Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Bài tập giới hạn Đại số 11 chương 3, 4, 5 Luyện tập giới hạn Toán 11 Xét tính liên tục của hàm số Bài tập giới hạn Toán 11 Phương pháp tính giới hạn dãy số Hàm số Tìm điểm gián đoạn của hàm số CHứng minh phương trình có nghiệm bằng hàm số liên tục
Trang 1Giới hạn dãy số - Giới hạn hàm số
Hàm số liên tục
Giới hạn dãy số Kieán thöùc caàn nhôù:
1) Ñònh ly ù1: (Ñieàu kieän caàn ñeå daõy soá coù giôùi haïn)
Neáu moät daõy soá coù giôùi haïn thì noù bò chaën
2) Ñònh ly ù2: (Tính duy nhaát cuûa giôùi haïn)
Neáu moät daõy soá coù giôùi haïn thì giôùi haïn ñoù laø duy nhaát
3) Ñònh ly ù3: (Ñieàu kieän ñuû ñeå daõy soá coù giôùi haïn) (Ñònh lyù Vaiôstrat)
Moät daõy soá taêng vaø bò chaën treân thì coù giôùi haïn
Moät daõy soá giaûm vaø bò chaën döôùi thì coù giôùi haïn
4) Ñònh lyù 4: (Giôùi haïn cuûa moät daõy soá keïp giöõa hai daõy soá daàn tôùi cuøng moät giôùi
haïn)
Cho ba daõy soá (un), (vn), (wn) Neáu *
N
n
ta coù v n u n w n vaø lim vn = lim
wn = A thì lim un = Ạ
5) Ñònh ly ù5: (Caùc pheùp toaùn treân caùc giôùi haïn cuûa daõy soá)
Neáu hai daõy soá (u n),(v n) coù giôùi thì ta coù:
) ,
0 ( lim lim
) 0 (lim lim
lim lim
lim lim ) lim(
lim lim
) lim(
*
N n u
u u
v v
u v
u
v u v
u
v u
v u
n n n
n n
n n
n
n n n
n
n n
n n
6) Ñònh lyù6: Neáu q 1`thì lim n 0
q
7) Toång cuûa caáp soá nhaân voâ haïn coù coâng boäi q vôùi q 1 laø:
S=u +u + +ự = u1 (q 1)
Trang 28) Số e: lim 1 1 2,71828
n n
9) Định lý7:
Nếu limu n 0(u n 0,nN*) thìlim 1
n
u
Ngược lại, nếu limu n thìlim 1 0
n
u
Giới hạn hàm số Kiến thức cần nhớ:
Một số định lý về giới hạn của hàm số:
1) Định ly ù1: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất
2) Định ly ù2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số)
Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khixa thì:
) 0 ) ( ( , ) ( lim )
( lim
) 0 lim ( , ) ( lim
) ( lim ) (
) (
lim
) ( lim )
( lim ) ( )
(
lim
) ( lim ) ( lim ) ( ) (
lim
x f x f x
f
x g
x f x
g
x f
x g x f x
g x f
x g x
f x
g x f
a x a
x
a x a
x
a x a
x
a x a x a
x
a x a
x a
x
3) Định lý 3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một
giới hạn)
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a) Nếu với mọi điểm x của khoảng đó g(x) f(x)h(x) và nếu limg(x) limh(x) L,
a x a
a
lim
Trang 34) Định lý 4: Nếu khi xa, hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x
đủ gần a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì L0 (hoặc L0)
5) Định lý 5:
Nếu lim0
a
x (và f(x)0với mọi x đủ gần a) thì
1 lim
x f
a x
Ngược lại, nếu
lim f x
a
) (
1
x
Giới hạn một bên :
1) Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số
f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho limxn = a thì limf(xn) = L Ta viết: L
a x
a x
2) Định lý: Điều kiện ắc có và đủ để f x L
a
lim làlim f(x),lim f(x)
a x a
tồn tại và bằng L
Các dạng vô định:
Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây Ta cần tìm:
) (
) ( lim
)
( 0 v x
x u
x
x
x
mà lim ( ) lim ( ) 0
) ( )
x x x x
x
) (
) ( lim
)
( 0 v x
x u
x
x
x
lim
) ( )
x v x
u
x x x x
x
)
( 0
x v x u
x
x
x
) ( 0
x x
lim
) ( 0
x v
x x
)
( 0
x v x u
x
x
lim
) ( )
x v x
u
x x x x
x
x
lim
) ( )
x v x
u
x x x x
x
Trang 4Bài tập áp dụng
