Chủ đề tự chọn nâng cao toán 11

9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.. Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết

dìnhCHỦ ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC

A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình sinx = a

• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm

• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = α + k2π và x = π - α + k2π, k ∈ , với sin α

= a

2 Phương trình cosx = a

• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm

• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ±α + k2π, k ∈ , với cosα = a

3 Phương trình tanx = a

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠

2

π+kπ, k ∈ 

Nghiệm của phương trình x = α + kπ, k ∈ , với tanα = a

4 Phương trình cotx = a

Điều kiện: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ, k ∈ 

Nghiệm của phương trình là x= α + kπ, k ∈  với cotα = a

B MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:

1 Phương trình asinx + bcosx = c

• asinx + bsinx = c ⇔ sin(x + α) = 2c 2

Chú ý: Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi c 2≤ a 2 + b 2

2 Phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

Đặt t = sinx + cosx, |t| ≤ 2

Phương trình trở thành bt2 + 2at – (b + 2c) = 0

(Loại do điều kiện)

II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

1 Phương trình đưa về phương trình tích:

Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0

Giải

Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0

Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0

⇒ 3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0

⇒ tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0

+

Giải:

Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1

Ta biến đổi phương trình đã cho:

2

x x

Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0

Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒ sin 8 2sin 4 0

cos3 cos5 cos 4

⇒ 2sin 4 cos 4 2sin 4 0

cos3 cos5 cos 4

2 Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác

Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x)

Giải:

Ta có: 1 + sin2x = 2(cos4x + sin4x)

= 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]

Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình:

Bài 5: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2

Giải:

Điều kiện của phương trình là cosx ≠ 0

Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x)

⇒ tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x

⇒ tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0

Đặt t = tanx ta được phương trình

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x =

• Giải phương trình (2): sin2x - 3 sinxcosx + 2

3cos2x = 0 Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình

Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:

tan2x - 3 tan 2 0

3

Giải phương trình, ta được: x =

6 k

π + π

và x = arctan 2 3

3 + kπ, k ∈ Vậy phương trình đã cho có các nghiệm

3 Phương trình asinx + bcosx = c

Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0

Giải:

Ta có: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0

⇔ 4cosx + 2 3 sinx + 2cos2x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0

Bài 8: Giải phương trình:

2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

Giải:

Ta biến đổi phương trình đã cho:

2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

⇔ 2 (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos3x – sin2xcosx – 2cosx = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0

24

4 Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx + cosx = c

Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0

Giải:

Ta có: cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0

⇔ 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3

Đặt t = sinx + cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ), phương trình trở thành:

3t2 – 10t + 30 = 0 ⇒

3( )13

Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 = 0

⇔ 2sinx (1-cos2x) + 2cos2x – 3cosx +1=0

⇔ (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0

⇔ cos2sin cosx x=1 x+2(sinx−cos ) 1 0 (2)x + = (1)



Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2π, k ∈ 

Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 )

Với t = 1 - 3 , giải ra ta được:

−

4 3sin2x - 3 3 sinxcosx + sin2x - 3 cos2x = 3

5 sin4x 1sin 4 3sin 2 3 5sin 22 4sin 2 9 cos 2 (9 sin 4 ) 0

6 cos3x(3tanx + 6 + 2 3 ) – 3tanx + (3 - 2 3 ) sin2x = 2 3

7 sin2x – 2sin2x + 3sinx – cosx = 1

8 ( 2 - 1)sinx - 2 cosx-cos3x = 0

9 (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos2x + 3

CHỦ ĐỀ 2:

2 Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp, có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai Khi đó m.n cách hoàn thành công việc

A = n(n -1) … (n – k + 1).

Với quy ước 0! = 1, ta có: !

k n

n A

7 Giải sử Ω là không gian mẫu, A và B là các biến cố

• Ω\A = A được gọi là biến cố đối của biến cố A.

• A ∪ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra

• A ∩ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra A ∩ B còn được viết là AB

• Nếu AB = ∅, ta nói A và B cung khắc

C XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

8 Kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, ta có: P(A) = ( )

• P(A ∪B) = P(A) + P(B) nếu A ∩ B = ∅

9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh

hưởng đến xác suất của B

A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B)

A và B độc lập ⇒ A và B độc lập

10 Công thức cộng mở rộng:

Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử Lúc đó:

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

D BIẾN NGẪU NHIÊN:

11 Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử

12 Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1) Kì vọng của X, kí hiệu E (X), là một số được cho bởi công thức:

E(X) = x1p1 + … + xnpn (2)Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), là một số được cho bởi công thức:

Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X

Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X

II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax3 + bx2 + cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3, -2, 0, 2, 3} Biết rằng:

a Các hệ số tùy ý?

b Các hệ số đều khác nhau?

Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức

Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang Mỗi

tín hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu:

a Cả năm lá cờ đều được dùng?

