GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logaritCHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1: LŨY THỪA I... Bài toán1: Tính giá trị của biểu thức.. GV: Nguyễn N
Trang 1GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
BÀI 1: LŨY THỪA
I Lý thuyết.
1 Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với mọi a R n N∈ ; ∈ * ta có:
+) a n =a a a
+) Với a≠0: n 1 ; 0 1
n
a
+) Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Với mọi a b R m n Z; ∈ *; , ∈ ta có:
n
m
b
Nếu 0 a b< < thì a n <b n ∀ >n 0; a n >b n ∀ <n 0
Nếu a>1 và m n> thì a m >a n (mũ càng lớn thì càng lớn)
Nếu 0< <a 1 và m n> thì a m<a n (mũ càng lớn thì càng nhỏ)
VD1: Tính giá trị của biểu thức sau: 1 10 3 ( ) 4 2 1 1 9
A
−
VD2: Rút gọn biểu thức:
3
2
1 1
B
a
−
− +
(a≠0;a≠ ±1)
VD3: Hãy so sánh các cặp số sau đây:
a/
3
5
4
÷
và
3
6 5
÷
2
8 9
−
÷
2
7 8
−
÷
2 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Với a là số thực dương và r m;m Z n N n, ; 2
n
= ∈ ∈ ≥ ta định nghĩa:a r =a m n =n a m
3 Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Với a là số thực dương và α là số vô tỉ, dãy số ( )r n :r n →α thì lim r n
n
→+∞
=
4 Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho a, b là các số nguyên dương; ;α β là các số thực tùy ý Khi đó:
a
α
α β
α
=
÷
+) Nếu a>1 thì aα >aβ ⇔ >α β +) Nếu 0< <a 1 thì aα >aβ ⇔ <α β
+) Nếu α >0 thì aα >bα ⇔ > >a b 0 +) Nếu α <0 thì aα >bα ⇔ < <0 a b
VD1: Rút gọn biểu thức:
a/
7 1 2 7
2 2
2 2
0
a
+
−
3 1
a
+
−
VD2: Rút gọn biểu thức:
Trang 2GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
, 0;
= +
2
, 0,
x y x y
+
ĐS: A=1
II Các dạng bài tập.
Bài toán1: Tính giá trị của biểu thức.
VD1: Thực hiện phép tính.
4 3 3 6
27 9 9.3 3 c/ (39+3 6+34)(33−3 2) d/
4 0,75
3
VD2: Thực hiện phép tính.
a/ 8 : 64 3 8197 7 − 65 5 b/ 5 52 5 ( )0, 2 34 4
−
+
VD3: Thực hiện phép tính.
3 5
2 5 1 5
6
2 3
+
c/ (251+ 2 −52 2).5− −1 2 2 d/ (0,001)−13 −2 64−2 23 −8−43
1
2
8
−
VD4: Tính giá trị các biểu thức sau:
( )
2
2
4 7
2
Bài toán2: Chứng minh đẳng thức.
VD1:Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ 46+ 20 = 1+ 5 b/ (69 4 5+ +3 2+ 5) 3 5 2 2− =
c/
3
4 2 3
10 6 3
VD2: Chứng minh rằng:
Trang 3GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
c/ 4 2 3+ − 4 2 3− =2 d/ 3 9+ 80 +39− 80 =3
VD3: Cho a= 4+ 10 2 5+ ; b= 4− 10 2 5+ Tính a b+ ĐS: a b+ = +1 5
4 4
a b
a b
=
−
−
VD4: Khi nào các đẳng thức sau luôn đúng?
a) 9x y4 2 =3x y2 b) (5 2 )+ a2 = − −5 2a c) 327a b6 9 =3a b2 3
VD5: Có thể viết ( 27)− 1/3 = −3 27 = −3 được không?
Bài toán3: Rút gọn biểu thức.
