Tài liệu tự chọn nâng cao toán 6

Mỗi số hạng của dãy 1 là một tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừasố thứ nhất là 2 đơn vị... Dấu hiệu chia hết cho 11 Như vậy điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 11 l

PHẦN I: SỐ HỌC

CHỦ ĐỀ 1 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Xét dãy cộng 4,7,10,13,16,19 Hiệu giữa hai số liên tiếp của dãy là 3 Số hạng thứ 6 của dãy này là 19, bằng : 4 + (6 – 1).3; số hạng thứ 10 của dãy này là 4 + (10 – 1).3 = 31

Tổng quát, nếu một dãy cộng có số hạng đầu là a1 và hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là d thì số hạng thứ n của dãy cộng đó (kí hiệu an) bằng:

Do đó A = (4 31).10 175

2





Tổng quát, nếu một dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu là a1, số hạng cuối là an

thì tổng của n số hạng đó được tính như sau:

Mỗi số hạng của dãy (1) là một tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa

số thứ nhất là 2 đơn vị Các thừa số thứ nhất làm thành dãy : 1,2,3,4,5, dãy này có số hạng thứ 100 là 100

b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000.

5 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 1000! chứa thừa số nguyên tố 7 với số mũ bằng bao nhiêu ?

9 Trong dãy số 1, 2, 3, , 1990, có thể chọn được nhiều nhất bao nhiêu số để tổng hai

số bất kỳ được chọn chia hết cho 38 ?

10.* Chia dãy số tự nhiên kể từ 1 thành từng nhóm ( các số cùng nhóm được đặt trong dấu ngoặc)

200 chữ số

CHỦ ĐỀ 2

CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT, ƯỚC VÀ BỘI

I Dấu hiệu chia hết cho 11

Như vậy điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 11 là : Tổng các chữ số hàng

lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn của số đó có hiệu chia hết cho 11

Ví dụ 2 Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 11 để tìm các chữ số x và y sao cho :

A = 62xy427 chia hết cho 99

Giải : A  99  A  11 và A  9

Tổng các chữ số hàng lẻ của A (từ phải sang trái) là 7 + 4 + x + 6 hay x + 17.Tổng các chữ số hàng chẵn của A ( từ phải sang trái) là 2 + y + 2 hay y + 4 Tổng các chữ số của A là x + y + 21

Trường hợp x – y = 9 cho ta x = 9 ; y = 0 Khi đó x + y = 0, loại

Trường hợp y – x = 2 thì y + x phải chẵn nên y + x = 6 Ta được :

2 2

2 6

II Số lượng các ước của một số (*)

Nếu dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số tự nhiên A là ax.by.cz

thì số lượng các ước của A bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)

Thật vậy, ước của A là số có dạng m.n.p trong đó

a) n chứa một thừa số nguyên tố : Khi đó x + 1 = 12 nên x = 11 Chọn thừa số nguyên

tố nhỏ nhất là 2, ta có số nhỏ nhất trong trường hợp này là 211

b) n chứa hai thừa số nguyên tố:

Khi đó (x + 1)(y + 1) = 6.2 hoặc (x + 1)(y + 1) = 4.3, do đó x = 5, y = 1 hoặc x = 3 , y

= 2 Để n nhỏ nhất ta chọn thừa số nguyên tố nhỏ ứng với số mũ lớn, ta có

n = 25.3 = 96 hoặc n = 23.32 = 72 Số nhỏ nhất trong trường hợp này là 72

c) n chứa ba thừa số nguyên tố :

Khi đó (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 3.2.2 nên x = 2,y = z = 1 Số nhỏ nhất là 22.3.5 = 60

So sánh ba số 211, 72, 60 trong ba trường hợp, ta thấy số nhỏ nhất có 12 ước là 60