Bài 3: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bànd 9ầu theo

những thứ tự khác nhau Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam

Giải

Mỗi một sự sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 11 bạn

Vậy không gian mẫu Ω gồm A (phần tử) 115

Kí hiệu A là biến cố: “Trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam”

Để tính n(A) ta lí luận như nhau:

- Chọn 3 nam từ 6 nam, có C cách 63

- Chọn 2 nữ từ 5 nữ, có C cách.52

- Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau, có 5! Cách

Từ đó theo quy tắc nhân ta có: n(A) = C 63 2

Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng Chọn

ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai

Giải:

Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12 Vì vậy không gian mẫu Ω gồm C125 =792 phần tử

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất

B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q

C là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thấy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P Như vậy: A = B ∪ C và n(A) = n(B) + n(C)

Tính n(B) như sau:

a Hai bạn H và K đứng liền nhau;

b hai bạn H và K không đứng liền nhau

Giải:

Không gian mẫu Ω gồm các hoán vị của 6 bạn Do đó: n(Ω) = 6! Do việc xếp là ngẫu nhiên Ωgồm các kết quả đồng khả năng

a Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”,

B là biến cố “H đứng ngay trước K”

C là biến cố “K đứng ngay trước H”

Bài 6: Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ Để lập một đoàn đại biểu, lớp trưởng

chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ hai người Tính xác suất sao cho đoàn đại biểu gồm toàn nam hoặc toàn nữ

Giải:

Gọi: A là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam hoặc toàn nữ”,

B là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam”,

C là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nữ”

Vậy P(A) = 420 126 546 0,106

5148 5148 5148+ + ≈

Bài 7: Xét phép thử gieo một đồng tiền 3 lần

a Xác định không gian mẫu

b Gọi X là số lần xuất hiện mặt gấp S, hãy liệt kê các giá trị mà X có thể nhận

c Tính các xác suất để X nhận các giá trị đó Lập bảng phân phối xác suất của X

Giải:

a Trong phép thử gieo đồng tiền 3 lần, không gian mẫu gồm 23 = 8 phần tử

Ω = {SSS, SSN, SNS, NSS,SNN, NSN, NNS, NNN}

Trong đó chẳng hạn NSN là kết quả đồng tiền lần đầu ngửa, lần thứ hai sấp, lần thứ ba ngửa

b X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 Chẳng hạn: “X nhận giá trị 1: khi xảy ra một trong các kết quả SNN, NSN, NNS, nghĩa là:

[X = 1] = {SNN, NSN, NNS}

c Vì [X = 0] = {NNN} nên P[X = 0] = 1

8Tương tự [X = 1] = {NNS, SNN, NSN} nên P[X = 1] = 3

8[X = 2] = {SSN, SNS, NSS} nên P[X = 2] = 3

8[X = 3] = {SSS } nên P[X = 3] = 1

38

18

Bài 8: Từ một hộp có 3 bi xanh và 6 bi đỏ, chọn ngẫu nhiên 4 bi Gọi Y là số bi xanh trong 4 bi

đã chọn

a Lập bảng phân phối xác suất của Y

b Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có ít nhất 1 bi xanh

b Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có nhiều nhất 2 bi đỏ,

d Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Y

k k

C C C

45126

6126

b Kí hiệu [Y ≥ a] là biến cố “Y nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng a”

Ta tính P[Y ≥ 1]

Vì [Y ≥ 1] là biến cố đối của biến cố [Y = 0] nên:

P[Y ≥ 1] = 1 – P [Y = 0] = 1 - 5 111 0,881

126 126= ≈

c Vì số bi đỏ được lấy là 4 – Y và 4 – Y ≤ 2 ⇔ Y ≥ 2 nên

P[Y ≥ 2] = P[Y = 2] + P[Y = 3] = 45 6 51 0, 405

2 Để tổ chức một trò chơi giữa hai lớp A và B, mỗi lớp cử 5 bạn tham gia Người ta đặt hai dãy

5 ghế hai bên một chiếc bàn dài Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho:

a Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau

b Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau?

3 Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào ngồi quanh 2 bàn tròn sao cho bàn thứ nhất

có 6 bạn, bàn thứ hai có 4 bạn? Chú ý rằng hai cách xếp n người cụ thể vào ngồi quanh bàn tròn được coi là như nhau nếu bạn bên trái mỗi người trong cách xếp này cũng chính là bạn trong cách xếp kia

4 Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 nam, 4 nữ vào ngồi quanh một bàn tròn sao cho:

a Sự sắp xếp là tùy ý?

b Không có 2 nữ nào ngồi cạnh nhau?

5 a Một tổ có 6 nam, 5 nữ Có bao nhiêu cách phân công 4 bạn làm trực nhật sao cho trong đó phải có đúng k nam (k = 0, 1, 2, 3, 4)?

6 Có bao nhiêu cách xếp thành hàng ngang 4 quyển Toán khác nhau, 3 quyển Lí khác nhau và

2 quyển Hóa khác nhau lên giá sách nếu:

a Các quyển được sắp tùy ý?

b Các quyển cùng môn phải cạnh nhau?

c Các quyển toán cạnh nhau, còn các quyển khác xếp tùy ý?

