Quy hoạch tuyến tính

Trang 1

Tiểu luận về bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính Người viết: Tô Thanh Hiền

MỞ ĐẦU PHẦN I: LÝ DO.

Loài người xuất hiện trên trái đất cách đây hàng triệu năm, nhưng chỉ cách đây khoảng 5 hoặc 6 nghìn năm con người mới bắt đầu có những hoạt động trí óc

Từ khi ngôn ngữ ra đời con người đã biết đến những khái niệm cơ bản ban đầu về toán học Cùng với sự tiến bộ về kinh tế - xã hội của loài người, đã thút đẩy toán học từng bước phát triển nhảy vọt Nhất là khi con người biết tạo ra sản phẩm cần thiết để phục vụ cho nhu cầu của đời sống xã hội thì việc trao đổi hàng hóa cần có

sự tính toán

Không những thế, ngay từ khi con người biết suy nghĩ để tìm cách hành động sao cho có lợi nhất cho mình theo những mục đích xác định Những yêu cầu cấp bách của sự phát triển nền kinh tế và quốc phòng lại càng làm nảy sinh những

ý tưởng tương tự Do đó đã xuất hiện một bài toán cần phải giải quyết, đó là bài toán về tìm phương án tối ưu

Để giải quyết một cách có hiệu quả bài toán ấy, trước hết cần phải xây dựng một mô hình toán học cho nó, trên đó thể hiện được bản chất của mỗi đối tượng đã được khảo xác và sự liện quan cần phải tôn trọng giữa chúng; ngoài ra, dường như cần phải chỉ rõ mục tiêu mong muốn đạt được Bài toán tìm quyết định tối ưu với

mô hình toán học đã được xây dựng được gọi là bài toán quy hoạch toán học hay

bài toán tối ưu Sự liên quan giữa các đối tượng đã được khảo sát trong quá trình

xây dựng mô hình toán học thường được thể hiện dưới dạng một hệ phương trình

và bất phương trình, coi đó như là những điều kiện ( hay ràng buộc ) không thể bỏ qua Nếu tất cả các hàm số có mặt trong bài toán ấy là các hàm tuyến tính thì ta có

bài toán quy hoạch tuyến tính.

ở phần quy hoạch tuyến tính này chỉ nghiên cứu về kiến thức ban đầu của phần quy hạch tuyến tính Đó chính là nội dung của chương I

PHẦN II: NỘI DUNG

1./ CƠ SỞ LÝ LUẬN

Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiển của tối ưu hóa Sự ra đời của quy hoạch tuyến tính nói riêng và quy hoạch toán học nói chung có thể coi vào năm 1939

Nội dung của môn học nhằm đáp ứng được yêu cầu cung cấp những kiến thức và thuật toán cơ bản của quy hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình và thuật toán của nó, do Dantzig đề xuất năm 1947, cho đến ngày nay vẫn được coi là phương pháp tổng quát và được sử dụng nhiều nhất để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Có những phương pháp khác nhau để giải bài toán vận tải, tuy nhiên thuật toán của chúng có tên gọi là thuật toán thế vị

Các kiến thức của chương I

Trang 2

Dạng tổng quát của bài tốn quy hoạch tuyến tính :

Tìm vectơ x* = ( x1, x2, …, xn ) sao cho tại đĩ

( )

ij j i 1

ij j j 1

1

a = a , i I 2 trong I M= 1,2, ,m

a = b , j I 3 I = M \ I

n

j

m

i

n

j j j

x x

f x c x

=

∈

= ∑

∑

đó

j

x 0 , j J 4 J N= 1,2, ,n











f(x) là hàm mục tiêu; các ràng buộc (2) và (3) là ràng buộc cưỡng bức; ràng buộc (4) là ràng buộc tự nhiên

trị tối ưu của hàm mục tiêu trên tập hợp các phương án

Đối với bài tốn quy hoach tuyến tính địi hỏi giá trị của hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất ) ta nĩi bài tốn cực tiểu hay bài tốn dạng min

án tốt hơn phương án x nếu: f(x*) < f(x) đối với bài tốn cực tiểu ( f(x*) > f(x) đối với bài tốn cực đại )

Giải bài tốn quy hoạch tuyến tính được hiểu là tìm được dù chỉ một phương

án tối ưu; hoặc là chứng tỏ trên tập phương án hàm mục tiêu khơng bị chặn, tức là hàm mục tiêu cĩ thể nhận giá trị nhỏ tùy ý đối với bài tốn dạng min ( hoặc lớn tùy

ý đối với bài tốn dạng max )

Ta cĩ thể thấy rằng:

( )x = maxx X ( )x - ( )x = min -x X ( )x

∈

Viết dưới dạng gọn hơn

ij j i 1

'

ij j j 1

j

1

Min

a a , i I

a = b , j I

x 0 , j J

n

j m

i

n

j j j

x x

f x c x

=



∈







= ∑

∑

Đưa ra một số kí hiệu và quy ước:

Trang 3

+ Nếu A = ( aij ) và B = ( bij ) là hai ma trận cùng kiểu thì A≥B hiểu là aij≥

bij ∀i,j

+ Nếu c = ( c1, c2, … , cn ) và x = ( x1, x2, … , xn )là hai vectơ nào đó thì biểu thức:

1

j

c x c x

=

Xem c và x là hai ma trận cột thì

1

j j j

cx c x

=

trong đó tc là ma trận chuyển vị của c ( còn có thể kie hiệu là ct hay cT ) đẻ gọn ta quy ước

1

,

t n

j j j

cx c x c x

= ∑

Dạng chính tắc và chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính:

tắc nó có dạng:

Ax b

x 0







≥

trong đó : b = ( b1,b2, …,bm )

A là ma trận ràng buộc

tắc nó có dạng:

Ax b

x 0







≥

≥ Bằng phép biến đổi ta có thể đưa bài toán quy hoạch tuyến tính bất kì về dạng chính tắc hoặc chuẩn tắc cụ thể :

Aix ≥bi và - Aix ≥- bi

Mỗi bất phương trình Aix ≥ bi được thay bởi bằng hệ

Aix – xn+1 = bi và xn+1 ≥ 0 trong đó xn+1 ẩn bù Mỗi bất phương trình Aix ≤ bi được thay bởi bằng hệ

Aix + xn+1 = bi và xn+1 ≥ 0 trong đó xn+1 ẩn bù

x = x - x ; x ≥0 ; x ≥0

Nếu ẩn xj có điều kiện xj≤0 thì đặt xj = -tj với tj≥0

Giải bài toán quy hoạch tuyến tinh bằng phương pháp đồ thị:

Xét bài toán quy hoach tuyến tính :

Trang 4

( ) ∑

=

= 2

1

j j j

x c x

f

j

ij x b

∑

=

2 1

- Biểu diễn các ràng buộc lên đồ thị Oxy

- Xác định phần được giới hạn bởi các ràng buộc là tập phương án

- Xác định các điểm cực biên của tập phương án thỏa mãn các ràng buộc

- Xác định giá trị của f( )x tại các điểm cực biên

- Suy ra phương án tối ưu

2./ THỰC TIỂN.

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản của chương I của bài toán Quy Hoạch Tuyến Tính nhằm vận dụng tốt các kiến thức trên vào giải các bài toán về tập mô hình toán học và tìm phương án cho bài toán kinh tế ta thực hiện giải các bài toán sau:

Bài 1: ( bài 1 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 22)

Giải

và lượng hàng sản xuất không vước quá nhu cầu thì trường ta có các ràng buộc 2x1+x2≤6 ; 3x1 + 4x2 ≤8 ; x1 ≤ 2 ; x1 – x2 ≤1 và x1, x2 ≥0

Từ đó ta có mô hình toán học của bài toán là













→



≥

≤

0 x , x

1 x -x

2 x

8 4x + 3x

6 x + 2x

Max 2

5x + 7x

= f(x)

2 1

1

2 1

2 1 1

Giải

Trang 5

= 1xjαj và tổng giá thành là lớn nhất

Max

n

j

∑

=

1xj j









≥

→



≤

∑

=

0 x

j

1

j j

x

x f

M

Max

n j

α β

Giải

cho phân xưởng i làm chi tiết j Theo đề bài ta có được mô hình toán học của bài toán như sau:









≥

=

0 S

a

f

1 ij ij

ij

x

kS x

n j

Bài 4: ( bài 4 chương I trong giáo trình quy hoạch tuyến tính trang 22;23)

3

1 +  →

=













≥

−

≥

−

≥ +

−

≥ + +

0 x

3 x

4x

1 x x x

5 x x 2x

1

3 1

3 2

1

3 2 1

x*=( 0,2,3 )

Giải

Tập X≠ φvì x*∈X với x*=( x1,x2,x3 ) là một phương án bất kì

nên 7x1 + x3 ≥3 = f(x*) với mọi phương án

Trang 6

b./ f( )x x x min

4

2 +  →

=











≥

= +

= + + +

−

= + + +

−

0 x

3 2x 3x

2 x x x 2x

1 x x 2x x

1

4 2

4 3 2 1

x* = ( 0,-1,0,3 )

Giải

Tập X≠ φvì x*∈X với x*=( x1,x2,x3,x4 ) là một phương án bất kì

Cộng hai vế các bất đẳng thức ràng buộc cưỡng bức

ta có : -3x1 + 6x2 + 2x3 + 4x4 =6 

nên -3x1 + 6x2 + 2x3 + 4x4 = 6 = f(x*) với mọi phương án

vậy x* = ( 0,-1,0,3 ) là phương án tối ưu

2

1  →

=

( ) ( ) ( )