III Toán về chia hết liên quan đến số nguyên tố ƯCLN, BCNN

Ngoài các tính chất đã nêu ở tiết 3, với các kiến thức về số nguyên tố , số

nguyên tố cùng nhau ƯCLN, BCNN, ta có thêm một số tính chất về chia hết

1) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p

Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p

2) Nếu tích a.b chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì

a chia hết cho m

Thật vậy, phân tích m ra thừa số nguyên tố :

m = a1k1a2k2 an kn (1)

Vì a.b chia hết cho m nên a.b chứa tất cả các thừa số nguyên tố a1, a2, an với số

mũ lớn hơn hoặc bằng số mũ của các thừa số nguyên tố đó trong (1) Nhưng b và m nguyên tố cùng nhau nên b không chứa thừa số nguyên tố nào trong các thừa số a1 , a2, , an Do đó a chứa tất cả các thừa số a1 , a2 , an tức là a chia hết cho m

3) Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n

Thật vậy, a chia hết cho m và n nên a là bội chung của m và n so đó chia hết cho BCNN ( m,n)

Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia hết cho tích m.n

Các tính chất này cung cấp thêm những công cụ mới để chứng minh quan hệ chia hết của các số

Ví dụ 4 Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 chia hết cho 7.

Giải : Cách 1: 18n + 3  7

Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một biểu

thức chia hết cho 7 mà ở đó hệ số của n bằng 1

Ví dụ 5 Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b  N) Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13

Giải : Đặt a + 4b = x ; 10a + b = y Ta biết x  13, cần chứng minh y  13

Do x  13 nên 9y  13 Ta lại có (9,13) – 1, nên y  13

Nhận xét: Trong các cách giải trên, ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có

một số hạng là bội của 13, khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13

Hệ số của a ở x là 4, hệ số của a ở y là 1 nên xét biểu thức 10x – y nhằm khử a (tức là làm cho hệ số của bằng 0) , xét biểu thức 3x + y nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13

Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 nên xét biểu thức 4y – x nhằm khử b, xét biểu thức x + 9y nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13

Ví dụ 6 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết

Từ (1) và (2) suy ra (p – 1)(p + 1) chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau 3 và 8

Vậy (p – 1)(p + 1)  24

IV Tìm số bị chia biết các số chia và số dư trong hai phép chia

Ví dụ 7 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5.

Giải : Gọi n là số chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5

Cách 1: Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r ( k, r  N, r < 35), trong đó

r chia 5 dư 1, chia 7 dư 5

Số nhỏ hơn 35 chia cho 7 dư 5 là 5, 12, 19, 26, 33 trong đó chỉ có 26 chia cho 5

Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3, giá trị nhỏ nhất của n bằng 7.3 + 5 = 26

Ví dụ 8* Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112, chia n

Vậy x = y, do đó y = 14, n = 1946,

Cách 3 Ta có n = 131x + 112 nên

132 n = 131.132x + 14784 (1)Mặt khác n = 132y + 98 nên

131n = 131.132y + 12838 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 132n – 131 n = 131.132(x – y) + 1946

 n = 131.132(x – y) + 1946

Vì n có bốn chữ số nên n = 1946

V Các bài toán về ƯCLN, BCNN.

1) Tìm hai số trong đó biết ƯCLN của chúng.

Ví dụ 8 Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng

6

Giải : Gọi hai số phải tìm là a và b ( a  b)

Ta có (a,b) = 6 nên a = 6a’; b = 6b’ trong đó (a’, b’) = 1 (a, b, a’, b;  N)

Do a + b = 84 nên 6 (a’ + b”) = 84 suy ra a’ + b’ = 14

Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 (a’  b’), ta được:

Ví dụ 9 Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300 ƯCLN bằng 5.

Giải : Gọi hai số phải tìm là a và b ( a  b).

Ta có (a,b) = 5 nên a = 5a’, b = 5b’ trong đó (a’, b’) = 1

Do ab = 300 nên 25a’b’ = 300 suy ra a’b’ = 12 = 4.3

Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tích bằng 12 (a’  b’) ta được:

2) Các bài toán phối hợp giữa BCNN của các số với ƯCLN của chúng.

