hướng dẫn Áp dụng công thức (2.7) ta được d(M, ∆) = 3

ii) Lập phương trình đường phân giác của góc tù tạo nên bởi hai đường thẳng ∆1 : 3x − 4y + 12 và

∆2 : 12x + 5y − 7 = 0

Giải XXXXXX

2.4.8 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

2.4.9 Góc giữa hai đường thẳng

2.5 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 13

2.5.1 Phương trình tham số của mặt phẳng

2.5.2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2.5.3 Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước

2.5.4 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

2.5.5 Phương trình pháp dạng của mặt phẳng

2.5.6 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2.5.7 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

2.5.8 Góc giữa hai mặt phẳng

2.6 Đường thẳng trong không gian

2.6.1 Phương trình tham số

2.6.2 Phương trình của đường thẳng qua hai điểm cho trước

2.6.3 Phương trình tổng quát của đường thẳng

2.6.4 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

2.6.5 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

2.6.6 Góc giữa hai đường thẳng

2.6.7 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

d(M, ∆) =

Ã

a1 a2

x1 − x0 y1− y0

2

+

... GIAN 13

2.5.1 Phương trình tham số mặt phẳng< /b>

2.5.2 Phương trình tổng quát mặt phẳng< /b>

2.5.3 Phương trình mặt phẳng qua ba điểm cho trước...

2.5.4 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

2.5.5 Phương trình pháp dạng mặt phẳng< /b>

2.5.6 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng< /b>

2.5.7... gian

2.6.1 Phương trình tham số

2.6.2 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước

2.6.3 Phương trình tổng quát đường thẳng< /b>

2.6.4