Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a... Trong hình học có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó như độ dài đoạn thẳng, chu
Trang 1
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I Tóm tắt lý thuyết
1 Trên tập xác định của biểu thức f(x,y, )
a Số A được gọi là giá trị lớn nhất của f(x,y, ) nếu f x y( , , )≤ A và có (x 0 ; y 0; ) sao cho
- Chỉ ra bộ số (x0; y0 ) sao cho f x y( , , )0 0 =A hoặc f x y( , , )0 0 =B
- Kết luận: Max f =A khi x = x0 ; y = y0
( ) k
M − f x ≤M, x ∈R+ x ≥ 0,x ∈R
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi xy≥ 0và |x| ≥ |y|
II Các dạng bài tập thường gặp
§1 ĐA THỨC BẬC NHẤT CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a A= 7x− 5
Trang 2Vậy min A = 0 khi x=75
b Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số R
Ta có: 8 − 5x ≥ 0 ⇒ 8 − 5x + 3 ≥ 3 Nên min B = 3 khi x=58
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
D
Giải
Biểu thức D xác định với mọi x∈R
Ta có 2x− 1 ≥ 0 Nên 5 − 2x− 1 ≤ 5 Vậy max D = 5, khi x=21
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 2 − −
A
Trang 3
b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 4
1
−
b Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số thực R
Ta có B= − 3x2 + 4x+ 3
2 2 2
) 3
2 ( 3 3 13
9
13 ) 3
2 ( 3
) 1 9
4 9
4 3
2 2 ( 3
−
=
x x
x x
3
2 (x− 2 ≥ với mọi x nên B≤135 B=133 ⇔x=32
Ví dụ 2: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây:
2
≥
− +
−
=
+
− + +
−
=
y x x
y xy x
x x
0 2
) 16 24 9
( ) 25 10 (
40
2 2
2 2
2
≤
−
− +
−
=
y x x
y xy x
x x
Max D = 40 khi x= − 5 ;y= −154
Ví dụ 3: a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
= x xy y x y
E
3 ) 4 4 ( ) 2 2 2 1 ( 2 + 2 + + + + + 2 − + −
E
= (x+y+ 1 ) 2 + (x− 2 ) 2 − 3 ≥ − 3
0 1
3 ⇔ + + =
−
E và x− 2 = 0
Trang 4
Min E = -3 ⇔x= 2 và y= − 3
b Biểu thức F xác định với mọi x thuộc tập số thực R
) 4 4 ( 3 ) 2 2 2 1 (
7
=
x x B
Giải
8 ) 1 2 (
7 9
4 4
x
B
Ta có ( 2x− 1 ) 2 ≥ 0 ⇒ ( 2x− 1 ) 2 + 8 ≥ 8
Trang 5
8
7 8 ) 1 2 (
Vậy max B =87 khi x=21
2 Phân thức có mẫu số là bình phươngcủa một nhị thức
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
2 ) 1 (
1
+
+ +
=
x
x x C
Giải
Biểu thức C có giá trị xác định với mọi x≠ − 1
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
) 1 ( 4
) 1 ( 4
3 )
1 ( 4
) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 4
4 4 4 ) 1 ( 4
) 1 (
4 )
= +
− + +
= +
+ +
= +
+ +
= +
x x
x
x x x
x x x
Giải
Biểu thức D có giá trị xác định với mọi x≠ − 1
2 2
1 1
1 ) 1 (
1 1 )
1
− +
=
+
=
x x
x
x x
1 ( 4
1 ) 4
1 4
1 2
1 2 ( )
1 2
Vậy max D=41 khi x = 1
3 Các phân thức khác
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
1
1 2
x M
) 1 2 ( ) 1 (
2 1
1
2
2 2
2 2
−
+
−
− +
−
= +
−
+
=
x x
x x
x
x x x
x x
2
≤ +
x M
Vậy max M = 2 khi x = 1
• Tìm giá trị nhỏ nhất của M
) 1 (
3
) 1 2 ( ) 1 (
2 ) 1 (
3
) 1 ( 3 1
1
2
2 2
2
2 2
2
+
−
+ + + +
−
= +
−
+
= +
−
+
=
x x
x x x
x x
x
x x
−
+ +
=
x x x
Trang 6
6 8 3 2
x x Q
c
1 2
1 2
2
+ +
+ +
=
x x
x x S
2 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a
5 4 4
3
=
x x K
b
12 6
14 6 2
x x E
4 ) 1 (
§4 BIỂU THỨC CÓ BIẾN BỊ RÀNG BUỘC BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC
Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 1
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2x2 −y
b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B=xy+ 1
Giải
Do 3x+y= 1 ⇒y= 1 − 3x ta có
17 ) 4
3 ( 2 ) 2
1 2
3 ( 2 3 1 2 ) 3 1 (
) 3 1
13 36
13 ) 6
1 (
2 2
x x
Tìm giá trị nhỏ nhất của x.y
Trang 7II Một số phương pháp giải phương trình bậc cao.
