Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục – Diệp Tuân

Tài liệu gồm 156 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Diệp Tuân, phân dạng và hướng dẫn giải các bài tập chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục (Đại số và Giải tích 11 chương 4).

Trang 1

1 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

4 GIỚI HẠN

A L TH T I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 1 Định nghĩa Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó Bằng cách sử dụng các kí hiệu toán học, định nghĩa trên có thể viết như sau:

limu n     0   0, n0:nn0  u n  Kí hiệu: lim u n 0 hoặc limu n 0 hoặc u n 0 Ví dụ 1 Chứng minh dãy số  1 4 5 n n u n    sau đây có giới hạn là 0

Lời giải

2 Nhận xét limu n  0 limu n 0 Nếu  u n có u n 0, * n   thì limu n lim 00 Cho hai dãy số  u n và  v n Nếu   lim 0 n n n u v v       thì limu n 0 Đây là một nhận xét quan trọng để chứng minh giới hạn bằng 0 bằng định nghĩa.(giới hạn kẹp) 3 Các dãy số có giới hạn 0 thường gặp 1 lim 0 n  lim 1 0 n  0 limC 0 n  với C là hằng số 1 lim k 0 nn  k  lim 1 0 k n  k2, k  limq n 0q 1  4 Ví dụ minh họa Ví dụ 2 Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0 a)  1 3 2 n n u n    b) 3 sin 2 2 n n n u n   c).  1 cosn n n u n   d.) 3sin 2 4 cos 2 1 n n n u n    Lời giải

BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Trang 2

II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN 1 Định nghĩa Ta nói dãy số  u n có giới hạn là số thực L nếu limu nL0 Khi đó ta viết lim n n u L   , viết tắt là lim u n L hoặc limu n L Nhận xét: Để chứng minh dãy số  u n có giới hạn là số thực L ta chuyển về việc đi chứng minh limu n L0 limu n  a u na nhỏ bao nhiêu cũng được với n đủ lớn Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn  Ví dụ 2 Chứng minh rằng a) 3 3 lim 1 1 n n          b) 2 2 3 2 1 lim 2 2 n n n n         

Lời giải

Ví dụ 3 Chứng minh rằng a).lim 3.3 s in3 3 3 n n n         b).  2  1 lim 2 n  n n  Lời giải

Trang 3

2 Một số định lý Định lý 1 ( tìm giới hạn của hàm trị tuyệt đối hoặc căn thức) Giả sử limu n L Khi đó limu n  L và 3 3 lim u n  L Nếu u n 0 với mọi n thì L0 và lim u n  L Định lý 2 Giả sử limu n L, limv n M và C là một hằng số Khi đó   lim u nv n  L M limu v n nL M limCu nCL lim n n u L v M        với M 0 limcc (c là hằng số) Nhận xét Cho ba dãy số    u n , v n và  w n Nếu u n v n w n, n và limu n limw n a a,   thì limv n a (gọi định lí kẹp) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn  Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn 3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân  u n có công bội q và thỏa q 1 Khi đó tổng S  u1 u2   u3 u n  được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và 11  1 lim lim 1 1 n n u q u S S q q       Vậy cấp số nhân  u n có công bội q thỏa mãn q 1 thì 1 1 2

1 u S u u q      Ví dụ 4 Tính các tổng sau a) 1 12 1

3 3 3n S     b) 1 1   1 1 1 2 4 2 n n S        c) S 16 8 4 2     Lời giải

Trang 4

Ví dụ 5 Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số a) A0,353535 b) B5, 231231

Lời giải

III DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC

1 Dãy số có giới hạn 

Định nghĩa Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi

số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

Khi đó ta viết

 

lim u n   hoặc limu n  

Từ định nghĩa, ta có các kết quả

3

limn ; lim n  ; lim n  

2 Dãy số có giới hạn 

Định nghĩa Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số

hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó

Khi đó ta viết

 

lim u n   hoặc limu n   Nhận xét

Nếu lim u n   thì limu n 

Trang 5

Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần

đến vô cực

Nếu limu n   thì lim 1 0

n

u 

3 Các quy tắc tìm giới hạn vô cực

• Quy tắc nhân:

limu n limv n limu v n n limu n limv n  L 0 limu v n n

• Quy tắc chia

n

u v

4 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 6 Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

n

u   n  n n c)

2

1

n

u

n





4n 2 3 n

n

u     e)

2

10

n

u n   n

f)

