Tính giá trị các biểu thức sa với giả thiết chúng có nghĩa − b... • Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức.
Trang 1BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
1
3
: 2
−
−
−
( đáp số : D=1 )
b
2
B
Giải
a/
1 1
2
1
2
2
−
−
( )3 13 ( ) 1
2
9
Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
ax 4
−
Giải
4
A
2
ax
−
+
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau
2
−
−
Trang 2( ) ( ) ( )
2 2
2
2
−
( )
2
−
−
Bài 2 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau :
3 a 3b a 3 b3 3 ab
Giải
b/
: 2
2
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a
2
2 2
4 4 4 2
a B
a a
a
+
=
Giải
a/
3
+
2
2
4
a a
B
a a
↔ ≥
Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
−
b
5 3
3
5 2
10 5
2 3
y
y
−
+
+
Với y = 1,2
Giải
Trang 3a/ ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
1
−
Với x= 3,92⇒x2 =3,92⇔ −4 x2 =0,08⇔2 4( −x2) =0,16
5 3
1
3 3
1 1 5
2
1 1 5
5 2
y y
+
2
1, 44
Bài 5 Rút gọn biểu thức sau :
a
2
3 3
3
8
1 2
a
−
−
ĐS: A=0
b
6
B
Giải
3
3
3
8 8
a
−
−
0 8
−
b/
2
B
−
2
2 2
3 3
2
b a
−
Trang 4a
1
A=3 5 : 2 − : 16 : 5 2 3
( đáp số : A= 15/2 )
1 2
4
B
−
Giải
a/
1
A= 3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
b/
3
B
−
Bài 7 Rút gọn biểu thức sau :
a
:
−
b
−
Giải
a/
1
a
−
b/
Bài 8 a Rút gọn các biểu thức sau : ( )
1
2
ax
C
x a
−
−
(đáp số C=1)
Giải
Trang 5a/ ( )
2
1 1 1
2 2 2
ax
x a
2
2
1
+
+
( 2 3 4 2) ( 2 3 2 4) 2 2 2 3 2 4 2 3 4 2 2 3 4 2 3 2 4 2
Bài 9.
8 8
1
+
Giải
3125
27
b/ ⇔ =1 (83+82)(83−8 2)(43+42)( 3+ 2 ;) VP⇔(43−42)(43+42)( 3+ 2)
Bài 10 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
a b
Giải
Trang 6b/
1
1 1
11 16
a
+ +
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1 Đơn giản các biểu thức :
a
2 1
a
a
−
÷
4
3
Giải
a
−
−
÷
1 1 2
a
π
2
a
Bài 2 Đơn giản các biểu thức :
2
1
c
−
4
π
π − π
Giải
a/
2
−
−
3
1
a
c/
π
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
• Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha
• Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức
Trang 7Bài 1 Hãy so sánh các cặp số sau :
4 ∨4
Giải
3
5
b/ 45 ∨ 3 7 Ta có :
3 12
4 12
3
d/ 413∨ 523 Ta có :
4
5 4
e/
f/ 4 5 ∨4 ;7 7 > 5⇒4 5 <4 7
Bài 2 Hãy so sánh các cặp số sau :
a 1,7 0,8
∨
d
5
2
5
1
7
−
÷
2,5
2
2
Giải
2 ∨2 ; vi:1,7 0,8> ⇒2 >2 b/
2
do
>
c/
2
do
d/
5 0
7
do
Trang 8e/ 2,5 ( ) ( ) 2 ( )
f/
0 0,7 1
do
= > =
÷ ÷ ÷
÷
Bài 3 Chứng minh :202+303 2>
Giải
Ta có :
30 30
Bài 4 Tìm GTLN của các hàm số sau
a y=3− +x x b ( )sin 2
y=
Giải
y= − +
÷
b/ ( )sin 2
Bài 5 Tìm GTNN của các hàm số sau “
2x 2 x
x x
y e= +
Giải
GTNNy
b/
1 3
c/
=
1
VẼ ĐỒ THỊ Bài 1 Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
Trang 9a y x= 4 ∨ =y x14 b y x= 5 ∨ =y x−5 c y x= 2 ∨ =y x12
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Bài 2 Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2
y
−
−
Giải
Giả sử :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Bài 3 Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a
3
x
y π
x
y e
x
x x
Giải
a/
3
x
y π
x
y
x
y
e
x
y
x
x
d/
3
3
x
x x
x
−
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
2
1 log
5
x y
x
−
=
2
5
1 log log
3
x y
x
+
3 log
1
x y
x
−
=
2
2
5
x y
x
+
2
1
1
x
x
