Chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH pptx

Sản phẩm liệu tối đa Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Mô hình toán học của bài toán Biết: thể xử lý nếu cùng đầu tư một đơn vị vốn vào các Minh hoạ dữ liệu bài toán: Toán chuyên đ

Trang 1

MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Giảng viên : Ths NGUYỄN NGỌC CHƯƠNG

tuyến tính, bài toán đối ngẫu, bài toán vận tải

pháp đơn hình, đơn hình đối ngẫu, phương pháp thế vị

2

Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Về kỹ năng:

số bài toán cụ thể trong thực tế

Nội dung của học phần:

 Chương 2: Bài toán đối ngẫu

 Chương 3: Bài toán vận tải

Giáo trình:

[1] TS Nguyễn Phú Vinh, Giáo trình Quy hoạch

tuyến tính, Trường ĐHCN TP.HCM

3

Tài liệu tham khảo:

[1] GS Đặng Hấn, Quy hoạch tuyến tính, ĐHKT TP.HCM

NXBGD 1998

Tiêu chuẩn và hình thức đánh giá kết quả :

 Dự lớp: Từ 80% số tiết trở lên

 Tiểu luận: (tuần thứ 6)

 Thi giữa kỳ: Tự luận (tuần thứ 6)

Biết:

Hãy xây dựng kế hoạch sản xuất cho công ty để có lợi nhuận nhiều nhất

Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Trang 2

Sản phẩm

liệu tối đa

Mô hình toán học của bài toán

Biết:

thể xử lý (nếu cùng đầu tư một đơn vị vốn vào các

Minh hoạ dữ liệu bài toán:

Trang 3

Bài toán vận tải

Xí nghiệp cần vận chuyển hàng hoá từ m điểm phát

Lập mô hình toán học của các bài toán sau:

1 Một xí nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm A, B và

C chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III Lượng nguyên liệu I, II và III mà xí nghiệp có lần lượt là

20, 40, 30 Lượng nguyên liệu I, II, III cần cho một đơn vị sản phẩm loại A lần lượt là 3, 3, 2, loại B lần lượt là 3, 2, 1, loại C lần lượt là 2, 1, 1 đơn vị

Hãy lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp thu tiền lãi nhiều nhất, biết tiền lãi một đơn vị sản phẩm loại A lãi 2 triệu đồng, loại B lãi 4 triệu đồng và loại C lãi

3 triệu đồng

Trang 4

2 Một Xí nghiệp chăn nuôi cần mua thức ăn tổng

hợp T1, T2, T3 cho gia súc với tỷ lệ chất dinh

dưỡng là: 1 kg T1 chứa 3 đơn vị D1, 3 đơn vị D2 và

2 đơn vị D3; 1 kg T2 chứa 3 đơn vị D1, 2 đơn vị D2

và 1 đơn vị D3; 1 kg T3 chứa 2 đơn vị D1, 1 đơn vị

D2 và 1 đơn vị D3 Mỗi bữa ăn, gia súc cần tối thiểu

20 đơn vị D1, 40 đơn vị D2 và 30 đơn vị D3 Biết

rằng 1 kg T1 có giá là 2 ngàn đồng, 1 kg T2 có giá là

4 ngàn đồng, 1 kg T3 có giá là 3 ngàn đồng

Hỏi Xí nghiệp phải mua bao nhiêu kg T1, T2, T3

cho một bữa ăn để bảo đảm tốt về chất dinh dưỡng

và tổng số tiền mua là nhỏ nhất?

3 Một Xí nghiệp xử lý giấy có ba phân xưởng I, II, III cùng xử lý ba loại giấy A, B, C Nếu đầu tư 10 triệu đồng vào mỗi phân xưởng thì cuối năm phân xưởng I xử lý được 3 tạ giấy A, 3 tạ giấy B, 2 tạ giấy

C, phân xưởng II xử lý được 3 tạ giấy A, 2 tạ giấy B,

1 tạ giấy C, phân xưởng III xử lý được 2 tạ giấy A, 1

tạ giấy B, 1 tạ giấy C

Theo yêu cầu Xí nghiệp phải xử lý ít nhất 2 tấn giấy loại A, 4 tấn giấy loại B, 3 tấn giấy loại C Hỏi cần đầu tư vào mỗi phân xưởng bao nhiêu tiền để xí nghiệp hoàn thành công việc với giá tiền đầu tư là nhỏ nhất

