Giới hạn của dãy số hàm số ôn thi THPT Toán

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: · Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng 0.. · Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì

www.MATHVN.com

I Giới hạn của dãy số

d) Nếu lim u n = a thì lim un = a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1

1

uq

- (q <1)

1 Giới hạn đặc biệt:

lim n = +¥ limnk = +¥(k΢+)limqn = +¥(q>1)

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:

· Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n

VD: a)

11

-· Dùng định lí kẹp: Nếu un £vn, "n và lim v n = 0 thì lim u n = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

· Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng 0

· Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu

· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ là +¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – ¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a)

2 2

1lim

+

14.3 7lim

2.5 7

++

1 2.3 7lim

2 2

1 2 2 2lim

1 3 3 3

n n

Bài 5: Tính các giới hạn sau:

g)

2 2

n

+

1

1 ( 1)2

u

ì =ï

cx

0

1lim

x ® - x= -¥;

0

1lim

nếu L và g x cùng dấu

f x g x nếu L và ® g x trái dấu

( )

x x

P x

Q x

® với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu

P x

Q x

®±¥ với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

– Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp

-3 Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường cĩ chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

x

xx

d) 1 4

1lim

1lim

2

x

xx

1lim sin

1lim

1lim

1x

xx

®-++

1

m n x

xx

®

-

lim

1

n x

2x

x

®+

-d)

2

2 2lim

16 4

x

xx

®

+

3 2lim

3x

lim

1x

1 2 1 4 1lim

1lim

1x

x x

®+¥

++ +

g)

2 2

lim

5x

2x

2x

xx

4lim

2

x

xx+

®

2lim

khi xx

· Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 ta thực hiện các bước:

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ

3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

4 · Hàm số đa thức liên tục trên R

· Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

5 Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0 Khi đĩ:

· Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x 0

· Hàm số y = ( )

( )

f x

g x liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ¹ 0

6 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c Ỵ (a; b): f(c) = 0

Nĩi cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít

a b f x Khi đĩ với mọi T

Ỵ (m; M) luơn tồn tại ít nhất một số c Ỵ (a; b): f(c) = T

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

1( )

Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x5-5x3+4x- =1 0 cĩ 5 nghiệm trên (–2; 2)

Bài 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) m x( -1) (3 x- +2) 2x- =3 0 b) x4+mx2-2mx- =2 0

c) a x b x c b x c x a c x a x b( - )( - +) ( - )( - +) ( - )( - ) 0= d) (1-m x2)( +1)3+x2- - =x 3 0e) cosx m+ cos2x=0 f) m(2 cosx- 2) 2sin 5= x+1

Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luơn cĩ nghiệm:

a) ax2+bx c+ =0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax2+bx c+ =0 với a + 2b + 5c = 0 c) x3+ax2+bx c+ =0

Bài 10: Chứng minh rằng phương trình: ax2+bx c+ =0 luơn cĩ nghiệm x Ỵ 0;1

+

n n

®-++ + i) x

xx

2 2 1

2

2lim

2 0

8 3lim

2

1 1lim

3 2

2 0

lim

2+

lim

1+

lim

( 2)-

®

xx3

lim3

lim

( 3)-

1lim

®+¥

+ + + c) x

f x

khi x2

sin( )

khi x x

Bài 8 Chứng minh rằng phương trình:

a) x3+6x2+9x+ =1 0 có 3 nghiệm phân biệt

b) m x( -1) (3 x2- +4) x4- =3 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m

c) (m2+1) –x4 x3–1 0= luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng (-1; 2) với mọi m

d) x3+mx2- =1 0 luôn có 1 nghiệm dương

e) x4-3x2+5 –6 0x = có nghiệm trong khoảng (1; 2)

Bài 9 Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: a b c

m+2+m+1+m=0 Chứng minh rằng phương trình: f x( )=ax2+bx c+ =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c ¹ 0 Với c ¹ 0 thì f f m c

21

3n 2n 1lim

−+++

n 5n

−+

2 2

2n nlim

n + + +

n 1 3 (2n 1) lim

3 3 3 n n 1

1 2 n

4

+ + + + =

7 3.5

−+

( 3) 5lim

7x 11lim

x

xx

3 x

x 5x 1lim

x 16lim

x 6x 8

→−

−+ + 20.

x

xlim x 1

3 2

x 3x 10lim

x 1

x 4x 3 lim

→

−

2 2

x 3x 4lim

1 x 1

x 1lim

→−

++ +

x 1lim

→−

++ −

2 2

x 3x 10lim

x 4x 3 lim

lim2n 1

n 3

+ +

n+ + + +

n n 3 4n 7lim

3n 3n 1lim

5n 7

-+

46, lim( n2+ + -n 5 n) 47, lim( 4n2-3n 1 2n+ - ) 48, lim( n2+ -2 n n)