−
2
1
6
1 log
x y
x
−
=
−
Giải
Trang 10a/ 1
2
1 log
5
x y
x
−
=
1 2
1
0
1 1
x
x
x
x x
−
−
Vậy D=(1;+∞)
b/
2
5
1 log log
3
x y
x
+
2 3
2
1
3
x
x
> −
x
− < < − ∨ >
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau :
1 1
log 4 log 8 log 2
4 2
+
4
1 log 3 3log 5
1 log 5 2
16+ + 4 +
1log 9 log 6
log 4 2
72 49 − 5−
+
36 + 10− − 3
Giải
log 4 log 8 log 2 4 log 4 2log 2 2log 2
1
2 3log 2
4
−
4
1 log 3 3log 5 2 1 log 5 log 3 6log 5
16+ + 4 + = 4 + + 2 + = 16.25 3.2 + = 592
1
36 16
d/36log 5 6 + 101 lg2− − 3log 36 9 = 6log 25 6 + 10log5 = + = 25 5 30
II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
2
6
1
2
4 log log 4.log 3
Giải
Trang 11a/ 3 3
6
4
Bài 2 Hãy tính
a log 2sin2 log os2
c log tan 4 log cot 410 + 10 d D log4 1log 216 2 log 10 4log 34 4 4
3
x
Giải
1
c/ C=log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 410 + 10 = ( ) =log1 0=
d/
Bài 3 Hãy tính :
b Chứng minh :
log
1 log
a
bx
x
+
= +
2
1
k k
+
Giải
a/
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
A
log 2011!x
log
1 log
a
bx
x
+
= +
log
x
+
+
2
1
k k
+
Trang 12VT= 2 ( ) (1 )
2 log
k
a
x
+
Bài 4 Tính :
5 3 3 2
log
a
a a
d log tan10+log tan 20+log tan 30 + + log tan 890
e A=log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16
Giải
a/
1 1 3
2 5 10
b/
1
1 1
2
3
+ + + ÷
c/
3 2 1
2 4
a a
a a
a
+ + +
d/ log tan10+log tan 20+log tan 30+ + log tan 890 =log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0 0 0 0 0=0 ( vì : tan 890 =cot10⇒tan1 tan 890 0 =tan1 cot10 0 =1; Tương tự suy ra kết quả
1 log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
Bài 5 Chứng minh rằng :
a +b =c a> b> c> c b± ≠ , thì :
logc b+ a+logc b− a=2logc b+ a.logc b− a
b Nếu 0<N≠1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
a b c
−
−
c Nếu : log ,log ,logx a y b z ctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
2log log
b
+
Giải
a/ Từ giả thiết : a2 = − = −c2 b2 (c b c b) ( + ⇒ =) 2 loga(c b− +) loga(c b+ )
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b2 =ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
Trang 131 1 1 1
c/ Nếu : log ,log ,logx a y b z ctạo thành cấp số cộng thì logx a+logz c=2logy b
2log log
log
b
y
+
3
a b
III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1 Tính
a.A=log 166 Biết : log 27 x12 =
b B=log 30125 Biết : log 3=a;log 2=b c C=log 1353 Biết: log 52 =a;log 32 =b
d D=log 356 Biết : log 527 =a;log 78 =b;log 32 =c e Tính : log 3249 Biết : log 14 a2 =
Giải
+
(*)
Do đó :
4
6
log 2 4 log 2 log 16
log 6 1 log 2
( )
=
2
log 3
C
+
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
D
+ +
e/ Ta có : log 142 = ⇔ +a 1 log 72 = ⇒a log 72 = −a 1
5 2
log 32
log 7 2 log 7 2 a 1
−
Bài 2 Rút gọn các biểu thức
a A=(loga b+logb a+2 log) ( a b−logab b)logb a−1
1
2
c C= loga p+logp a+2 log( a p−logap p) loga p
Giải
2
Trang 142 2 2
a
b
b
a
+
( )2 ( )2 ( )2
1 3log+ x+ log x +8 log x =9 log x +3log x+1
+
+
Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b=3;loga c= −2:
c
4 3
x
=
Giải
2
c
c/ Ta có :
4 3
Bài 4 Chứng minh
a log( 3 ) log 2 1(log log )
2
a− b − = a+ b với : a>3b>0;a2+9b2 =10ab
b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
• log2a b log2a c
Giải