3

n

u



Lời giải

Trang 6

B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA Dạng 1 Chứng minh dãy số có giới hạn là 0 1 Phương pháp  Cách 1: Áp dụng định nghĩa  Cách 2: Sử dụng các định lí sau: Nếu k là số thực dương thì lim 1k 0 n  Với hai dãy số  u n và  v n , nếu u n v n với mọi n và lim v n 0 thì limu n 0 Nếu q 1 thì lim n 0 q  2 Bài tập minh họa Bài tập 1 Chứng minh các dãy số  u n sau đây có giới hạn là 0

a) cos 4 3 n n u n   b) 3 1 cos 2 3 n n u n    c)   1 1 1 1 2 3 n n n n u     Lời giải

Trang 7

Bài tập 2 Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0

n

2 4.5

n

c) n n 2sin 2n



cos 5

n

n n

u









Lời giải

Trang 8

Bài tập 3 Cho dãy số  u n với

3

n n

n

a) Chứng minh rằng 1 2

3

n n

u u

  với mọi *

b) Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng 0 2

3

n n

     với mọi n * c) Dãy  u n có giới hạn 0

Lời giải

3 Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1 Kết quả của giới hạn lim sin 5 2 3 n n        bằng: A 2 B 3 C 0 D 5 3 Lời giải

Trang 9

Câu 2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để

1

2 cos

1

k

n n





Lời giải

Câu 3 Kết quả của giới hạn lim3sin 4 cos 1 n n n   bằng: A 1 B 0 C 2 D 3 Lời giải

Câu 4 Kết quả của giới hạn lim 5 cos 22 1 n n n         bằng: A 4 B 1 4 C 5 D 4 Lời giải

Câu 5 Kết quả của giới hạn 2 3 lim sin 2 5 n n  n        là: A  B 2 C 0 D  Lời giải

Câu 6 Giá trị của giới hạn  1

lim 4

1

n



bằng:

Trang 10

Lời giải

Câu 7 Cho hai dãy số  u n và  v n có   2 1 1 n n u n    và 2 1 2 n v n   Khi đó limu nv n có giá trị bằng: A 3 B 0 C 2 D 1 Lời giải

Dạng 2 Dùng định nghĩa chứng minh dãy số  u n có giới hạn hữu hạn L 1 Phương pháp Ta biến đổi limu n Lvề dạng tìm lim có giới hạn bằng 0 tức là chứng minh limu n  L 0 Kết luận limu n L 2 Bài tập minh họa Bài tập 4 Chứng minh: a) lim2 3 1 4 5 2 n n    b) 4.3 5.2 2 lim 6.3 3.2 3 n n n n    c)  2  lim n 2nn 1 Lời giải

Trang 11

Dạng 3 Tìm giới hạn của dãy  u n có giới hạn hữu hạn bằng quy tắc, định lý Bài toán 1 Dãy  u n là một phân thức hữu tỉ dạng     n P n u Q n  (với P n Q n   , là hai đa thức) 1 Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho k n với n là lũy thừa có số mũ lớn nhất của k P n  và Q n (hoặc rút k n là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n  và Q n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn Nếu k là số thực dương thì lim 1k 0 n  Nếu q 1 thì limq n 0 2 Bài tập minh họa Bài tập 5 Tìm giới hạn của dãy  u n biết: a) 2 2 2 3 1 5 3 n n n u n     b) 3 2 4 3 2 3 4 4 n n n u n n n       c).      4 2 2 2 3 2 1 1 3 2 1 n n n n u n n n       d) 2 1 21 2 2 3 n u n n n     e)         2 3 3 2 2 1 3 4 4 2 2 n n n u n n      f) 2 2 1 2 3 n n n u n n     Lời giải

Trang 12

Trang 13

 Bài tập 6 Tìm các giới hạn sau a) 2 2 4 2 lim 2 1 n n n n      b)  2 2 2 3 1 lim 2 1 2 3 1 n n n n n           

Lời giải

4 Câu hỏi trắc nghiệm Câu 8 Giá trị của giới hạn lim 2 3 4n 2n 1    là: A 3 4  B  C 0 D 1 Lời giải

Câu 9 Giá trị của giới hạn 2 3 2 lim 3 1 n n n n    bằng: A 2 B 1 C 2 3 D 0 Lời giải

Trang 14

Câu 10 Giá trị của giới hạn

3 4

lim

  là:

4 Lời giải

Câu 11 Giá trị của giới hạn lim 1 2 n n n   bằng: A 3 2 B 2 C 1 D 0 Lời giải

Câu 12 Cho hai dãy số  u n và  v n có 1 1 n u n   và 2 2 n v n   Khi đó lim n n v u có giá trị bằng: A 1 B 2 C 0 D 3 Lời giải

Câu 13 Cho dãy số  u n với 4 5 3 n an u n    trong đó a là tham số thực Để dãy số  u n có giới hạn bằng 2, giá trị của a là: A a10 B a8 C a6 D a4 Lời giải