VD1: Rút gọn các biểu thức sau:
a/
2 1
2 1
A a
a
−
2 4 4
B x= π x x π
c/
2
1 1
2 2
a a
D
−
−
1
2 3 4 3 3
1
2 3 3 3 3
1
E
−
−
=
2 2
2
1 ( )
a a b F
−
=
VD2: Đơn giản các biểu thức sau:
:
2
2
VD3: Tính giá trị các biểu thức sau:
1
3 5 : 2 : 16 : (5 2 3
A −
2
3 3
3 3
2 2 2
a a b b
a ab
−
−
6 5
a= và 3
5
b=
3 2
C a b ab− ( − )− (a− )−
2 2
a= và 31
2
b=
VD4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/
2
0
a
a + a b + b + a b = a + b
VD5: Trục căn thức ở mẫu:
1
2+ 3+ 5 c/ 3 13
1
2− 3
Trang 4GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
Bài toán4: So sánh các biểu thức.
PP: +) Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ
+) Đưa về cùng số mũ và so sánh cơ số
+) So sánh với cùng một số trung gian
VD1: So sánh
a/
3 1
3
−
2 1 3
−
5
3− và 3− 7
c/ ( ) 7
4
3 1− và ( ) 2
2
2 3 2
−
2 1 2
−
÷
VD2: So sánh
a/ 1 1 2
4
− +
÷
2 3
3− 2 − và
2 1 1
−
PP: Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ
VD3: So sánh.
c/ 2 3 và 3 3 23
PP: Đưa về cùng căn thức cùng bậc và so sánh biểu thức trong căn
VD4: So sánh.
PP: So sánh trung gian
VD5: So sánh:
VD6: Tìm x thỏa mãn từng điều kiện sau:
c/
1
2 3x x+ >3 36 6
BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA
I Lý thuyết.
1 Khái niệm về hàm số lũy thừa
Hàm số y x= α;α∈R được gọi là hàm số lũy thừa
2 Tập xác định:
+) Nếu α nguyên dương thì TXĐ là R.
+) Nếu α nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ là R\ 0{ }
+) Với α không nguyên thì TXĐ là (0;+∞)
VD: Tìm TXĐ của hàm số
a/ ( 2 ) 2
4
y= x − − b/ y= −(1 2x)13 c/ y x= −12 + −(1 x)25
Trang 5GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
( )xα '=α.xα− 1 ( )uα '=α.uα− 1 'u
4 Khảo sát hàm số lũy thừa
( 0)
y x= α α > y x= α(α <0)
Tập khảo sát: (0;+∞)
Sự biến thiên: y'=α.xα− 1> ∀ >0 x 0 nên hàm số đồng
biến trên (0;+∞)
Giới hạn đặc biệt: xlim→0+xα =0; limx→+∞xα = +∞
Tiệm cận: không có tiệm cận
Bảng biến thiên:
x 0 +∞
'
y +
y
+∞
0
Tập khảo sát: (0;+∞)
Sự biến thiên: y'=α.xα− 1< ∀ >0 x 0 nên hàm số nghịch biến trên (0;+∞)
Giới hạn đặc biệt: xlim→0+xα = +∞; limx→+∞xα =0
Tiệm cận: x=0 là tiệm cận đứng, y=0 là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
x 0 +∞
'
y - y
+∞
0
5 Đồ thị
Nhận xét : Đồ thị hàm số lũy thừa y x= α luôn đi qua điểm
( )1;1
Chú ý: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lũy thừa với số mũ
cụ thể phải xét trên tập xác định của hàm số đó
II Các dạng bài tập.
Bài toán1: Tìm TX Đ của hàm số.
VD1: Tìm TX Đ của các hàm số sau:
2
y x= + +x − b/ y=3 x2− −3x 4 c/ y= 4x2− −3x 1
d/ y=(2x2−5x+2)13 e/ ( ) 3 ( ) 2
y= x− + −x − f/ y=(x3−8)−15
VD2: Tìm TX Đ của các hàm số sau:
3
1 2 3 4
x
y
1
α >
0 < < α 1 0
α <
1
0
Trang 6GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit
Bài toán2: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.