2
loga b loga c
* Thật vậy :
loga b loga c loga c loga b loga c loga c
−
* log log loga b b c c a= ⇔1 log loga b b a=loga a=1
Trang 15* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
loga logb logc loga logb logc 1
hơn 1
IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
• Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
• Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ đó suy ra kết quả
1
3
• Ví dụ 2 So sánh : 3log 1,1 6 ∨7log 0,99 6 Ta có :
3 >3 =1; 7 <7 = ⇒1 3 >7
Bài 1 Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh :
a log0,4 2∨log 0,340,2 b 5 3
5
1 log
2 ∨3 d log 2 log 33 ∨ 2
e log 3 log 112 ∨ 3 f 2 1
2
2log 5 log 9
5 log 3 log 11
9
8
log 2 log
9
+
1 log 2 log 5 2
3 1
18 6
−
÷
Giải
a/ log0,4 2∨log 0,340,2 Ta có : 0,4 0,4
5
1 log
5
5
1
2
1 log 3 log
2
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2
e/ log 3 log 112 ∨ 3 Ta có : 2
1 log 3 2
log 11 log 3 log 11 log 9 2
f/ 2log 5 log 9 2 1
+
2 2
25 2log 5 log 9 log
9
+
Trang 16Nhưng : 2 12
2
+
g/ log 3 log2 4 5
11
9 11 5
log 3 log 2log 3 log
5 11
5 5
−
5 log 3 log 11
+
9
8
log 2 log
9
+
9
8
1
log 2 log 5
2
3 1
18 6
−
÷
1
−
÷
Bài 2 Hãy so sánh :
2lne 8 ln
e
∨ −
Giải
a/ log 10 log 302 ∨ 5 Ta có : 2 2
log 10 log 8 3
log 10 log 30 log 30 log 36 3
b/ log 5 log 43 ∨ 7 Ta có : 3 3
log 5 log 3 1
log 5 log 4 log 4 log 7 1
2lne 8 ln
e
3
3
1
1
e
e e
e
Bài 3 Hãy chứng minh :
2
1
2
Giải
2
1
2
2
b/ 4log 7 5 =7log 4 5 Ta có : ( ) 5
Trang 17c/ log 7 log 3 23 + 7 > Ta có : 3 3 7 3
3
1
log 7
d/ log 5 2 log 3 2
e/ 1 log 3 log19 log 2
1 log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2
log19 log 2 log log
f/ log5 7 log 5 log 7
Bài 4 Hãy so sánh :
log e∨log π d.
Giải
a/Ta có :
3 1
>
>
log 9 log 17∨ Ta có :
1
log 9 log 17 3
9 17
< <
<
log e∨log π Ta có :
1
e
π π
< <
<
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I ĐẠO HÀM : Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau :
sinx-cosx x
−
−
−
= +
x
Giải
a/ y=(x2−2x+2)e x ⇒ =y' (2x−2)e x+(x2−2x+2)e x=( )x e2 x
4 '
−
−
−
+
Trang 18d/ ( 2 )
2
2
1
x
x
−
f/ y (1 lnx)lnx y' lnx 1 lnx 1 2lnx
Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau :
2
4 log
4
x
y
x
−
+
2 3
9 log
5
x y
x
+
1 log 2
x y
x
Giải
1 ln 2
x
−
− +
3
−
d/
2
ln10
II GIỚI HẠN Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
0
lim
x
x
→
0
ln 3 1 lim
sin 2
x
x x
→
+
0
ln 4 1 lim
x
x x
→
+
d
0
lim
2
x
x
x
+
→
−
1 1
x x
e x
→
−
0
ln 1 lim
2
x
x x
→
+
Giải
ln 3 1 3
sin 2
2
x x
x
x
+ +
4
( )
5
3
x x
e
e
+
−
1 1
x x x
+ −
Trang 19Bài 2 Tìm các giới hạn sau
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
→
+
b
0
lim 5
x
x
→
−
c
3
0
1 lim
x x
e x
→
−
d
1
→+∞
−
sin 3 lim
x
x x
lim
x
x
→
−
Giải
ln 2 1 2
tan tan
x x
x
x
+ +
( )
5
2
c/
3
d/
1
1
1
x
e
x
e/ lim0sin 3 lim 30 sin 3 3
3
2
2 2
5 2sin
2
4 5
25 2
x
Bài 3 Tìm các giới hạn sau :
a lim0 osx 2os3
sin
x
x
→
−
b
2
1
os
x→π c x
x
4
2 2cos lim
sin
4
x
x x
→
Giải
2sin 2 sin
b/
2
1
os
x→π c x
Đặt :
2
c
π
−
2
2sin
t
t t
c
0 2
tan
2
t x
t
t
π
π
→
→
c/ lim( 2 sin) 3
x
→ +∞ →
Trang 20d/
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x x
→
2 2cos
2 1 ost+sint
4
sin
4
c x
t x
π
t
−
Vậy :
4
2 2cos
2 sin
4
t o x
x
→