Câu 14 Cho dãy số  u n với 2 5 3 n n b u n    trong đó b là tham số thực Để dãy số  u n có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là: A b là một số thực tùy ý B b2 C không tồn tại b D b5 Lời giải

Trang 15

Câu 15 Tính giới hạn 2 2 5 lim 2 1 n n L n     A 3 2 L B 1 2 L C L2 D L1 Lời giải

Câu 16 Cho dãy số  u n với 2 2 4 2 5 n n n u an     Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a là: A a 4 B a4 C a3 D a2 Lời giải

Câu 17 Tính giới hạn 2 3 3 3 lim 2 5 2 n n L n n     A 3 2 L  B 1 5 L C 1 2 L D L0 Lời giải

Câu 18 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để   2 4 4 5 3 lim 0 1 2 1 n an L a n n       A a0;a1 B 0 a 1 C a0;a1 D 0 a 1 Lời giải

4

L



Trang 16

2

Lời giải

Câu 20 Tính giới hạn         2 3 4 2 2 2 1 4 5 lim 3 1 3 7 n n n n L n n n        A L0 B L1 C 8 3 L D L  Lời giải

Câu 21 Tính giới hạn 3 3 1 lim 8 n L n    A 1 2 L B L1 C 1 8 L D L  Lời giải

Bài Toán 2 Dãy u n là một phân thức dạng  

 

n

P n u

Q n

 (với P n Q n   , là các biểu thức chứa căn của n)

1 Phương pháp

 Bước 1 Chia cả tử và mẫu cho k

n với n là lũy thừa có số mũ lớn nhất của k P n  và Q n  (hoặc rút k

n là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n  và Q n  ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn

Trang 17

 Bước 2 Khi đó ta có các kết quả sau

thì ta nói giới hạn đó có dạng vô định

Khi đó để tính tiếp giới hạn ta phải khử dạng vô định bằng các kỹ thuật sau:

 Đối với căn thức: nhân lượng liên hợp của bậc hai và bậc ba( thêm đuôi)

3 3

2 Bài tập minh họa

 Bài tập 7 Tìm giới hạn của dãy  u n biết:

Trang 18

a)

2 2

n

u

  



 b).

n

u

n





c) 3 2 3 2 2 4 4 4 1 8 2 3 16 4 1 n n n n u n n n         d). 3 2 3 4 4 3 16 1 n n n n n u n     

Lời giải

 Bài tập 8 Tìm giới hạn của dãy  u n biết: a) 2 3 5 n u  n  n n b) 2 9 3 4 3 2 n u  n  n  n

c) 3 3 2 3 n u  n  n n d) 3 3 2 8 4 2 2 3 n u  n  n   n

e) 2 3 3 2 4 3 7 8 5 1 n u  n  n  n  n  f)  4 2 3 6  1 1 n u  n n   n  Lời giải

Trang 19

Trang 20

 Bài tập 9 Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 lim 4 3 2 n n n n n n     b) 2 3 2 3 2 4 4 n n n n u n n n      c)  2 2  lim 2n 9n  n n 2n d)  2 3 2 3 2  lim n 2n2 n 8n 3 n n Lời giải

Trang 21

Trang 22

Trang 23

5 Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 22 Kết quả của giới hạn

2 1lim

Trang 24

1

42

1

n n

Trang 25

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Trang 29

Câu 44 Giá trị của giới hạn lim n n 1 n1

Trang 30

Câu 48 Giá trị của giới hạn

2

1lim

Trang 31

Bài Toán 3 Dãy  u n là một phân thức hữu tỉ dạng  

 

n

P n u

Q n

 ( trong đó P n Q n   , là các biểu thức chứa hàm mũ a b c n, n, n,…

1 Phương pháp

Chia cả tử và mẫu cho n

a với a là cơ số lớn nhất

Rồi áp dụng kết quả của giới hạn limq n 0q 1 

1 2 2 2lim

1 3 3 3

n n

   

Lời giải

Trang 32

32 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

3 Câu hỏi trắc nghiệm

2

2 5lim

3 2.5lim

Trang 33

1

lim3.2 4

Trang 34

Trang 35

Câu 61 Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc 0; 2018 để 

10

1 1lim 3

an n

Trang 36

Đưa dãy số  u n về dạng tổng quát rồi làm giống như ba dạng trên

Từ dãy cho dưới dạng truy hồi ta công thức tuy hồi ta đưa về công thức tổng quát

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên

hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn

n

n u

Trang 37

Trang 38

u

Lời giải

Trang 39

Lời giải

4 Câu hỏi trắc nghiệm

Trang 40

Định dạng
Số trang	156
Dung lượng	4,9 MB