VD1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
5 3
1
1
x
VD2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
1
y x
x
π
1
x
d/ y 12 1
1 3
y
x
=
−
Bài toán3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số lũy thừa.
VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ.
a/ y x= 3 và y x= 13 b/ y x= 2 và y x= −2
VD2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
1
y x
=
VD3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y x= 5 và y= x5 b/ y x= −5 và y= x−5
BÀI3: LOGARIT
Khởi động: Tìm x để
4
27
x
=
÷
Như vậy cho a là số dương ta có hai bài toán trái ngược khi có PT: aα =b:
-2
2 4 6
x
y
y = x2
y = 1/x2
-2 -1
1 2
x y
y = x 2
y = 1/x 2
Trang 7GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit Vấn đề: Tìm x để : 2x =3 ?
I Khái niệm logarit.
1 Định nghĩa: Cho 2 số dương a và b với a≠1 Số α thỏa mãn đẳng thức aα =b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là: α =loga b Như vậy:
loga b aα b
α = ⇔ = (a b, >0;a≠1)
VD1: a/ log 4 22 = vì 22 =4 b/ 3
1
9= − vì 3 2 1
9
1 log 2
4
= vì 414 = 2 VD2: Tính 1
2
log 4
2
1 log 4 Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0
2 Tính chất.
Từ các tính chất của lũy thừa: a0 =1;a1=a a( >0;a≠1) ta suy ra các tính chất tương ứng của logarit
Cho 2 số dương a và b (a≠1) ta có các tính chất sau:
log log 1 0;log 1; a b ; log
VD1: a/ 2log 53 ( log 53 )2 2
8
VD2: Tính a/ 2
1 log 7
3 log 4 1 9
÷
9 log 2 1
2 log 4 3+
II Quy tắc tính logarit.
1 Logarit của một tích.
ĐL1: Cho 3 số dương a, b b với 1 2; a≠1 ta có: loga(b b1 2) =loga b1+loga b2
VD1: Tính log 12 log 3 log 12.36 + 6 = 6( ) =log 36 26 =
2 Logarit của một thương.
ĐL2: Cho 3 số dương a b b với ; ;1 2 a≠1 ta có: 1 1 2
2
loga b loga b loga b
VD1: Tính log327 log33 log 27 log 4 log 3 log 4 3 1 23 3 3 3
VD2: Tính log7 2 log7 5
3 Logarit của một lũy thừa.
ĐL3: Cho 2 số dương ;a b với a≠1 Với mọi α ta có: loga bα =α.loga b
1 loga n b loga b
n
=
Trang 8GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit VD2: Tính log5 3 1log 12 log 505 5
2
III Đổi cơ số.
ĐL4: Cho 3 số dương a b c a, , ( ≠1;c≠1) Khi đó ta có: loga loglogc
c
b b
a
= ; logc b=log logc a a b
Đặc biệt: loga log1 ; loga .logb 1
b
a
k
a
2
2
2
2
2 log 3 log= 3 2log= 3 log 3=
1log 9
1
3 27
3
1
2
log 3.log 8 log 3.log 2 log 3.log 2
IV Áp dụng.
VD1: Tính
1 2log 6 log 400 3log 45
2
VD3: a/ Cho a=log 52 Tính log 1250 theo a.4 ĐS: 1(1 4 )
b/ Cho a=log 52 Tính
5
1
a
a+
VD4: Rút gọn biểu thức:
3
1 log 7 2log 49 log
7
V Logarit thập phân và logarit tự nhiên.
1 Logarit thập phân
+) Là logarit cơ số 10 Kí hiệu là log a ; log ;lg10 a a
2 Logarit tự nhiên.
+) Kí hiệu lim 1 1 2,718281828
n
e
n
+) Logarit tự nhiên là logarit cơ số e: loge b=lnb
Chú ý: Tính logarit cơ số khác 10 và khác e bằng máy tính bỏ túi ta sử dụng công thức đổi cơ số
log 3
lg 2
= hoặc log 32 ln 3
ln 2
=