8 Cho một mạng giao thông như hình 2.3 mà các ô

nhỏ đều là các hình vuông bằng nhau Một du khác

xuất phát từ A muốn đi đến B

a Có bao nhiêu cách đi nhanh nhất

9 Tìm các số hạng không chứa x trong các khai triển:

11 Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất, một con đỏ và một con xanh Kí hiệu A là biến cố:

“Tổng số chấm trên hai con là 6”, B là biến cố: “Con đỏ xuất hiện mặt 4 chấm” và C là biên cố:

“Tổng số chấm trên hai con là 7” Chứng tỏ rằng:

a A và B không độc lập

b B và C độc lập

12 Bốn quả cầu được rút ngẫu nhiên (cùng một lúc) từ một cái hộp chứa 8 quả cầu đen và 4 quả cầu trắng Giả sử ta sẽ nhận được 2 cái kẹo cho mỗi quả đen được rút ra và mất 1 kẹo cho mỗi quả trắng được rút Kí hiệu X là số kẹo nhận được

a Lập bảng phân phối của X

b Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X

13 Con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần Kí hiệu X là số nhỏ nhất trong 2 số chấm xuất hiện trên con xúc xắc

a Lập bảng phân phối xác suất của X b Tính E (X), V(X)

14 Trên mỗi tờ vé số, người ta in 6 ô, mỗi ô chứa một trong các số khác nhau từ 1 tới 49 Khi

mở thưởng người ta rút ngẫu nhiên cùng một lúc 6 quả cầu từ 49 quả cầu được đánh số từ 1 đến 49

Nếu vé của bạn có k số trúng thì bạn được xk đồng Giả sử bạn mua 1 vé số Tính số tiền

thưởng trung bình mà bạn nhận được nếu giả thiết

x0 = 0, x1 = 100.000đ, x2 = 500.000đ; x3 = 1.000.000đ, x4 = 5.000.000đ; x5=10.000.000đ; x6 = 100.000.000đ

0

0

0 0

x x

n n

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b); x0∈ (a; b)

• f(x) liên tục tại x0∈ (a; b) ⇔ lim ( )0 ( )0

x x f x f x

• f(x) liên tục trên (a; b) ⇔ f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a; b)

• f(x) liên tục trên [a; b] ⇔

a Các hàm số đa thức liên tục trên  Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định

b Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b) < 0 thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c)=0 (tứ là phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a; b))

Bài 1: Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau:

nếu x <2nếu x≥ 2 liên tục tại x = 2

a Tính xlim→−4− f x( ); xlim→−4+ f x( ); lim ( ); lim ( );x→3− f x x→3+ f x

b Tìm các khoảng liên tục của f(x)

* Sử dụng các định nghĩa và định lý về liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng

Vì xlim→−4− f x( )= −f( 4) nên f(x) liên tục trên (- ∞; -4]

Vì xlim→−4+ f x( )≠ f( 4)− nên f(x) không liên tục tại x= -4

Vì xlim ( ) lim ( )→3− f x =x→3+ f x = f(3) 4= nên f(x) liên tục tại x=3

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (- ∞; -4] và (-4; +∞)

Bài 4: Tìm số thực m sao cho hàm số:

2

3( )

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x3 – 2x2 + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm

* Sử dụng định lí: Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại điểm x ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0

Giải:

Đặt f(x) = x3 – 2x2 + 1

Ta có f(x) liên tục trên  và do đó liên tục trên [-1; 0]

Mặt khác, vì f(0) = 1, f(-1) = -2 < 0 nên tồn tại số c ∈ (-1; 0) sao cho f(c) = 0 Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm

nếu x ≤ - 4nếu -4 < x ≤ 3nếu x > 3

Bài 6: Chứng minh rằng phương trình (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 = 0 luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m

b Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại các giao điểm đó

* Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) của hàm số y=f(x) tại M 0 (x 0 ;y 0 ) là y-y 0 =f’(x 0 )(x–x 0 )

= - sin2x -sin 4 2 sin 4 2

c h’(x) = -2cos(cos2x)cosxsinxcos(sin2x) – 2sin(cos2x)sin(sin2x)sinxcosx

= -sin2xcos(cos2x)cos(sin2x) – sin2xsin(cos2x)sin(sin2x)

= -sin2x [cos(cos2x)cos(sin2x) + sin(cos2x)sin(sin2x)]

= -sin2xcos(cos2x – sin2x)

= -sin2xcos(cos2x)

Vì g’(x) = 0 nên g(x) là một hàm bằng Bằng cách chọn x = 0, ta thấy g(0) =3

2Vậy g(x) = 3

=

−

* Dùng phương pháp quy nạp toán học.

Giải:

x

x x

−

→−

−+

+

→−

++

5 Tìm các khoảng liên tục của các hàm số sau:

a f(x) = x2+ −x 6;

nếu nếu nếu

nếu nếu nếu

b g(x) =

6sin

3

ππ

7 Chứng minh rằng phương trình x3 – 10x2 – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương

8 Chứng minh rằng phương trình (m2 + m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m

a Hãy tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số tại x = 1

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1; -2)