1 Phương pháp đưa về phương trình tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 +x3 − 5x2 +x− 6 = 0
Giải
0 ) 3 )(
1 )(
2
(
0 ) 1 ( 3 ) 1 ( )
2
(
0 ) 3 3
)(
2
(
0 6 5
2
2 2
2 3
2 3
4
= + +
−
⇔
= + + +
−
⇔
= + + +
−
⇔
=
− +
−
+
x x
x
x x
x x
x x x x
x x x
Trang 8
0 ) 5 )(
4 )(
3 )(
2 (
0 ) 20 )(
3 )(
2 (
0 ) 3 ( 20 ) 3 ( ) 3 ( ) 2 (
0 ) 60 20 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 (
0 ) 60 23 2
)(
2 (
0 ) 2 ( 60 ) 2 ( 23 ) 2 ( 2 ) 2 (
0 ) 120 60 ( ) 46 23
( ) 4 2 ( ) 2 (
0 120 106 19
4
2 2
2 2 3
2 3
2 3
2 2
3 3
4
2 3 4
= +
−
−
⇔
= +
−
−
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
5 0
5
*
4 0
4
*
3 0
3
*
2 0
x x
x x
x x
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 2; x = 3; x = 4; x = -5
5 2 )(
1 (
0 ) 5 2 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 2 ( 2 ) 1 (
0 ) 15 6 ( ) 15 6
( ) 10 4
( ) 1 (
0 ) 15 21 16
4 )(
1 (
0 ) 1 ( 15 ) 1 ( 21 ) 1 ( 16 ) 1 ( 4 (
0 15 15 21 21
16 16
4 4
0 15 6 5 12 4
2 2
2 2
3
2 3
2 3
2 2
3 3
4
2 3 4
= + + +
−
⇔
= + +
+ +
+
−
⇔
= + + + +
+
−
⇔
= + + +
−
⇔
=
− +
− +
− +
−
⇔
=
− +
− +
− +
x x x
x
x x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x x x
2
3 2
3 ( 2 3 3
2 )(
2 (
0 ) 2 2 2 )(
2 (
0 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 )(
2 (
0 ) 4 2 ( ) 4 2 ( ) 4 (
0 8 4 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 3
4
2 3 4
= +
− +
−
⇔
= +
− +
−
⇔
=
− +
−
− +
−
⇔
=
− +
−
x x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x x x
x x x x
Trang 9
2 0
2
*
2 0
x x
5 (
0 40 3
0 40 ) 3 (
2
= +
−
⇔
=
− +
⇔
=
− +
t t
t t
t t
Phương trình này vô nghiệm vì 2 2
x + x+ = +x + > với mọi xVậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = -6
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x− 6 ) 4 + (x− 8 ) 4 = 16
Giải
16 ) 8 ( ) 6 (x− 4 + x− 4 =
Đặt: x – 7 = y, phương trình chở thành:
0 7 6
16 ) 1 ( ) 1 (
2 4
4 4
=
− +
⇔
=
− + +
y y
y y
Đặt: y2 =z≥0 ta có:
0 ) 7 )(
1 (
0 7 6
2
= +
−
⇔
=
− +
z z
z z
• Nếu z− 1 = 0 ⇔ z= 1 thoả mãn điều kiện z≥ 0
• z+ 7 = 0 ⇔ z= − 7 (loại)
Trang 100 3 3
0 ) 3
3 (
0 ) (
2 2
3 2 2
3 3 3
3 3
3
= +
− +
⇔
= +
− +
⇔
v u uv
uv v u
v uv v u u v u
v u v u
0
=
⇔u hoặc v = 0 hoặc u+v= 0