4 Một xí nghiệp chế biến đồ gỗ dùng 3000 đơn vị

gỗ nguyên liệu nhóm I, 5000 đơn vị gỗ nguyên liệu

nhóm II và 2000 đơn vị gỗ nguyên liệu nhóm III để

sản xuất tủ trang trí, bàn ghế và giường cao cấp

Một bộ tủ trang trí bán giá 500000đ dùng 30 đơn

vị nhóm I, 10 đơn vị nhóm II và 10 đơn vị nhóm III

Một bộ bàn ghế bán giá 800000đ dùng 40 đơn vị

nhóm I, 20 đơn vị nhóm II và 50 đơn vị nhóm III

Một bộ giường bán giá 400000đ dùng 10 đơn vị

nhóm I, 50 đơn vị nhóm II và 80 đơn vị nhóm III

Hãy xác định số lượng các sản phẩm cần sản xuất

sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận nhiều nhất?

5 Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện và 150 giờ máy mài để chế tạo 3 sản phẩm A, B và C Để chế tạo một sản phẩm

A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy tiện và 3 giờ máy mài; một sản phẩm B cần 3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện; một sản phẩm C cần 5 giờ máy cán, 3 giờ máy tiện và 2 giờ máy mài Mỗi sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng và mỗi sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng Hãy cho biết

xí nghiệp cần chế tạo mỗi loại bao nhiêu sản phẩm

để có tổng giá trị sản phẩm lớn nhất

6 Một người nông dân muốn sản xuất lúa gạo và

lúa mì trên 50 ha đất của ông ta với nguồn nước

250 công Biết rằng để sản xuất 1 tấn lúa gạo cần

lợi nhuận là 18 USD, để sản xuất một tấn lúa mì

với lợi nhuận là 21 USD

Hỏi người nông dân phải sản xuất bao nhiêu tấn

lúa mỗi loại để đạt lợi nhuận cao nhất

7 Một xưởng làm cửa sắt có những thanh thép dài

12 m, cần cắt thành 8 đoạn dài 4m, 5 đoạn dài 5m

và 3 đoạn dài 7m Có 5 mẫu cắt sau Mẫu 1: 3 đoạn dài 4m, không thừa Mẫu 2: 1 đoạn 4m, 1 đoạn 5m, thừa 3m Mẫu 3: 1 đoạn 4m, 1 đoạn 7m, thừa 1m

Mẫu 4: 2 đoạn 5m, thừa 2m Mẫu 5: 1 đoạn 5m, 1 đoạn 7m, không thừa

Hỏi cần dùng những mẫu cắt nào để tiết kiệm nhất

Trang 5

8 Một xưởng sản xuất dự định mua hai loại máy để

in hình vẽ trên vải Máy A có thể in 100m/phút và

chiếm 50 mét vuông diện tích sàn, còn máy B có

thể in 200m/phút và chiếm 140 mét vuông diện

tích sàn Xưởng cần in ít nhất 600m/phút và có

diện tích sàn để đặt máy in tối đa là 350 mét

vuông Mỗi máy A có giá là 22 triệu đồng và mỗi

máy B có giá 42 là triệu đồng

Hỏi cần mua bao nhiêu máy in mỗi loại sao cho tốn

điều kiện ràng buộc từ (2) đến (7)

Phương án tối ưu: phương án làm cho hàm mục

tiêu đạt max hay min nghĩa là thoả mãn (1)

Tập phương án tối ưu: tập hợp tất cả các phương

án của bài toán

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: là tìm phương

án tối ưu cho bài toán

Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính

Trang 6

Để biến đổi bài toán về dạng chính tắc tìm min ta

thực hiện như sau:

+ Biến hàm mục tiêu f ⟶ max thành g ⟶ min, với

g =  f

Phương án cực biên: phương án mà hệ vectơ liên

lập tuyến tính

biến cơ sở gọi là vectơ cơ sở, biến phi cơ sở là biến

Phương án cực biên không suy biến là phương án

có đúng m biến cơ sở, nếu số biến cơ sở bé hơn m

ta có phương án cực biên suy biến

Số các phương án cực biên của một bài toán quy

hoạch tuyến tính là hữu hạn

Trang 7

được các hệ số biểu diễn Thành lập vectơ x có các thành phần là hệ số biểu diễn

+ Loại đi những vectơ x có thành phần âm, các véctơ còn lại là các phương án cực biên