49, lim( n2+ -2 n) 50, lim( n2-3n 1 2n+ - ) 51, lim( n2+4n 2 n 2+ - + )

52, lim( 2n2+ -1 2n2+ + n 1) 53, lim n( n 3+ - n 1+ ) 54, lim n 5+ ( 2n 3+ - 2n 1- )

55,

2

1lim

lim cos



24

11

ax x



0

1 cos cos 2 cos 3 cos

3

sin 3 lim

2 0

cos cos

lim sin tan

1 2

x

x

cot lim

n n

p p 6)

 12

HD + a2 1 3a a 1 3

a

+ = ⇔ + = và x k+1 =x x1 k −x k−1

Bài 4 Giả sử cosθ là số hữu tỉ Chứng minh rằng với ∀ ∈n  , * cos n θ cũng là số hữu tỉ

HD + cos(n+1)θ =cosn θcosθ −sinn θ.sinθ

+

=+ a) Viết 5 số hạng đầu của dãy b) Tìm n sao cho 1

n

n n u n n

*Tìm công thức tổng quát của dãy số

1 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=5 và un+1=3.un ,∀ ∈n  Chứng minh rằng: u* n=5.3n-1

2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và un+1=3.un + 2n,∀ ∈n  *

Chứng minh rằng: 1 5.3 1

n n

u = − − +n −

3 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và un+1=3.un +1 2 , *

2

n n



Chứng minh rằng: un=1( 1 )

32

n n

− +

*Xét tính đơn điệu của dãy số

1 Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

n

n u

n

=+ ; d)

( 1)2011

n n

u n

−

=+

2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=3 và un+1=5

3.u1 ,

*

n

∀ ∈ a) Chứng minh rằng dãy (un) tăng; b) Tìm n để un > 10000

3 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1và un+1=2 3

3

n

u + ,∀ ∈n  *a) Chứng minh rằng (un) bị chặn bởi 3; b) Chứng minh (un) là dãy tăng

3 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3, un+1 =

2

*2

,2

n n

u u

+ ∀∈ Chứng minh dãy (un) giảm

n

u

n

++ −

=+ + − ; d)

1

n n

u n u

+ − ; b) Tính tổng

1

n i i

3445

S S

i i

1 Cho dãy số (un) xác định bởi: un+1=3.un – un-1 + 3 ,∀ ≥n 2

Chứng minh rằng dãy vn =2.un – un-1 là một cấp số cộng Xác định v1 và d của (vn)?

2 Cho dãy số (un) thoả mãn: un – un+1 + 3= 1

b) Từ đó, tìm số hạng tổng quát của dãy (un) biết u1 = 2?

3 Chứng minh rằng trong ∆ABC: cotA, cotB, cotC thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a2, b2, c2 thứ tự lập thành cấp số cộng

*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng

1 Cho cấp số cộng (un) Chứng minh các hệ thức sau:

−h)

(i) a2 + 2bc = c2 + 2ab; (ii) 8b3 – a3 – c3 = 6abc

3 Cho các số a, b và a+b khác 0 sao cho 1, 1 ,1

a a b b+ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính tỉ số

2 2

3 Cho a, b > 0 Hãy chen 5 số giữa hai số b ; a

a b để dãy tạo thành là một cấp số nhân?

4 a.Tìm x, y biết rằng x, y, 12 lập thành một cấp số nhân và x, y, 9 lập thành một cấp số cộng theo thứ tự? (ĐS: (3;6) và (27;18))

b Tìm x, y biết rằng 1, x2, y2 lập thành một cấp số cộng và 2, x+2, y-3 lập thành một cấp số nhân theo thứ tự?

5 Tìm x biết rằng ba số cos , sin , cos

− + − + + − ; c) C = 1 + 2.3 + 3.32 + …+ 2011.32010 (HD: 3C–C=2C)

d) D =

2 2

1 Chứng minh dãy số (un) sau là một cấp số nhân: un = 3 1

2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 2, un+1 = 3 + 4un

a) Đặt vn = un + 1 Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số nhân? Tìm công thức của vn ?

b) Tìm công thức tổng quát của un ?

3 Chứng minh rằng:

a) Nếu x, y, z lập thành một cấp số nhân thì xy, y2, zy cũng lập thành một cấp số nhân

b) Nếu bốn số dương x, y, z, t lập thành một cấp số nhân thì ba số xy, yz, zt cũng lập thành một cấp

+ là một cấp số nhân và tính công bội của nó?

