Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu

Tài liệu gồm 20 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Hữu Hiếu trình bày một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số, bao gồm các định nghĩa, định lý, các dạng toán và bài tập có hướng dẫn giải.

Trang 1

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn

Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa 1

Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u n u n1

Dãy số  u n được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có u n u n1

2 Định nghĩa 2

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

, *

n

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

, *

n

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho

n

mu M  n

3 Định lý 1

a Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

b Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

4 Định lí 2

a Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới 

b Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới 

5 Định lý 3

a Nếu một dãy  u n hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ  u n cũng hội tụ đến a

b  u n hội tụ đến a   u 2n và u2n1 hội tụ đến a

6 Định lý 4

a Nếu lim n 0

n u

  và u n   0, n thì lim 1

n n

u

b Nếu lim n

n u

   và u n   0, n thì lim 1 0

n n

u

7 Định lý 5.(Định lý kẹp giữa về giới hạn) Nếu với mọi nn0 ta luôn có u n x n v nvà

limu n limv n a thì limx n a

8 Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn

Bài toán Chứng minh dãy số  u n xác định bởi 1n  n 1 ; 2

u a

u f u  n





tìm giới hạn đó ( f x  là hàm số liên tục)

Phương pháp giải

a) Dãy  x n bị chặn Nếu f x  là hàm số tăng trên  a b; thì dãy  x n đơn điệu và hội

tụ đến L là nghiệm của phương trình f x x

Trang 2

b) Nếu f x  là hàm số nghịch biến thì các dãy con   x2n ; x2n1 của dãy  x n ngược chiều biến thiên

Nhận xét: Nếu dãy  x 2n hội tụ đến L, dãy x2n1 hội tụ đến K:

Với LK thì dãy  x n không có giới hạn;

Với LKthì dãy  x n có giới hạn là L

II BÀI TẬP

1 CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN

Bài 1 Cho dãy số (u ) xác định bởi công thức n

1

*

3

n

u

Chứng minh

dãy số có giới hạn Tính limu ? n

Lời giải

Theo công thức xác định dãy ( )u , ta có n u n 0; n *

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

3

Do đó: u n 33 ; n *

Mặt khác:

3

0

n

u

Vậy ( )u là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn n

3 3

Kết luận limu n 33

Bài 2 Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3 Chứng minh dãy số

0

1

1 1

; 1, 2, 3

3

n

u

u 







có giới hạn và tìm giới hạn đó

,

n n

n

x

b) x n : x1 2;x n 1 2 x n

;

n

d) x n : x1 13;x n 1 12 x n

;

Trang 3

1

1 2

n n

n

u

1 1

1

0; 1

n n

x

h) x n :

1 1

1

13

20 , 1, 2

n

x

i) x n :

1 1

1

2

n

x

j) x n :

1

1 2 1

1

n n

n

x

u

l) x n : x1 0;x n 1 6 x n n; 1

3

n n

n

x

n) x n : x1 1;x2 2;x n 1 x n x n 1;n 2

2 n 2 n 2 n

, 0;1

f x x x x , f x' 0; x 0;1 từ đó suy ra f x tăng trên 0;1 Chứng minh u n 0;1 bằng quy nạp Do f x tăng nên f u n f u n 1 &u n u n 1 cùng dấu, và do

đó cùng dấu với 2 1 3

0 16

u u Từ đó suy ra u n là dãy giảm và bị chặn dưới

q) x n : x1 2;x n 1 2 x n n; 1 HD: Xét hàm số f x 2 x x; 0;2

1 2; 1 2 ;n 1

u n

x

4 3

n

x HD: Xét hàm số

1

; 0;1

4 3

Trang 4

n

x

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1 Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 1

2 1

1 2

, 1 (1)

u

 







Tìm giới hạn sau:

n





Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u n 1,  n 3

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

2

u  u u    u n tăng

Tính tổng:

2 1

1

( 1, 2, ) (*)

1

n



Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn

Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 2

0

aa   a a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

n

u



Vì thế từ (2) ta suy ra:

 Vậy

n





Bài 2 Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 1 2

1

2

1, 1 (1)

u







Trang 5

Tìm giới hạn sau:

1 1

n



Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh được rằng: u n 2,  n 1

 Xét tính đơn điệu của  u n Từ hệ thức (1) ta suy ra được

 n ,  2

u  u  u   , vậy  u n tăng

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

  1

1

1 1 1 ( 1, 2, )

n n

n

u

u n







1

u u  u  u 



Giả sử lim n

  thì a2.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2 2

aa   a a  a   a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

n

u



1



 Vậy

1 1

n



Bài 3 Cho dãy số u n xác định bởi

1

2 1

3 1

4 , 1; 2;3

5

u







a) Chứng minh dãy số u n tăng nhưng không bị chặn trên ;

b) Đặt

1

1 , 1, 2,3

3

n

k k

u





Bài 4 (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số  x n xác định bởi

2

1 2012; n 1 n 5 n 9

x  x  x  x  với mọi n nguyên dương

a) Chứng minh  x n là dãy số tăng;

b) Chứng minh  x không có giới hạn hữu hạn; n

c) Xét dãy  y n xác định bởi

1

1 2

n n

k k

y

x





 Tìm limy n

Trang 6

Lời giải a) Xét hiệu:x n1x nx n25x n 9 x n (x n3)2 0

 Do x12012 3 nên x n1x n 0 suy ra dãy đã cho là dãy tăng

b) Giả sử dãy ( )x n có giới hạn hữu hạn, đặt limx n a a( 2012)

Từ công thức truy hồi 2

Lấy giới hạn 2 vế, ta được: a a 25a  9 a 3 (không thỏa mãn)

Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn

c) Ta có:

1

Do đó, ta có:

n n

y



Mà limx n   nên 1

2009

n

Bài 5 Cho dãy số u n 1

1

; 1, 2,

u

n

1

n n

S

u Tìm nlim S n

Lời giải

Ta có u n 1 1 u u u n1 2 n ( 1);u n 1 u u u1 2 n 1; n 2 , suy ra

1

n

u

S

Kết hợp với giả thiết suy ra

1

1 2

1

n

S

u

Ta có

1

Mặt khác u n 1 u n 1 u u u u n 1 2 n 1 1 0 hay u n tăng nên

Bài 6 Cho dãy số x n :x1 1,x n 1 x x n n 1 x n 2 x n 3 1 Tính

1

1 lim

2

n n

i x i

Trang 7

Lời giải

Ta có x2 5 và x n 0 với mọi n1, 2,

Từ đó suy ra

1

2

1

Do đó

1

1 2

n n

i i

y

n

Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp 3n 1

n

lim

2

n

n y (vì do (2) 1 3n

n

Ta có thể chứng minh limx n với cách khác:

Dễ thấy x n là dãy tăng, giả sử limx n a(a 1)

Nên ta có a a a( 1)(a 2)(a 3) 1

Suy ra a2 a a 1 a 2 a 3 1 hay a4 6a3 10a2 6a 1 0

Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãna1 Vậy limx n

Bài 7 Xét dãy số x n ; n 1, 2, 3, xác định bởi x1 2 và 1 1 2

2

1, 2, 3,

n

S

Lời giải

Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau:

Cho dãy u n thỏa mãn

1

( )

n

u

Ta chứng minh

n n

S

Thật vậy

Ta có

1

( )

n

u

2 1

n

Từ đó

1

Trang 8

Khai triển và ước lượng được

………

1

Do đó

n

S

Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có

1

n

S

1 –

2

x x x > 0 n N* nên dãy x n là dãy tăng Giả sử lim n

> 2) Thì 2a a2 1 suy ra a = 1 Vô lý

Vậy lim n

Nhận xét Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c khác nhau để được các bài toán mới Chẳng hạn:

Bài 8 Cho dãy số x n được xác định bởi: x1 = 1;

2012 1

2012

n

x

dương Đặt

n n

n

u

Lời giải

Ta có

20 2 1

1

20

–

12

n

Suy ra

2011 1

2 1 2 1 (2 1)(2 1) 1006(2 1)

2011

i

x

Mặt khác: x n 1 – x n 0 nên dãy (xn) là dãy số tăng n 1 Nếu (xn) bị chặn thì limxn tồn tại

Trang 9

Đặt limx n a a 1 và

2012 ( 1) 2012

a

a a (vô lý) Suy ra x n không bị chặn trên

hay limx n suy ra lim

1

2x n 1=0 Suy ra

1006 lim

3

n

Bài 9 Cho dãy số thực  u n xác định bởi:

1

2 1

1

, 1 2012

n

u









n

u





Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u n 1,  n 1

 n ,

2

2012

n

u

u  u   , vậy  u n tăng

2

1

1 1

2012 2012

2012

2012 1 1 1, 2, (*)

n

u











1 2

2012 2012 1 1 (2)

n

u

 

Giả sử lim n

  thì a1.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2

0 2012

a

a   a a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

n

u



 Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 2

1

u

Trang 10

n

u





1 2 1

2 2011

, 1 (1) 2012

n

u







n n

n

u





Lời giải

 n ,  

1

1 0 2012

n n

u u

   , vậy  u n tăng

 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2

1

2011

2012

n



1

2012 1 1

n

u

 



  

Giả sử lim n

  thì a2.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: ( 1) ( 1) 0 0 1

2012

a a

a   a a a     a a

(vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

n

u





1

n

u

n n

n

u





Trang 11

1 2

4

, 2 (1) 2

n

u

 







Tìm giới

n



Lời giải

0

Suy ra:  u n tăng

 Tính tổng:

  2

1

1 ( 1, 2, ) (*) 4

n

u



 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

2 2 2 2

n

Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2 4

0 2

(vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

lim n lim 1 0

n

u

     

 Vì thế từ (2) ta suy ra: 2 2 2

n



1

2012

2011 2013 1 0, 1 (1)

u







giới hạn sau:

n



Lời giải

Trang 12

 2

1

1 0 2010

n

u

     u n tăng

2 2

2 1

1

2011 1

2013

2011 1

1 1

2013

1

2013

n

u



1

(n=1,2, ) (*)

2012 2012 2012

n

Giả sử lim n

  thì a2012 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 2

2011 2012 1 0 1

a  a a   a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

n

u



 Vậy

n



2 1

1 2012

2012 , 1 (1)

u

 







Tìm giới hạn

n

u





Lời giải

Trang 13

u  u  u    u n tăng

2

1

2012

2012 (n=1,2, ) (*)

201

2

n

u u

u

u u





1

2012

n

u



Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có: 2

a a   a a (vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

n

u



2012

n

u

n

u





1 2 1

3

2009 2

, 1 2012

n

u







1

n n

n

u





Lời giải

2012

n

2012

Vì u1 = 3 nên 3 = u1< u2<u3<…< un, suy ra dãy {un} tăng

 Giả sử dãy {un}bị chặn trên  L : limun= L ( L > 3)

Suy ra limun 1= lim

2

2012

hay L =

2

2009 2 2012

 L2

-3L+2 = 0L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3)

Do đó {un} không bị chặn trên hay lim un= + hay lim 1 0

n n

u

Trang 14

 Biến đổi (1) (un-1)(un-2) = 2012(un1-un)



1

1 2

n n

u

u 



1 2

n

1 2

n

u   ) (*)

Sn=

1 1

1 2

n i

i i

u u



 = 2012 ( 1-

1

1 2

n

u   )

 Vậy lim Sn= 2012 

Bài 15 Cho dãy số (x n) xác định như sau x1 3 và

3

6

n n n

n n

x





  với n1, 2, Với

mỗi số nguyên dương n, đặt 2

1

1 4

n n

i i

y

x





 Tìm limy n

Lời giải

2

6

n

n n

x



 

Do x13 nên bằng qui nạp chứng minh được x n 2 với mọi n *

2

0 6

n

n n





   (x n) là dãy tăng (2)

Giả sử dãy (x n)bị chặn trên   a 3 để limx n a Khi đó 3

2 2

6

 

Do đó: limx n   (3)

1

 2

1

n n

y

Từ (3) và (4) suy ra : limy n 1

Bài 16 Cho dãy số (x n) xác định như sau

1

2017 2

9

2

x

 







Với mỗi số

nguyên dương n, đặt

1

1 1

n n

k k

u

x





 Tính limu n

Lời giải

 Xét hàm số ( ) 2 2 5 9

2

f x  x  x Khi đó f x( ) x 2 9

2

Vậy hàm số có một điểm bất động là 3

2

Từ đó suy ra

1

n

x





1

n



Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,24 MB