Cho 2 đường thẳng chéo nhau d1, d2, viết phương trình 2 mặt phẳng (P) và (Q) sao cho (P) chứa d1, (Q) chứa d2 thỏa Cách giải: viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và song song với d2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 và song song với d1 . Khi đó: (do mỗi mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau song song). Các bài tập 1. Cho đường thẳng Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số và chính tắc. 2. Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đường thẳng 3. Cho 2 đường thẳng Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 4. Cho điểm M(2,-3,1) và mặt phẳng (P): x+3y-z+2=0 Tìm hình chiếu của H của M lên mặt phẳng (P). Tìm điểm đối xứng của M qua (P) 5. Tìm hình chiếu H của M(2,-1,1) lên đường thẳng 6. Cho 2 đường thẳng:
Trang 1BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau d1, d2, viết phương trình 2 mặt phẳng (P) và (Q) sao cho (P) chứa d1, (Q) chứa d2 thỏa ( ) ( )P P Q
Cách giải: viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và song song với d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2
và song song với d1 Khi đó: ( ) ( )P P Q (do mỗi mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau song song).
Các bài tập
1 Cho đường thẳng 2 3 4 0
:
x y z d
x y z
+ − − =
Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số và
chính tắc
2 Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đường thẳng 3 2 7 0
:
3 2 3 0
x y z d
x y z
− + − =
+ − + =
3 Cho 2 đường thẳng 1 2
1
5 0
3
x t
x y z
x y
z t
= +
+ − + =
Chứng minh d1 và d2 chéo nhau
4 Cho điểm M(2,-3,1) và mặt phẳng (P): x+3y-z+2=0
Tìm hình chiếu của H của M lên mặt phẳng (P)
Tìm điểm đối xứng của M qua (P)
5 Tìm hình chiếu H của M(2,-1,1) lên đường thẳng
1 2
2
z t
= +
=− − ∈
¡
6 Cho 2 đường thẳng: 1 2
1
2
x t
d y t d
z
= +
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2
Trang 27 Cho 2 đường thẳng: 1 2 1 3 2 1 1 1
d − = + = + d − = − = +
Chứng minh: d1Pd2
Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2
8 Cho 2 đường thẳng 1 2
Chứng minh d1 và d2 chéo nhau
Viết phương trình các mặt phẳng (P) và (Q) sao cho (P) chứa d1 , (Q) chứa d2 thỏa ( ) ( )P PQ
9 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2,-1,1) và vuông góc với 2 đường thẳng
1 0 2 1 0
+ + = + − =
10 Viết phương trình của đường thẳng song song với đường thẳng
3
5
x t
y t t
z t
=
= +
¡ và cắt 2 đường
thẳng 1 1 2 2 2 4 3 0
x y z
x y z
− + − =
− = + = −
− − + =
11 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1,-1,1) và cắt 2 đường thẳng
1 2
1 0
2 3 0 3
x y
y z
z t
= +
+ − =
= −
¡
12 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng y+2z=0 và cắt 2 đường thẳng
: , : 4 2
= − = −
Trang 313 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P): x+2y-3z+5=0 và cắt cả 2 đường thẳng
' '
'
1 2
= − + = − +
14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(1,4,2), B(-1,2,4) và đường thẳng
x − y + z
−
a Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)
b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 +MB2 nhỏ nhất (ĐH khối D-2007)
15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1,1,3) và đường thẳng d có phương trình
x = y = z −
a Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d
b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O (CĐ khối D-2008)
16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và 2 điểm A(-3,0,1), B(1,-1,3) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách
từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất (ĐH khối B-2009)
17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0 và (Q): 3x+2y-z+1=0 Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1,1,1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (P), (Q) (CĐ khối A-2009)
18 Trong không, gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A(1,1,0), B(0,2,1) và trọng tâm G(0,2,-1) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) (CĐ khối A-2009)
19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1,2,1), B(-2,1,3), C(2,-1,1), D(0,3,1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) (ĐH khối B-2009)
20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1,2,3) và 2 đường thẳng:
d − = + = − d − = − = +
Trang 4a Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
b Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 (ĐH khối D-2006)
21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-1=0 và 2 đường thẳng
x + y z + x − y − z +
−
Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) (ĐH khối A-2009)
22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+2=0 và đường thẳng
:
m
d
Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)
23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A’(0,0,1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD
a Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’C và MN
b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α = 1
6 (ĐH khối A-2006)
24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O Biết A(2,0,0), B(0,1,0), S(0,0, 2 2 ) Gọi M là trung điểm của cạnh SC
a Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM
b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chop S.ABMN
(ĐH khối A-2004)
25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 và (Q): x-y+z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (R) bằng 2 (ĐH khối D-2010)
26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tọa độ các điểm A(2,1,0), B(1,2,2), C(1,1,0) và mặt phẳng (P): x+y+z-20=0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) (ĐH khối D-2009)
Trang 527 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 2 2
:
x + y − z
− và mặt phẳng
( ) :P x+2y− + =3z 4 0 Viết phương trình đường thẳng d sao cho d nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với đường thẳng ∆ (ĐH khối D-2009)
28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng 1 2
3
y t
z t
= +
Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1 (ĐH khối D-2009)
29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: 1 2
x − = y = z +
− và mặt phẳng
( ) :P x−2y+ =z 0 Gọi C là giao điểm của ∆ với (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ biết MC= 6 Tính
khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) (ĐH khối A-2010)
30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1
:
− và 2 điểm A(1,-1,2), B(2,-1,0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M (ĐH khối A-2012)
31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1 2
1
1 2
x y z
a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và song song với ∆2
b Cho điểm M(2,1,4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất (ĐH khối A-2002)
32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3 3
:
− và mặt phẳng (P): 2x+y-2z+9=0
a Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với (P) (ĐH khối A-2005)
33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0,1,2) và 2 đường thẳng:
Trang 61 2
1
1 1
2
= +
− = +
a Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A đồng thời song song với d1 và d2
b Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng (ĐH khối B-2006)
34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:
2 0
x y z
x y
+ − − =
− = + = +
+ − =
a Chứng minh: d1P Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng d1 , d2 d2
b Gọi giao điểm của d1 , d2 với Oxz lần lượt là A, B Tính S∆OAB (ĐH khối D-2005)