≥

≤

−

≤ +

−

≥ +

0 x , 0 x

3 2 2x x

2 2 x x

1 2 x x

2 1

Giải

Nhân (-1) vào 2 vế của ( )1 và cộng các vế của các ràng buộc

Ta có: -x1 – 2x2 ≤2 có vô số nghiệm

Suy ra hệ ràng buộc có vô số nghiệm

Vậy hàm mục tiêu không bị chặn

2

1  →

=

( ) ( ) ( )











≥

≤

−

≥ +

≥

−

0 x , 0 x

3 3 3x x

2 2 x x 2

1 2 x 2x

2 1

Giải

Nhân (-1) vào 2 vế của ( )1 , ( )2 và cộng các vế của các ràng buộc

Ta có: -3x1 – 3x2 ≤3 có vô số nghiệm

Trang 7

Vậy hàm mục tiêu không bị chặn

a./ -x1 + x2  → min

( ) ( ) ( )











≥

≤ +

≤

≤ +

0 x , 0 x

3 5 x x

2 2 x x

1 2 x 2x

2 1

biểu diễn đồ thị các bất đẳng thức lên hệ trục tọa độ ta được miền các phương án là hình ngũ giác ABCDE Các điểm coa tọa độ như sau A(0,0); B(0,2); C(1,4); D(4,1); E(2,0) là các cực biện lầm lược thay các cực biện vào hàm mục tiêu ta có f(A) = 0; f(B) = 2; f(C) = 3; f(D) = -3; f(E) = -2

Giải : x1+ x2  →Max











≥

= +

=

− +

0 x , 0 x

0 x x x

1 x x 2x

2 1

4 2

1

3 2 1

PHẦN III: KẾT LUẬN

Qua các kiên thức về quy hoạch tuyến tính và trên cơ sở những bài tập về vận dụng kiến thức tôi nhận thấy rằng đây là một môn học vận dụng nhiều kiến thức đối với môn học này, nhằm giúp đỡ người nghiêm cứu biết tìm ra phương án tối uư cho một kế hoạch cần thực hiện

Qua tiểu luận này, nếu có thời gian nghiêm cứu tôi sẽ thực hiện một cách cụ thể hơn và kiếm thức tìm hiểu sẽ rộng hơn Tuy nhiện trong quá trình nghiệm cứu vẫn còn những vấn đề sai xót xin được sự góp ý Chân thành cảm ơn

D C

A B

E

Trang 8

1./ KẾT LUẬN.

2./ KIẾN NGHỊ

Quy hoạch tuyến tính là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiển của tối ưu hóa Sự ra đời của quy hoạch tuyến tính nói riêng và quy hoạch toán học nói chung có thể coi vào năm 1939

Nội dung của môn học nhằm đáp ứng được yêu cầu cung cấp những kiến thức và thuật toán cơ bản của quy hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình và thuật toán của nó, do Dantzig đề xuất năm 1947, cho đến ngày nay vẫn được coi là phương pháp tổng quát và được sử dụng nhiều nhất để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Có những phương pháp khác nhau để giải bài toán vận tải, tuy nhiên thuật toán của chúng có tên gọi là thuật toán thế vị

Cơ sở lí luận của thuật toán thế vị là trường hợp riêng của thuật toán đơn hình Lí thuyết đối ngẫu là một vấn đề rất quan trọng của quy hoạch tuyến tính

Để giải quyết một cách có hiệu quả bài toán, trước hết cần phải xây dựng một mô hình toán học cho nó, trên đó thể hiện được bản chất của mỗi đối tượng đã được khảo sát và sự liên quan cần phỉa tôn trọng giữa chúng; ngoài ra, đương nhiên cần chỉ rõ mục tiêu muốn đạt được

Bài toán tìm quyết định tối ưu với mô hình toán học đã được xây dựng được gọi là bài toán quy hoạch toán học hay bài toán tối ưu Sự liên quan giữa các đối tượng đã được khảo sát trong quá trình xây dựng mô hình toán học thường được thể hiện dưới dạng một hệ các phương trình và bất phương trình, cói đó như là những điều kiện ( hay ràng buộc ) không thể bỏ qua Nếu tất cả các hàm có mặt trong bài toán ấy là các hàm tuyến tính thì ta có bài toán quy hoạch tuyến tính

Tư tưởng tối ưu hóa đã có từ xa xưa,

con người đã tìm đến cách sản xuất và trao đổi làm sao để cho lợi nhậm cao

mà tốn ích chi phí sản xuất cũng như vận chuyển

2./ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Trang 9

3./ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

4./ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU.

5./ PHẠM VỊ ĐỀ TÀI.

4./ THỰC TIỂN

5./ BIỆN PHÁP.

Tiêu đề	Quy hoạch tuyến tính
Tác giả	Tơ Thanh Hiền
Trường học	Trường Đại Học Kinh Tế Quốc Dân
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tiểu luận
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	176,5 KB