Các chủ đề tự chọn nâng cao toán 8

Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyênA.. Kiến thức cơ bản - Nắm đợc tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên - Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập B.. Chứng minh tính c

Chủ đề 1: Tính chia hết trong tập hợp số nguyên

A Kiến thức cơ bản

- Nắm đợc tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên

- Vận dụng tốt tích chất để làm các bài tập

B Phơng pháp chung

I Chứng minh tính chia hết trong tập hợp số nguyên

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ∈ N hoặc n ∈ Z)

Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, ta thờng phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m Nừu m là một hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

Nhận xét: Trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bộicủa k

- Tồn tại một bội của 5 nên A chia hết cho 5

- Tồn tại một bội của 7 nên A chia hết cho 7

- Tồn tại hai bội của 3 nên A chia hết cho 9

- Tồn tại ba bội của 2, trong đó có một bội của 4 nên A chia hết cho 16

A chia hết cho các số 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040

áp dụng:

Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th×

n = 2k (k ∈N) ) ⇒ A = 4k2 chia hÕt cho 4

n = 2k + 1 (k∈ N) ⇒ A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 d 1VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho 4 chØ cã thÓ cã sè d b»ng 0 hoÆc 1

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 b2 + + a.bn-2 + bn-1) víi n ∈ N*

an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 b2 - - a.bn-2 + bn-1) víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n

(a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + + cn-1abn-1 + bn

Các hệ số ci đợc xác định bởi tam giác Pa-xcan

áp dụng vào tính chất chia hết ta có:

an - bn Chia hết cho a - b (a ≠ b)

a2n+1 + b2n+1 Chia hết cho a + b (a ≠ - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a là bội số của a)

Ví dụ:

Bài tập áp dụng:

1/ Cho A = 11100 -1

Chứng minh rằng A chia hết cho 10, chia hết cho 1000

2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n - 1 chia hết cho

Số d khi chia 2100 cho 9 là 7

b) Luỹ thừa của 2 sát với một bội số của 25 là 210 = 1024 = BS 25 - 1

Vậy số d khi chia 2100 cho 125 là 1

Bài tập áp dụng:

a) Tìm số d của phép chia Sn = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4

b) Chứng minh rằng:

52n + 5n + 1 chia hết cho 31 với mọi n không chia hết cho 3

III Tìm chữ số cuối cùng trong biểu diễn thập phân của một

Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số của cùng của rk

- Nếu A = 100b + ab = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A

-

Cách 2:

Khi lấy k lần lợt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân của số A = nk chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối cùng xuất hiện tuần hoàn Ta chỉ cần tìm chu kì của hiện tợng này và A

ở trờng hợp nào với giá trị k đã cho

3) Tìm ba chữ số cuối cùng của số A = m100 trong đó m là một

số tự nhiên khác 0

IV Tìm điều kiện chia hết

Ví dụ: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị

do đó 2 phải chia hết cho n

1) Tìm số nguyên dơng n để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1

2) Tìm số tự nhiên n sao cho

V Tính chia hết đối với đa thức

1 Tìm số d của phép chia mà không thực hiện phép chia

Phơng pháp:

* Đa thức chia có dạng x - a với a là hằng số

Số d của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a

* Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên

Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia

Cách 2: Xét các giá trị riêng

Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + + an-1 + an = 0

Sè d cña phÐp chia f(x) cho x - 1 lµ

* Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia

Vậy x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1

* Sử dụng các biến đổi tơng đơng, chẳng hạn để chứng minh f(x) chia hết cho g(x), có thể chứng minh f(x) + g(x) chia hết cho g(x) hoặc f(x) - g(x) chia hết cho g(x)

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x)

f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1Giải:

f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 + + x11 - x

= x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + + x(x10 - 1)Các biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho x10 - 1, mà x10 - 1 chia hết cho g(x)

Vậy f(x) chia hết cho g(x)

* Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của

đa thức bị chia

Ví dụ:

Cho f(x) = (x2 + x - 1)10 + (x2 - x + 1)10 - 2 chứng ming rằng f(x) chia hết cho x2 - x

Giải:

Đa thức x2 - x có hai nghiệm là x = 0 và x = 1 Ta sẽ chứng minh x=0 và x = 1 cũng là nghiệm của đa thức f(x)

x a

=

Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm đúng với mọi xNếu a = 0 thì (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm đúng với mọi x nếu b = 0, vô nghiệm nếu b ≠ 0

Kết luận:

Nếu a ≠ 0, a ≠ 1thì phơng trình có nghiệm duy nhất

b x a

Chú ý:

Có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ x + 2 = y (x + 2 là trung bình cộng của x + 3 và x + 1)

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

(x - 6)4 + (x - 8)4 = 16Giải:

Đặt x - 7 = y, phơng trình trở thành:

(y + 1)4 + (y - 1)4 = 16Rút gọn ta đợc:

a) 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0Giải:

a) Biến đổi phơng trình thành:

(x + 1)(x + 2)(2x + 1) = 0Phơng trình có ba nghiệm: x1 = -1 ; x2 = -2 ; 3

12

- Tìm điều kiện xác định của phơng trình

- Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phơng trình rồi khử mẫu thức

- Giải phơng trình vừa nhận đợc

- Nghiệm của phơng trình là các giá trị tìm đợc của ẩn thoả mãn

điều kiện xác định

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

4) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

a) Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

Bớc 1:

- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết

- Lập phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng

Ac-Biết rằng khi cân trong nớc, vàng giảm

1

20 trọng lợng, bạc giảm

1 10

trọng lợng Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam bạc (vật có khối lợng 100gam trì trọng lợng bằng 1 niutơn)

Giải:

Gọi trọng lợng bạc trong mũ là x (niutơn) (0 < x < 5) Trọng lợng vàng trong mũ là 5 - x (niutơn)

Khi nhúng ngập trong nớc, trọng lợng bạc giảm 10

x

(niutơn), trọng

lợng vàng giảm

5 20

Vậy trọng lợng bạc trong mũ là 1 niutơn

Chiếc mũ chứa 100 gam bạc

Chú ý:

Khi giải bài toán bằng cách lập phơng trình, ngoài ẩn đã chọn đôi khi ngời ta còn biểu thị những đại lợng cha biết khác bằng chữ Điều lý thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải toán nhng chúng lại không có mặt trong đáp số của bài toán

Ví dụ 2:

Một ngời đi nửa quãng đờng AB với vận tốc 20 km/h, và đi phần còn lại với vận tốc 30 km/h Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên cảquãng đờng

giờ, thời gian ngời

đó đi nửa sau quãng đờng là 30

ngợc lại Biết rằng các xe buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đ-ờng (trên chiều từ A đến B cũng nh chiều ngợc lại) Hỏi cứ sau bao nhiêu phát thì các xe buýt lại lần lợt rời bến?

2) Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xebuýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngợc lại Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc nh nhau

Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe đi từ B về phía mình Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ

A vợt qua ngời đó?

a b

b a+ ≥

với a, b > 0(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

III Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức:

1 Dùng định nghĩa

Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > 0

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) ≥ -1Giải: Xét hiệu

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) + 1

Đặt x2 - 5x + 5 = y ta đợc

(y - 1)(y + 1) + 1 = y2 ≥ 0

Vậy (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) ≥ -1

Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh

Xẩy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b

3 Dùng các tính chất của bất đẳng thức

(a + b)2 > 1⇒ a2 + 2ab + b2 > 1 (2)Mặt khác

(a - b)2 ≥ 0 ⇒ a2 - 2ab + b2 ≥ 0 (3)Cộng từng vế (2) và (3)

2(a2 + b2) > 1 ⇒ a2 + b2 > 1

2 (4)Bình phơng hai vế của (4)

a4 + 2a2b2 + b4 > 1

Mặt khác

(a2 - b2)2 ≥ 0 ⇒ a4 - 2a2b2 + b4 ≥ 0 (6)Cộng từng vế (5) và (6)

Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế ta đợc:

a2 + 2ab + b2 > 4 (1)Mặt khác ta có:

(a - b)2 ≥ 0 ⇒ 2ab ≤ a2 + b2 ⇒ a2 + 2ab + b2 ≤ 2(a2 + b2)

Mà 2(a2 + b2) ≤ 4 (giả thiết), do đó

a2 + 2ab + b2 ≤ 4 Mâu thuẫn với (1)Vậy a + b ≤ 2

Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1 Cho biểu thức f(x,y, )

Ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

- Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì

f(x,y, ) ≤ M (M là hằng số) (1)

- Tồn tại x0 , y0 sao cho

f(x0, y0, ) = M (2)

2 Cho biểu thức f(x,y, )

Ta nói M là GTNN của biểu thức f(x,y, ) nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

Với mọi x, y, để f(x,y, ) xác định thì (1’)f(x,y, ) ≥ m (m là hằng số)

- Tồn tại x0 , y0 sao cho

f(x0, y0, ) = m (2’)Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện (1) và (1’) thì cha thể nói gì về cực trị của một biểu thức

a) A = 2x2 - 8x + 1 = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 ≥ -7Min A = -7 khi vµ chØ khi x = 2

Ta cã: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12)

§Æt x2 - 7x + 6 = y th×

A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 ≥ -36VËy Min A = -36 ⇔ x2 - 7x + 6 = 0 ⇔ x1 = 1; x2 = 6

3 Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè mÉu lµ tam thøc bËc hai

( )2 2

1 1 3x-1 =0 x=

Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2

II Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức có quan

hệ ràng buộc giữa các biến

Ví dụ 1:

Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1Giải:

Sử dụng kiều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A:

Biểu thị y theo x rồi đa về tam thức bậc hai đối với x:

Thay y = x - 1vào biểu thức A ta đợc

Cách 2:

Sử dụng các điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A:

Chủ đề 5: Phơng pháp diện tích trong chứng minh

Ví dụ 1:

Cho tam giác đều ABC

a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc miền trong của tam giác ABCthì tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác bằng

chiều cao tam giác

b) Quan hệ trên thay đổi nh thế nào nếu điểm M thuộc miền ngoài tam giác

7 6

1

2

3 4

5

B' C'

1) Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE Gọi I là giao điểm của AF, CE Chứng minh rằng ID là tia phân giác của góc AIC

Gợi ý: Để chứng tỏ D thuộc tia phân giác của góc AIC , ta vẽ DH ⊥ AF,

DK ⊥ IC, rồi chứng minh DH = DK Hai đoạn thẳng này là các đờng cao của AFD và CED có cạnh đáy tơng ứng là AF và CE, do đo chỉcần chứng minh SAFD = SCED (các diện tích này đều bằng nửa SABCD)

2) Cho ABC có àA≥ 90 0, D là điểm nằm giữa A và C Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ A và từ C đến BD lớn hơn đờng cao kẻ từ

A và nhỏ hơn đờng cao kẻ từ C của ABC

H

E

F K