0 4 3
2 + − =
⇔ x x hoặc 2x2 − 5x+ 3 = 0 hoặc 3x2 − 2x− 1 = 0+ x2 + 3x− 4 = 0
⇔ (x− 1 )(x+ 4 ) = 0 ⇔x= 1 hoặc x = − 4
+ 2x2 − 5x+ 3 = 0 ⇔ ( 2x− 3 )(x− 1 ) = 0
2
3
=
⇔x hoặc x = 1+ 3x2 − 2x− 1 = 0
3 ( 2 ) ( 2 1 ) )
1 (x+ + x− = x−
Đặt: x + 1 = y; x – 2 = z; 1 – 2x = t
Thì y + z + t = 0; z + t = - y
Do đó: (y + z + t)3 = 0
Trang 11
yzt t
z y
t z zt t z y
zt t z t z y
t z y t z y t z y
t z y t z y t z y
3
0 ) ( 3
0 3 3
0 ) )(
( 3 ) (
0 ) ( 3 ) ( 3 ) (
3 3 3
3 3 3
2 2 3 3 3
3 3
2 2
3 3
= + +
⇔
= + + + +
⇔
= + + + +
⇔
= + + + + + +
⇔
= + + + +
+ +
1 20
9
1 12
7
1 6
5
1
2 2
2
+ +
+ + +
+ + +
+ +
x
Giải
) 6 )(
5 ( 30 11
) 5 )(
4 ( 20 9
) 4 )(
3 ( 12 7
) 3 )(
2 ( 6 5
= + +
+ +
= + +
+ +
= + +
+ +
= + +
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
1 2
1
8
1 6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
8
1 ) 6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2
(
1
= +
−
+
⇔
= +
− +
+ +
− +
+ +
− +
+ +
−
+
⇔
= + +
+ + +
+ + +
+ +
+
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
0 ) 2 )(
10
(
0 20 8
2
=
− +
⇔
=
− +
⇔
x x
99 4
99 3
99 2
99 1
2 + x− +x + x− +x + x− = x + x− +x + x− + x + x−
x
Trang 12
Giải
Cộng vào hai vế của phương trình (- 3), ta có
0 ) 94
1 95
1 96
1 97
1 98
1 99
1 )(
100 99
(
94
100 99 95
100 99 96
100
99
97
100 99 98
100 99 99
100 99
) 1 94
6 99 )
1 95
5 99 (
) 1 96
4 99
(
) 1 97
3 99 (
) 1 98
2 99 (
) 1 99
2
2 2
2
2 2
2
2 2
−
+
⇔
− + +
− + +
−
+
=
− + +
− + +
−
− + +
−
− + +
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
1 96
1 97
1 98
0 ) 100 )(
1 ( 0 100
99
2 + x− = ⇔ x− x+ =
x
100 0
100
*
1 0
x x
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = - 100
Bài tập Giải các phương trình
Trang 13
b) (x− 1 ) 4 + (x− 2 ) 4 = 1c) (x− 2 , 5 ) 4 + (x− 1 , 5 ) 4 = 1
) 1 2 ( ) 2 ( ) 1 (x+ + x− = x−
b) (x− 7 ) 4 + (x− 8 ) 4 = ( 15 − 2x) 4
Bài 7: a) x4 − 3x3 + 4x2 − 3x+ 1 = 0
b) 6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x+ 6 = 0c) x5 + 2x4 + 3x3 + 3x2 + 2x+ 1 = 0d) 6x4 + 7x3 − 36x2 − 7x+ 6 = 0
I Tóm tắt lý thuyết
1 Định nghĩa:
a nhỏ hơn b, ký kiệu a b< , nếu a b− <0
a lớn hơn b, ký hiệu a b> , nếu a b− > 0
a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu a≤b, nếu a−b≤ 0