Ví dụ 10 Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN của chúng bằng 10, BCNN của chúng

bằng 900

Giải : Gọi các số phải tìm là a và b, giả sử a  b

Ta có (a,b) = 10 nên a = 10a’, b = 10b’, (a’,b’) = 1; a’  b Do đó ab = 100 a’b’(1) Mặt khác ab = [a,b].(a,b) = 900.10 = 9000 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a’b’ = 90 Ta có các trường hợp:

3) Tìm ƯCLN của hai số bằng thuật toán Ơ clit

Ví dụ 11 * Cho hai số tự nhiên a và b (a > b)

a) Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b thì (a,b) = b

b) Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho b thì ƯCLN của hai số bằng ƯCLN của

số nhỏ và số dư trong phép chia số lớn cho số nhỏ

Thật vậy, nếu a và b cùng chia hết cho d thì r chia hết cho d, do đó ước chúng của a

và b cũng là ước chung của b và r (1)

Đảo lại nếu b và r cùng chia hết cho d thì a chia hết cho d, do đó ước chung của b và

r cũng là ước chung của a và b (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các ước chung của a và b và tập hợp các chung của b và rbằng nhau Do đó hai số lớn nhất trong hai tập hợp đó cũng bằng nhau, tức là

(a, b) = (b,r)

c) 72 chia 56 dư 16 nên 972,56) = ( 56,16)

56 chia 16 dư 8 nên (56,16) = (16,8);

16 chia hết cho 8 nên (16,8) = 8 Vậy (72,56) = 8

Nhận xét : Giả sử a không chia hết cho b và a chia hết cho b dư r1, b chia cho r1

dư r2, r1 chia cho r2 dư r3 , rn – 2 chia cho rn-1 dư rn’ rn-1 chia cho rn dư 0 (dãy số b, r1 ,

r2 , ,rn là dãy số tự nhiên giảm dần nên số phép chia là hữu hạn do đó quá trình trên phải kết thúc với một số dư bằng 0) Theo chứng minh ở ví dụ trên ta có

(a, b) = (b,r1) = (r1,r2) = =(rn-1’rn)= rn (vì rn-1 chia hết cho rn)

Như vậy ƯCLN (a,b) là số chia cuối cùng trong dãy các phép chia liên tiếp a chob; b cho r1; r1 cho r2; trong đó r1,r2, là số dư trong các phép chia theo thứ tự trên

Trong thực hành người ta đặt tính như sau:

4) Hai số nguyên tố cùng nhau:

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1 Nói cách khác, chúng chỉ có ước chung duy nhất là 1

Ví dụ 12 Chứng minh rằng:

a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

c) 2n + 1 và 3n + 1 ( n  N) là hai số nguyên tố cùng nhau

9n + 24 là số lẻ  9n lẻ  n lẻ3n + 4 là số lẻ  3n lẻ  n lẻ Vậy điều kiện để (9n + 24,3n + 4) = 1 là n lẻ.

5) Tìm ƯCLN của các biểu thức số

) 1

DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Dãy các số viết theo quy luật đã được trình bày ở chủ đề I Chúng ta cũng gặp các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo các quy luật nhất định

Ví dụ 16 Tính nhanh:

8 3

1

3

1 3

1 3

3

1 3

1 1

8 7

1 3

1

3

1 3

1 , 4 3

1 , 3 2

1 , 2

1 , 66

1 , 6 1

Giải

a) Ta chú ý rằng :

) 1 (

1 1

1 1 , , 3 2

1 3

1 2

1 , 2 1

1 2

1 1

1 3

2

1 2 1 1

1 100

1 99

1 3

1 2

1 2

1 11

1 6

1 6

1 1

1

Suy ra : A100501

Ví dụ 18 Tính tổng:

Giải Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ở ví dụ trên: viết mỗi số hạng thành hiệu của

hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau:

Ta xét:

39 38 37

2 39

38

1 38 37

1 , , 4 3 2

2 4 3

1 3 2

1 , 3 2 1

2 3 2

1 2

1 (

2 )

2 )(

1 (

1 )