GIỚI HẠN DÃY SỐ
Câu 1 Tính các giới hạn:
2
1 2
lim
/
1
n
n
4
1 3 lim /
2
n
n
2 3
1 5 lim / 3
n n
n n n
n n
2 2
2
3 2 lim
/
1
3 2
lim /
n n
n
n
) 3 )(
2 3 (
) 1 2 )(
1 ( lim / 6
n n
n n
1 3
2 lim
/
2
n n
n
n
1 3
2 lim /
3
n
n
) 2 )(
1 (
) 3 )(
2 ( lim / 9
n n
n n
n
Câu 2 Tính các giới hạn:
1
1 2 lim
/
1
2
2
n
n
2
5 2 lim /
n n
n
2 3
2 lim
/ 3
2
3
n n
n n
3 n2 n3 n
lim
/
2 3
1 2
lim / 5
3
2
n
n
n 3 n3 n2 n
2 lim
/ 6
Câu 3 Tính các giới hạn:
n n
n
3 2
1 lim
/
2
) 1 (
) 2 ( ) 1 ( lim / 2
n n
n
n 3/lim n2 n n2 1
3 lim(
/
4 n n n )
2
1 11 2
lim / 5
2
3
n
n
n
4 2
1 lim
/ 6
2
2 n
n
GIỚI HẠN HÀM SỐ
Câu 1 Tính các giới hạn:
1/lim(2 3)
2
x 2/lim(2 3 3 4)
1
1 4 lim /
2
1
x x
1
2 1
lim
/
4
x x
x
2
25 lim
/ 6
2
5
x
x
Câu 2 Tính các giới hạn:
Trang 5
1
2 3 lim
/
4
4
6 lim
/
1
2 3 3
1
2 2
2
x x x
x x x
x x
x
x
8
4 lim / 5
20
16 lim
/ 2
3 2
2
2 2
4
x x
x x x
x
x
9
3 lim / 6
3
3 4 lim / 3
2 3
2
3
x x x
x x
x x
Câu 3 Tính các giới hạn:
x x x
x x
x x
x
x
x
2
1 2 1 lim
/
7
4
2 3 lim
/
4
2
1 2 1 lim
/
1
0
2 2
0
2
2 4 lim / 8
3 3
2 2
3 lim / 5
3 9
4 lim / 2
3
2 1 0
x x x
x x x x
x x
x
25
3 2
lim / 9
3 4
4 7
2 lim / 6
3 2
3 7 2 lim / 3
2 3
5
3 1 1
x x
x x
x x
x x
x x x
Câu 4 Tính các giới hạn:
3 3
27 6
lim
/
7
2 2
2 lim
/
4
1
1 lim
/
1
2 3
2 4
3
2
2
2
3
1
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
3 3
0 1
2
2 3
1
2 3 2
1 1
lim / 8
4 5
3 2 lim / 5
4 3
4 2 lim
/ 2
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x
3 1 4
2 lim
/ 9
2 3
2 4
2 3 lim / 6
1 1
lim / 3
2
2 2
1
2
0
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
Câu 5 Tính các giới hạn:
x x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
5 1
5 3
lim
/
5
6 2
2 3 lim
/
4
) 1 )(
1 (
lim
/
3
3
3 4 lim
/
2
1 1
lim
/
1
4
2 2
2
2 3 2
3
2
3
3
0
2 3
1 lim
/ 10
3
1 1 lim / 9
2
3 2 1 lim / 8
1
1 2 lim
/ 7
2 3
1 lim
/ 6
2 3
1
3
0 4
2
2 3
1
2 3
1
x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
Câu 6 Tính các giới hạn:
Trang 6
3
5 1
lim
/
3
1 1
lim
/
2
2 3
7 11
8
lim
/
1
3
3
3
0
2 3
2
x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x
2
1 2 2
lim / 6
2
6 6
lim / 5
1
3 9
lim / 4
2 1
2 3
2
3
1
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
Câu 7 Tính các giới hạn:
3
2 2
3
2 5
2 3 2
) 4 3 (
) 4 1 )(
1 2 )(
2 (
lim
/
5
5 3
1 3 2
lim
/
4
1
1 2 lim
/
3
2
1 lim
/
2
3 2
1 lim
/
1
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
1 2
3 2 lim / 10
1 3
1 4 lim / 9
1
3 2 lim
/ 8
5 3
7 3 4 lim / 7
1 6
8 3 lim / 6
3 2 2
3 3 2 2 3 4 2
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x x
Câu 8 Tính các giới hạn:
x x
x x
x
2 1 4
4 1 3 2 lim
/
1
2
2
1
1 2 4 1 9
lim / 2
2 2
x x x
x
Câu 9 Tính các giới hạn:
3 1
2
2
3 3 2
1
3 1
1
lim
/
4
) (
lim
/
3
) 3 4 4 1 2
(
lim
/
2
) (
lim
/
1
x x
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x
6 5
1 2
3
1 lim
/ 8
) 1 1
( lim / 7
) 1 (
lim / 6
) 3
( lim / 5
2 2
2
2 2
2
3 2 3
x x x
x
x x x
x
x x
x x x
x x x x
Câu 10 Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:
Trang 7
2 0
0
0
0
2
4 cos 1
lim
/
4
sin
2 cos 1
lim
/
3
1 1
2 sin
lim
/
2
2
5 sin
lim
/
1
x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
2 0 0 2 2
0
3 0
6 cos 1 lim / 8
2
3 lim / 7
3
sin lim / 6
sin lim
/ 5
x x x
x tg x
x x
x tgx
x x x x
x x x