a lớn hơn hoặc bằng b, ký hiệu a ≥b, nếu a−b≥ 0
Trang 14Nếu a, b là các số không âm thì a+b≥ ab
2 Dấu bằng xảy ra khi a = b
b Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
a +b ≥a+b Dấu bằng xảy ra khi a.b ≥ 0
II Một số phương pháp cơ bản
c
b
a2 + 2 + 2 ≥ + + (1)
) (
2 ) (
2 a2 +b2 +c2 ≥ ab+ac+bc
⇔
Trang 15
0 ) 2
( ) 2
( ) 2
(
0 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
≥ +
− + +
− + +
+
⇔
c bc b c ac a b ab
a
bc ac ab c
b
a
0 ) ( ) (
3 ) 2 ( ) (
0 ) (
) (
0 ) )(
(
0 ) ( ) (
0
2 2
) )(
( ) (
2
2 2 2
2 2
2
3 3
3 3
3 3 4 4
4 3 3 4 4 4
3 3 4 4
⇔
+ + +
≥ +
⇔
+ +
≥ +
⇔
b b
a b a
b ab a b a
b a b a
b a b b a
a
ab b a b a
b ab b a a b a
b a b a b a
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
Ví dụ 3: Chứng minh với mọi số thực a, b khác không ta luôn có bất đẳng thức sau:
) ( 3 4 2
2 2
2
a
b b
a a
Giải
0 ) ( 3 2 ) 2
2 2
2
≥ +
− + + +
⇔
a
b b
a a
b b
a
0 ) 2 )(
(
0 ) 2 )(
1 (
0 ) 1 (
2 ) 1 )(
(
0 ) ( ) ( 2 2 ) (
2 2
2 2 2
2
2
≥
− +
− +
⇔
≥
− +
− +
⇔
≥
− +
−
− + +
⇔
≥ +
− +
− + +
⇔
b a
ab b
a ab b a
a
b b
a a
b b
a
a
b b
a a
b b
a a
b b
a
a
b b
a a
b b
a a
b b
a
0 ) ( 4
3 ) 2
Trang 161, c= +z
3 1
Do a+b+c= 1 nên x+y+z= 0 ta có:
3
1 ( ) 3
1 ( ) 3
1
c b
a + + = + + + + +
3
1 3
1
) (
3
2 3 1
3
2 9
1 3
2 9
1 3
2 9 1
2 2 2
2 2 2
2 2
2
≥ + + +
=
+ + + + + +
=
+ + + + + + + +
=
z y x
z y x z y x
z z y
y x
xy y
x ) 4 ( + 2 ≥
⇔
Ta có: [(x+y) +z]2 ≥ 4 (x+y)z
z y x y x
z y x
2 2
) ( 4 ) ( 16
) ( 4 4
+
≥ +
y
x ) 16 (
⇔Nên 16 (x+y) ≥ 16xyz
xyz y
1 )(
1 (a+ b+ c+ ≥
Trang 17
b) Cho a, b là các số không âm Chứng minh rằng:
4 ) 1 )(
1 (a+ ab+ ≥ ab
Bài tập 3: Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b = 1 chứng minh:
a) a2 +b2 ≥ 21 b) a4 +b4 ≥81
Bài tập 4: Cho a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh: 1+1+1≥ 9
c b a
Bài tập 5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:
1 Trong hình học có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại
lượng hình học nào đó như độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích của một hình Các bài toán này được gọi là bài toán “cực trị hình học”
2 Đường lối chung để giải bài toán cực trị trong hình học.
Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn
hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của mọi hình khác
Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói
rõ trong đầu bài
Cách 2: Thay điều kiện của đại lượng cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối
cùng dẫn đến một điều kiện xác định được vị trí các đại lượng hình học để đạt được cực trị.Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: “Tìm một hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán”
II MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Trang 18d b d A d AH
Trang 19Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Qua đỉnh A của tam giác hãy dựng đường thẳng d cắt BC sao
cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến d có giá trị nhỏ nhất
BH
S AM CK
.
=
+
= +
+ Nếu AC ≤ AB thì AM ≤ AB suy ra BH + CK nhỏ nhất khi M B≡
Dạng 2: Vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc điểm
• Kiến thức cần nhớ
1 Tam giác ABC có
AB AC− <BC< AB AC+
M H
D
E
C B
A
Trang 20A' A
ABC ACB· ≤ · ⇔ AC≤AB
2 Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có AB≤ AC + CB dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
C là một điểm thuộc đoạn AB
* Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điểm
M, N thuộc d và khoảng cách MN không đổi Xác định vị trí hai điểm M, N để tổng độ dài
S = AM + MN + NB là nhỏ nhất
Giải:
Dựng hình bình hành BNMB’
a MN
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB,
BC, CD, DA (Tứ giác MNPQ gọi là tứ giác nội tiếp hình vuông)
Tìm điều kiện của các điểm M, N, P, Q để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất
Giải
Trang 21A
G F E
ặt khác EF, FG lần lượt là đường trung bình của các
tam giác MPQ; MNP nên:
⇒ P = 2FG + 2GC + 2EF + 2AE = 2(AE + EF + FG + GC) ≥ 2AC (không đổi)Dấu
“=” xảy ra ⇔A, E, F, G, C thẳng hàng ⇔ MN//AC//PQ và MQ//DB//NP khi đó MNPQ
- Nếu x≥ 0 ;y ≥ 0 mà x + y là hằng số thì xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = y
- Nếu x≥ 0 ;y≥ 0 mà x.y là hằng số thì x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y
- Nếu x > 0; y > 0 thì x y+ ≥y x 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : x = y.
• Các ví dụ
Ví dụ 1: Trong tất cả các tam giác vuông có cùng diện tích S cho trước, chứng minh rằng
tam giác vuông cân có chu vi nhỏ nhất
Chu vi của tam giác vuông là: C=a+b+ a2 +b2
Diện tích của tam giác vuông là S ab
Trang 22b
a+ + 2 + 2 ≥ 2 2 + 2
Vậy C≥ 2 2S + 2 S
Chu vi tam giác nhỏ nhất bằng 2 2S +2 S khi và chỉ khi a = b ⇔ ∆ABC cân
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng BC cố định A là điểm di động sao cho tam giác ABC nhọn AA’
là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC
Xác định vị trí điểm A để tích AA’.HA’ đạt giá trị lớn nhất
− +
−
= ' ' )
4
( 4
2 2
2
B A BC B A BC BC
' 2
( 4
2 2
B A BC
BC − − ≤
Vậy
4 A'.HA'
A
Trang 23
2 Cho tam giác đều ABC, M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và
AC sao cho BM = CN Xác định vị trí của M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất
3 Cho tam giác nhọn ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c M là điểm nằm trong tam giác Đặt MA = x, MB = y, MC = z
Xác định vị trí của điểm M để tổng ax + by + cz đạt giá trị nhỏ nhất
4 Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF
Xác định dạng của tam giác ABC để tam giác DEF có diện tích lớn nhất
5 Trong các tứ giác nội tiếp hình chữ nhật cho trước Tìm tứ giác có tổng bình phương các cạnh nhỏ nhất
chứng minh hình học, giáo viên, học sinh tham khảo tài liệu "Các chủ đề tự chọn lớp 8"
của Bộ Giáo dục
