Tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính pdf

Tìm thêm ẩn cơ sở mới Chọn ẩn cơ sở x j x j chưa là ẩn cơ sở Chọn phần tử chủ yếu a ịj trên cột j điều kiện a ij khác 0 Tính các hệ số cho bảng mới theo quy tắc hình chữ nhật...  chú ý

BÀI 2

Nhắc lại:

•Hệ phương trình tuyến tính:

•Hệ cơ bản

•Ẩn cơ bản

• Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Các bước giải:

1 Lập bảng các hệ số cho hệ đã cho

2 Xác nhận các ẩn cơ sở đã có

3 Tìm thêm ẩn cơ sở mới

Chọn ẩn cơ sở x j (x j chưa là ẩn cơ sở)

Chọn phần tử chủ yếu a ịj trên cột j (điều kiện a ij khác 0) Tính các hệ số cho bảng mới theo quy tắc hình chữ nhật.

Ví dụ: giải hêê phương trình:

4 4

GIẢI:

b x 1 x 2 x 3

15 17 27

[2] 4 2

1 5 3

4 5 4

15/2 19/2 -3 1 2 1

0 3 [2]

0 -3 0

11/4 19/4 -3 1 1/2 0

0 3/2 1

0 [-3] 0

9/4 13/4 1 0 0

0 0 1

0 1 0

Tìm nghiệm cơ bản không âm

-Lấy a rj làm phần tử chủ yếu

-Tính các hệ số cho bảng mới theo quy tắc hình chữ nhật.

-Lặp lại thuật toán từ bước 3.

 chú ý: nếu như trong quá trình tìm nghiệm cơ bản không

âm xuất hiện một dòng nào đó có hệ số tự do b i >0 và a ij ≤0 với mọi j thì phương trình đó không có nghiệm không âm do

đó cả hệ không có nghiệm không âm.

Ví dụ: tìm nghiệm cơ bản không âm của hệ phương trình tuyến tính sau:

4 4

1 Các tính chất chung của bài toán QHTT :

* Tính chất 1: sự tồn tại PACB của bài toán.

Nếu bài toán QHTT có phương án và hạng của ma trâên hêê ràng buôêc bằng n (n là số biến) thì bài toán có PACB.

Hệ quả: Bài toán QHTT dạng chính tắc nếu có phương

án thì sẽ có PACB.

* Tính chất 2: sự tồn tại phương án tối ưu của bài toán.

Bài toán QHTT có PATƯ khi và chỉ khi nó có phương án

và trị số hàm mục tiêu bị chăên dưới (trên) khi f(x) =>

min (max) trên tâêp phương án.

Hệ quả:

 Nếu bài tóan có PACB và thỏa điều kiện trên thì sẽ có

PACB tối ưu.

 Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có PATƯ thì sẽ có

một PACB là PATƯ.

* Tính chất 3: số phương án cực biên của bài toán dạng

chính tắc là hữu hạn.

Ví dụ: tìm tất cả các phương án cực biên của bài toán QHTT

có hệ ràng buộc:

4 4

x x j

xB b x1 x2 x3 x4

x1

x3

4 3

x4

x3

1 1

¼ ½ 0 1 -1/2 2 1 0

2 Phương pháp đơn hình cho bài toán QHTT:

A Thuâêt toán đơn hình cho bài toán QHTT dạng chuẩn:

Ví dụ 1: Giải bài toán QHTT sau bằng phương pháp đơn hình:

a Trường hợp bài toán min:

…

0 0 1 0 ar n+1 ars ar n

…

0 0 0 1 am m+1 ams amnf(x) f(x0) 0 0 0 0

Bước 2: Đánh giá tính tối ưu của PACB xuất phát x 0

+ Nếu thì x 0 là PATƯ

Ta có giá trị tối ưu là f(x 0 ) Bài toán kết thúc.

+ Nếu tồn tại mà > 0 thì x 0 không phải là PATƯ

chuyển sang bước 3.

Bước 3: Kiểm tra tính không giải được của bài toán.

+ Nếu tồn tại môêt > 0 mà a jk 0, với (J 0 là tâêp chỉ số cơ sở của phương án x 0 )

Thì bài toán không giải được vì hàm mục tiêu không bị chăên.

k

∆

Bước 4: điều chỉnh PACB.

+ Chọn vectơ đưa vào cơ sở.

Bước 5: lâêp bảng đơn hình thứ 2.

Ở vị trí x r ghi x s và ghi c s thay c r

Tính các dòng trong bảng mới (từ dòng thứ ba trở đi)

- Để tính dòng ứng với vectơ đưa vào (ứng với x s ) lấy dòng ứng với vectơ loại ra (ứng với x r ) trong bảng cũ chia phần tử trục Dòng này được gọi là dòng chuẩn.

- Để tính dòng ứng với x j ta sử dụng quy tắc hình chữ nhâêt.

- Để tính dòng cuối trong bảng ta cũng sử dụng quy tắc hình chữ nhâêt.

b) Trường hợp bài toán Max:

Bài toán 1: f(x) max.

Cách 2:

Sử dụng phương pháp đơn hình, tương tự với bài toán min.

Bước 1: giống bài toán min.

+ Chọn vectơ đưa vào cơ sở:

Tìm min với giả sử thì vectơ

được đưa vào cơ sở.

+ Chọn vectơ đưa ra khỏi cơ sở: giống bài toán min.

Bước 5: giống bài toán min.

Đáp số: x* = (15/2, 0, 9/2), f(x*) = 231