x x
x tg
x x
x
x
x x x
cos 2 1
3
sin lim / 12
sin
cos sin
1 lim / 11
cos 1 2 lim / 10
5 cos 1
3 cos 1 lim / 9
3
2 2
0
2 0
0
Hàm số liên tục
Kiến thức cần nhớ:
1) Hàm số liên tục tại một điểm:
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 (a; b) nếu: lim ( ) ( 0)
0
x f x f
x
Nếu tại điểm xo hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại xo
và điểm xo được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x)
Theo định nghĩa trên hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm x0 (a; b) nếu và chỉ nếu lim f(x)
o
x
x và lim ( )
0
x f
x
x tồn tại vàlim ( ) lim ( ) ( 0)
0 0
x f x f x
f
x x x
x
2) Hàm số liên tục trên một khoảng:
Định nghĩa:
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó,
nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy
Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó là liên tục trên khoảng (a; b) và lim f(x) f(a),
a
x
a
x
Trang 8 Lưu ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên
khoảng đó
3) Một số định lý về tính liên tục:
Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên
tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó
Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục
trên tập xá định của nó
Định lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
Hệ quả Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn
tại ít nhất một điểm c(a; b) sao cho f(c) = 0
Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b)
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Câu 1 Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
2 3
4 5 2
/
3 4 5 /
2 2
2 3
x x
x x y
b
x x x
y
a
2
2 sin cot
/
5 cos /
x tg
x gx
y d
x tgx
y c
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:
Câu 1 Cho hàm số:
1
2 3
2 )
(
2 2
x
x x
x x
) 1 (
) 1 (
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Trang 9Câu 2 Cho hàm số
2 4
2 1 )
x x
x x
) 2 (
) 2 (
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Câu 3 Cho hàm số
1 1
1 1 2 3 ) (
3
x x x
) 0 (
) 0 (
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 0
Câu 4 Cho hàm số
5 1
1 )
(
2
x
x x
) 1 (
) 1 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Câu 5 Cho hàm số
1 1
2 )
x x
ax x
) 1 (
) 1 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1
Câu 6 Cho hàm số
x
x x
f
2
3 2 1
1 )
) 2 (
) 2 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Câu 7 Cho hàm số
x
x x
x
x a
x f
1 1
2
4 )
) 0 (
) 0 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0
Câu 8 Cho hàm số
2
2 2 3 4
1 )
(
3
x x
ax x
) 2 (
) 2 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R
Trang 10Câu 9 Cho hàm số
2 3
2 4 3
2 )
(
2 3 2
x x x
ax x
) 2 (
) 2 (
x
x
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R
Câu 10 Cho hàm số
x
x x
1 )
) 0 (
) 0 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:
Câu 1 CMR các phương trình sau đây có nghiệm:
0 100 10
/
0 10 9 6 /
0 1 3 /
3 5
2 3
4
x x
c
x x x
b
x x
a
Câu 2 CMR phương trình 2x36x10 có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2) Câu 3 CMR phương trình x33x10 có 3 nghiệm phân biệt
Câu 4 CMR phương trình 3x44x36x212x200 có ít nhất hai nghiệm
Câu 5 CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:
0 ) 5 ( ) 9 (
/
0 3 2 ) 2 )(
1 (
/
2
x x x
m
b
x x
x
m
a