1 (

2 5

4 3

2 4 3 2

2 3 2 1

1 38 37

1 4

3

1 3 2

1 3

2

1 2

1

741

370 39

38

740 39

38

1 2 1

n n

Ví dụ 19 Tính giá trị các biểu thức:

1 99

1 3 97

1 95

5

1 97 3

1 99 1

1 97

1 5

1 3

1 1

b)

99

1 3

97 2

98 1

1 4

1 3

1 2 1

51 49

100 95

5

100 97 3

100 99 1

100 51

1 49

1 95

1 5

1 97

1 3

1 99

Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50

b) Biến đổi số chia: Viết các tử thành hiệu 100 – 1, 100 – 2 , 100 – 99

3 100 2

2 100 1

3 2

2 1

1 99

100 3

100 2

100 1

1 2 1

1 3

1 2

1 100 99

1 3

1 2 1

Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia Vậy B = 1001

1 ( 2

) 1 ( 3

) 2 )(

100 99 98 2

100 99

1 2

1 2

17 Viết tất cả các phân số dương thành dãy:

;

4

1 , 3

2 , 2

3 , 1

4

; 3

1 , 2

2 , 1

3

; 2

1 , 1

2

; 2 1

a) Hãy nêu quy luật viết của dãy và viết tiếp năm phân số nữa theo quy luật ấy

b) Phân số 5031là số hạng thứ mấy của dãy ?

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC

I Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng:

Ví dụ 21 Tuổi anh hiện nay gấp ba lần tuổi em trước kia, ở lúc đó tuổi anh bằng tuổi

em hiện nay Khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tổng số tuổi của hai người sẽ là

28 Tính tuổi của mỗi người hiện nay

Tóm tắt:

Tuổi anh hiện nay = 3 tuổi em trước kia

Tuổi anh trước kia = Tuổi em hiện nayTuổi em sau này = Tuổi anh hiện nayTuổi anh sau này + tuổi em sau này = 28

Giải : Biểu thị tuổi em trước kia bởi đoạn AB, tuổi anh hiện nay bởi đoạn AC gấp ba

AB (h.1)

Tuổi em trước kia A B

Tuổi em hiện nay A a D

(Tuổi anh trước kia) A

B

C

Tuổi em sau này A

(tuổi anh hiện nay) C E

Tuổi anh sau này

Hình 1

Do anh luôn hơn em một số tuổi không đổi là a nên nếu ta biểu thị tuổi anh trướckia (tức tuổi em hiện nay) là AD, tuổi anh sau này là AE thì các đoạn BD, DC, CE bằng nhau và bằng a

Vì AC = 3AB nên BC = 2AB, do đó AB = a

Từ sơ đồ ta tính được tuổi em sau này (tuổi anh hiện nay) bằng 3 12

4 3

28







Đáp số: Hiện nay anh 12 tuổi , em 8 tuổi

Trong cách giải trên, sơ đồ đã thể hiện trực quan các đại lượng trong bài toán cácquan hệ giữa chúng

II Phương pháp giả thiết tạm:

Ví dụ 22 Ba ô tô chở tổng cộng 50 chuyến, gồm 118 tấn hàng, Mỗi chuyến, xe thứ

nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn Hỏi mỗi xe chở bao nhiêuchuyến biết rằng số chuyến xe thứ nhất gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai ?

Giải.

Giả thiết rằng tất cả 50 chuyến đếu do xe thứ ba chở thì khối lượng hàng chở được là:

3.50 = 150 (tấn)Dôi ra: 150 = 118 = 32 (tấn)

Để không dôi ra, phải thay một số chuyến của xe thứ ba bằng các chuyên của hai

xe kia theo quy luật sau: cứ 5 chuyến của xe thứ ba thay bởi 3 chuyến của xe thứ nhất

và 2 chuyến của xe thứ hai Mỗi lần thay như vậy thì số chuyến không thay đổi, sốchuyến của xe thứ nhất luôn gấp rưỡi số chuyến của xe thứ hai, còn không lượng hànggiảm đi:

Ví dụ 23 Trên quãng đường AC dài 200 km có một địa điểm B cách A là 10 km Lúc

7 giờ, một ô tô đi từ A, một ô tô khác đi từ B, cả hai cùng đi tới C với vận tốc thứ tựbằng 50km/h và 40km/h Hỏi lúc mấy giờ thì khoảng cách đến C của xe thứ hai gấp đôikhoảng cách đến C của xe thứ nhất ?

của xe thứ nhất (như vậy vận tốc xe thứ ba bằng : 50 2 = 100 km/h) thì cũng trongthời gian như xe thứ nhất, quãng đường còn lại đến C của xe thứ ba gấp đôi quãngđường còn lại đến C của xe thứ nhất và như vậy xe thứ ba này sẽ gặp xe thứ hai tại D(H.3)

100 - 40 = 60 (km/h)Thời gian để xe thứ ba gặp xe thứ hai tại D:

210 : 60 = 3,5 (h)Vậy thời điểm phải tìm là:

7 + 3,5 = 10h 30 phút

Đáp số : 10 giờ 30 phút

Để giải các ví dụ trên, ta đã đưa ra các giả thiết mới để đưa về các bài toán đãbiết cách giải (cách giả thiết tạm ở ví dụ 137 đưa về trường hợp hai xe chuyển độngcùng chiều gặp nhau trong đó biết khoảng cách ban đầu và hiệu của hai vận tốc)

Các cách giả thiết tạm cũng rất đa dạng:

- Coi như tất cả các đối tượng đều thuộc cùng một loại

- Thay một đối tượng này bằng một đối tượng khác có một số thuộc tính giữ nguyên vàmột số thuộc tính thay đổi (giả thiết rằng người này làm với thời gian như người kia,hoặc với năng suất như người kia )

- Hình dung ra một đối tượng mới có những thuộc tính nhất định (xe thứ ba đi với thờigian như xe thứ nhất nhưng quãng đường phải đi gấp đôi và vận tốc gấp đôi để quãngđường còn lại đến C cũng gấp đôi so với xe thứ nhất)

Biết chọn cách giả thiết tạm một cách hợp lý, đó là sự sáng tạo trong giải toán

III Phương pháp dùng đơn vị quy ước

Trong một số bài toán, giá trị phải tìm có thể không phụ thuộc vào một đại lượngnào đó Chẳng hạn cần tìm thời gian để hai vòi nước cùng chảy đầy bể nếu hai vòi đóchảy một mình đầy bể theo thứ tự hết 2 giờ và 3 giờ Gọi dung tích của bể là d (lít) thìtrong một giờ, hai vòi chảy một mình theo thứ tự được d2 và d3 lít, cả hai vòi chảyđược : d2 + d3 = 5d6 (lít)

Thời gian để hai vòi chảy đầy bể là : d : 5d6 =56 (giờ)

Thời gian này không phụ thuộc vào dung tích của bể : ta có thể chọn dung tích của bể

là 1 (đơn vị quy ước) Khi đó trong một giờ, hai vòi theo thứ tự chảy được 21 và 31dung tích bể, cả hai vòi chảy được : 21 + 31 = 65 (dung tích bể), thời gian để hai vòichảy đầy bể là : 1 : 65 =56 (giờ)

Ví dụ 24 Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc: xe thứ nhất đi từ A đến B, xe thứ hai đi

từ B đến A Sau 1 giờ 30 phút, chúng còn cách nhau 108 km Tính quãng đường ABbiết rằng xe thứ nhất đi cả quãng đường AB hết 6 giờ, xe thứ hai đi cả quãng đường

BA hết 5 giờ

Giải

Lấy quãng đường AB làm đơn vị quy ước

Trong một giờ, xe thứ nhất đi được 61 quãng đường AB, xe thứ hai đi được 51 quãngđường BA

Trong một giờ cả hai xe đi được:

Trong 1 h 30 phút cả hai xe đi được:

30

11

2 3

= 1120 quãng đường AB