*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân

1 Cho (un) là một cấp số nhân với công bội q Chứng minh rằng:

a) u u1 n =u u k n k− +1,1≤ ≤k n; b) Sm + qm.Sn = Sn + qn.Sm , với mọi m,n

2 Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân Chứng minh:

a) (x+y+z)(x-y+z)=x2 + y2 + z2; b) x2 + 4z2 – 4xy + 8yz = (x – 2y – 2z)2;

quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống Trong các kì thi HSG quốc gia,

IMO (Olympic toán học quốc tế), hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học các bài

toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được đánh giá ở mức độ khó Các bạn học sinh cũng

đã được làm quen với dãy số từ rất sớm, từ hồi tiểu học chúng đã được làm quen với các bài toán

về dãy số như: tìm quy luật của một dãy số đơn giản,…

Đây không phải một giáo trình về lí thuyết dãy số mà chỉ là một chuyên đề nhỏ trình bày mộtvấn đề nhỏ trong lĩnh vực dãy số Tập tài liệu này gần như một bài viết mở, như một cuộc traođổi, trò chuyên, trình bày con đường đi tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số cơ bản,

từ đó ứng dụng để giải một số bài toán

Do đây là chuyên đề đầu tay của tôi, nên nội dung cũng như cách trình bày trong tài liệu nàychắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong bạn đọc thông cảm và có ý kiến đóng góp để bài viếtđược hoàn thiện Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi về địa chỉ hòm thư:

ibelieveicanfly@ymail.com

Trần Duy SơnXuân kỷ sửu 2009

 CSC – Cấp số cộng

 CTTQ – Công thức tổng quát

Đi tìm công thức tổng quát dãy số……… 5

Sử dụng phép thế lượng giác để xác định CTTQ dãy số……… 16

dạng dãy số bản Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một bài tập đơn giản trong sách giáo khoa sau:

Ví dụ 1: (Bài 45, trang 123, Đại số & Giải tích 11 nâng cao)

Cho dãy số( un)xác định bởi:

1 2

2

n n

( un)và cho số hạng đầu tiên u1  2nên ý tưởng của chúng ta sẽ là tìm cách đưa( un)về mộtCSC hoặc CSN để dễ dàng liên hệ với u1đã cho

Giải:

Ta viết lại( un) : 2 un  un1 1từ đó ta sẽ tìm cách đưa về CSN Nhưng một rắc rối nhỏ là ở vếphải của công thức truy hồi có số 1 Bây giờ nếu đặtun  vn  d và thay vào dãy ta được:

12( vn  d )  vn   d 1.Từ đó nếu 2 d     d 1 d 1thì( ) vn sẽ là một CSN với công bội

1 1

Từ ba ví dụ trên, chúngta có thể phát biểu bài toán tổng quát sau:

(cách giải tổng quát sẽ nói tới trong phần Phương trình sai phân tuyến tính)

Bài toán tổng quát 1:

Cho dãy( un)được xác định bởi 1

1

1 1

1

( 1) (khi 1)

1 (khi 1) 1

Một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) kể từ lúc tròn hai tháng tuổi cứ mỗi tháng

đẻ ra một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) Giả sử từ lúc đầu tháng giêng có mộtđôi thỏ sơ sinh., hỏi đến đầu thángncó bao nhiêu đôi thỏ

Bài toán Fibonacci, trích cuốn Liber Abaci (sách về toán đố).

Ý tưởng:

Đây là một bài toán đố đơn thuần, để tiện cho việc giải toán, ta sẽ tìm cách viết lại đề bài.GọiFnlà số đôi thỏ sau ntháng Thì F1 1, F2  1.Ta dễ thấy đến tháng ba, đôi thỏ ở thánggiêng đẻ còn đôi thỏ sinh ra ở tháng hai mới 1 tháng tuổi nên chưa đẻ nên cóF3    2 1 3đôithỏ, đến tháng thứ tư thì đôi thỏ ở tháng giêng và tháng hai đẻ nên cóF4    3 2 5đôi thỏ Cứtiếp tục suy diễn như vậy ta suy ra:Fn  Fn1 Fn2.

Dãy( Fn)được xác định F1 1, F2  1vàFn  Fn1 Fn2   n 3.Tìm CTTQ của( Fn).

Ý tưởng:

Không như những bài toán đã gặp ở trên, bài toán này chúng ta gặp một công thức truy hồiliên quan tới 3 số hạng của dãy Ý tưởng của chúng ta bây giờ sẽ là tìm cách biến đổi công thứctruy hồi đó về dạng đơn giản hơn chỉ liên quan tới 2 số hạng của dãy

 Bài toán trên được Leonardo Pisano (khoảng 1170-1250) hay còn gọi là Fibonacci phát

biểu lần đầu tiên ttrong một cuốn sách của mình tên là Liber Abaci dưới dạng một bài toán đố Dãy Fibonacci là một dãy số có rất nhiên ứng dụng trong toán học, kinh tế, sinh

học, hội họa,… Có rất nhiều tính chất tuyệt đẹp của dãy Fibonacci nhưng trong khuôn

khổ của tập tài liệu không thể nói đến được, hi vọng có thể cùng các bạn trao đổi về dãy

Fibonacci trong một chuyên đề khác!

 Công thức chúng ta vừa tìm được còn có tên là công thức Binet do nhà toán học Pháp

Binet (1786 – 1856) tìm ra đầu tiên.

Cho dãy( un)được xác định bởi 1 1 2 2

Bài toán tổng quát 3:

Cho dãy( un)được xác định:u1 2, un1 2 un  3 un2  2 Tìm CTTQ của( un)

Bài toán tổng quát 4:

Cho dãy( un), ( vn)được xác định bởi:

Từ đây ta đưa được về dạng như Bài toán tổng quát 2.

Ngoài việc tìm CTTQ của những bài toán cho trước, chúng ta cũng có thể tự tổng quát một

số dạng dãy số khác Chúng ta sẽ cùng nhau xét một ví dụ: xây dựng phương trình phi tuyến bậc cao từ nghiệm của một phương trình bậc 2.

 Trong các phần tiếp theo, tôi sẽ giới thiệu một số bài toán mà trong quá trình giải có sửdụng kết quả của phần này Nhưng trước tiên, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu một kháiniệm rất thú vị sau!

Trong phần này, tôi sẽ giới thiệu vơi các bạn khái quát về phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai.

1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một (bậc nhất)

Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng:

*

u   au   bu  f n   n Trong đóa b ,  0, là những hằng số và f n ( )là biểu thức của ncho trước

Phương pháp giải:

Giải phương trình đặc trưng a    b 0ta tìm được Giải sử: un  u*n  u ˆntrong đó: u*n

là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất aun1 bun  0vàu ˆnlà nghiệm riêng tùy ýcủa phương trình không thuần nhất aun1 bun  f n ( ) Vậy un*  q n1(qlà hằng số sẽ xácđịnh sau) Để xác định u ˆnta làm như sau:

i Nếu  1thì u ˆnlà đa thức cùng bậc với f n ( ).

ii Nếu  1(khi đó dãy ( un)là CSC) thì u ˆn  n g n ( )trong đóg n ( )là một đa thức

cùng bậc với f n ( ).

Thay u ˆnvà phương trình, đồng nhất hệ số ta sẽ tính được các hệ số củau ˆn

2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình sai phân dạng:

*

u     au   bu  cu   f n   n Trong đó  , , , , a b clà các hằng số khác, a  0và f n ( )là biểu thức của ncho trước

Phương pháp giải:

Giải phương trình đặc trưng a 2    b c 0ta tìm được 

i Nếu 1, 2là hai nghiệm thực bằng nhau:  1 1  thì: un   A  B n  ntrong đó

,

A Bđược xác định khi biết u u1, 2

iii Nếu là hai nghiệm phức, giả sử:    x iythì:   r (cos   i sin )  và

 cos sin  ,

n n

suy luận đó rất tự nhiên, trong sáng và hoàn toàn không cần tới một công cụ cao cấp như

phương trình sai phân tuyến tính phải không các bạn !

 Phương trình sai phân tuyến tính hay một số công cụ khác (ví dụ: hàm sinh) là những

khái niệm thuộc toán học cao cấp, có nhiều ứng dụng trong việc tìm CTTQ của dãy số.Nhưng để đảm bảo tính sơ cấp của tập tài liệu, những khái niệm đó không được đề cập tạiđây, rất mong bạn đọc thông cảm!

P/s: Nếu các bạn muốn tìm hiểu về những khái niệm nói trên có thể tham khảo trong một số tài

liệu như:

[1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) - Chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, NXB Giáo Dục 2008.[2] Các diễn đàn:http://maths.vn, http://diendantoanhoc.net,

Nhiêu công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ thực hiện phép thế lượng giác Chúng ta hãy cùng nhau xét những ví dụ sau.

Ví dụ 8:

Hãy tìm cách biểu diễn 2  2   2 dưới một dạng khác

Ý tưởng:

Đây là một bài toán kinh điển trong lượng giác, nếu tinh mắt một chút ta có thể dễ dàng đưa

nó về một bài toán dãy số, cách làm đó như sau:

 (các bạn có thế dùng chứng minh quy nạp để kiểm tra lại)

Tiếp tục ý tưởng dùng phép thế lượng giác, liên tưởng tới công thức

To be continue…

17

quả của các phần trước.

số huy chương còn lại Những ngày còn lại được tiếp tục tương tự như vậy Ngày sau cùng cònlại n huy chương để phát Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và được phát trong bao nhiêungày?

Ý tưởng:

Thoạt nhìn ta thấy đây chỉ là một bài toán đố đơn thuần, nhưng nếu “nhạy cảm” một chút ta

có thể biến nó về một bài toán dãy số Nếu gọiuklà số huy chương phát trong ngày thứ k thì:

To be continue…