38

Ví dụ: Tìm các phương án cực biên của bài toán

3), (4, 0, 6, 0), (7, 3, 0, 0)

Từ đó suy ra muốn tìm phương án cực biên ta có thể cho n – m thành phần bằng 0 rồi tính giá trị của

m thành phần còn lại bằng cách giải hệ m phương trình m ẩn

40

Ví dụ: Tìm các phương án cực biên của bài toán

Các tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính

+ Tập các phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính là một tập lồi nghĩa là nếu x, y là hai phương

án bất kỳ của bài toán thì mọi tổ hợp x + (1 )y,

 ∊ ℝ: 0 ≤  ≤ 1 cũng là một phương án của bài toán

+ Tập các phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một tập lồi

+ Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có tập phương án khác rỗng thì nó có ít nhất một phương án cực biên

Trang 8

+ Điều kiện cần và đủ để bài toán quy hoạch tuyến

tính dạng chính tắc có phương án tối ưu là nó có

tập phương án khác rỗng và hàm mục tiêu bị chặn

+ Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính

tắc có phương án tối ưu thì nó có ít nhất một

phương án cực biên là phương án tối ưu

Lưu ý: Từ đây, ta có thể giải bài toán quy hoạch

tuyến tính dạng chính tắc nếu biết nó có phương

án tối ưu bằng cách tìm tất cả các phương án cực

biên của bài toán, phương án tối ưu là phương án

mà giá trị hàm mục tiêu lớn nhất (hay nhỏ nhất)

Cơ sở của phương pháp đơn hình

Dựa vào phương án hiện có, ta tìm cách đánh giá phương án đó có là phương án tối ưu hay chưa, nếu phương án đang xét đã là phương án tối ưu thì mục đích của ta đã đạt được nếu chưa là phương

án tối ưu thì ta thay thế bởi nó một phương án mới tốt hơn

Xét bài toán dạng chính tắc (P)

Trang 9

Giả sử ta có phương án x0= x1, x2, … , xm0, 0, … , 0

49

Định lý: ( Dấu hiệu tối ưu)

thì x là phương án tối ưu

Định lý: ( Dấu hiệu không có phương án tối ưu) Nếu ngoài cơ sở liên kết của phương án cực biên

mọi i = 1,2,…,m thì (P) không có phương án tối ưu

Rõ hơn là hàm mục tiêu không bị chặn dưới trên tập phương án

Nếu ngoài cơ sở liên kết của phương án cực biên

nào đó thì ta luôn có thể tìm được một phương án

cực biên mới tốt hơn x, nghĩa là phương án này

làm cho hàm mục tiêu nhỏ hơn phương án x

Toán chuyên đề 4: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Thuật toán đơn hình

+ Tìm phương án cực biên ban đầu: Giả sử ma trận

phương án cực biên ban đầu

Trang 10

+ Đánh giá phương án hiện có: lập bảng đơn hình

như hình bên dưới và căn cứ vào đó để đánh giá

Biến

cơ sở

Hệ số

Phương án

Ví dụ: Giải các bài toán

ĐS: Phương án tối ưu x* = (0, 8, 0, 3, 0, 1) Giá trị

Lưu ý:

ma trận đơn vị ta có thể thực hiện biến đổi ma trận

hệ số mở rộng của hệ điều kiện ràng buộc để có ma trận đơn vị

Ví dụ: Giải bài toán

Trang 11

(giả sử bài toán còn thiếu m vectơ đơn vị)

ma trận đơn vị và đưa về xét hàm mục tiêu

một số rất lớn, lớn hơn bất cứ số nào khác

64

Bài toán trở thành bài toán M sau đây

Lưu ý:

Nếu bài toán M có phương án tối ưu (x, t) với t > 0

phương án Nếu bài toán M có phương án tối ưu

(x, 0) thì x là phương án tối ưu của bài toán chính

và nếu bài toán M không có phương án tối ưu thì

bài toán chính cũng không có phương án tối ưu

Ta dùng thuật toán đơn hình để giải bài toán M với một vài lưu ý:

+ Nếu đã có k vectơ đơn vị thì ta bổ sung vào m – k biến để có ma trận đơn vị cấp m

Trang 12

Ví dụ: Giải bài toán

Lưu ý: Với bài toán dạng chính tắc tìm max ta thực

+ Trong hộp thoại Add-Ins

ta click chọn Solver Add-In

Tổ chức dữ liệu trên bảng tính

Tiến hành nhập liệu trên bảng

tính Excel như sau

trong đó ở dòng phương án, ta gán các giá trị ban

Trang 13

Tiến hành giải bài toán

+ Data ⟶ Solver

+ Trong hộp thoại Solver Parameters:

Set Objective: click chọn ô chứa giá trị mục tiêu B8

Max/Min/Equal To: chọn loại bài toán để giải

By Changing Cells: click chọn địa chỉ tuyệt đối của

các ô ghi các giá trị ban đầu của biến

Subject to the Constraints: nhập các ràng buộc

73

Ta có thể sửa đổi, thêm bớt các ràng buộc Muốn thêm vào ràng buộc ta click chọn nút Add

trong hộp thoại Add Constraint:

Cell Reference: click chọn địa chỉ chứa công thức

Ô dấu: lựa chọn dấu của các ràng buộc tương ứng

Constraint: Ô chứa giá trị vế phải của các ràng buộc tương ứng (ta cũng có thể nhập trực tiếp giá trị vế phải của ràng buộc tương ứng)

74

75

Select a solving method: click chọn phương pháp giải, ở đây là Simplex LP phương pháp đơn hình

Trong hộp thoại Solver Result:

Keep Solver Solution: Lấy kết quả, in ra bảng tính

Restore Original Values: Huỷ kết quả vừa tìm được

và trả các biến về tình trạng ban đầu

Save Scenario: Lưu kết quả vừa tìm được thành một tình huống để có thể xem lại sau này

Lưu ý: Có 3 loại báo cáo là Answer, Sensitivity và Limits

76

Chương 2: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính gốc (P)

Trang 14

Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) là bài toán (Q):

Ví dụ: Viết bài toán đối ngẫu (Q) của bài toán (P):

Trang 15

Mối liên hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính gốc dạng chính

tắc tìm min

Định lý 1 (Đối ngẫu yếu)

Cho x, y theo thứ tự là phương án của bài toán gốc

và đối ngẫu ta có f(x) ≥ g(y)

Lưu ý: Từ định lý nếu ta có phương án của bài toán

gốc và đối ngẫu theo thứ tự là x, y mà f(x) = g(y)

thì x, y lần lượt là phương án tối ưu của bài toán

gốc và bài toán đối ngẫu

85

Định lý 2 (Đối ngẫu mạnh) Nếu một trong hai bài toán có phương án tối ưu thì bài toán đối ngẫu của nó cũng có phương án tối ưu

và giá trị tối ưu của các hàm mục tiêu của chúng là bằng nhau

Định lý 3 (Định lý tồn tại) Một cặp bài toán và bài toán đối ngẫu của nó chỉ có thể xảy ra một trong 3 khả năng loại trừ sau:

 Cả hai bài toán đều không có phương án

86

 Cả hai bài toán đều có phương án, khi đó cả hai

cùng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của hai

hàm mục tiêu là bằng nhau

 Một bài toán có phương án còn bài toán kia

không có phương án, khi đó bài toán có phương án

sẽ không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu

không bị chặn trong miền ràng buộc

Định lý 4 (Độ lệch bù)

Một cặp phương án x, y của bài toán gốc và đối

ngẫu là phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng

m i=1

bài toán đối ngẫu của nó

Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

ĐS: Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là

Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Trang 16

ĐS: phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là

*Quy tắc: Nếu cơ sở ban đầu là ma trận đơn vị thì

để tìm lời giải của bài toán đối ngẫu, ta chọn ra từ

Ta đã giải quyết các bài toán có sẵn ma trận đơn vị

trận đơn vị Với các bài toán có sẵn ma trận đơn vị

pháp đơn hình đối ngẫu sau đây

+ Dòng quay r là dòng có chứa phần tử âm nhỏ nhất trong cột giả phương án

+ Cột quay là cột s tương ứng với tỷ số nhỏ nhất

Tiếp tục biến đổi bảng đơn hình bình thường…

94

Ví dụ: Dùng phương pháp đơn hình đối ngẫu, giải

Trang 17

Chương 3: BÀI TOÁN VẬN TẢI

BÀI TOÁN VẬN TẢI VÀ MỘT SỐ KHÁI NIỆM

97

Xí nghiệp cần vận chuyển hàng hoá từ m kho (điểm

j=1,2,…,n Cho biết tổng lượng hàng ở các kho bằng tổng lượng hàng cần tiêu thụ

Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hoá sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất và đảm bảo yêu cầu thu phát

Định nghĩa bài toán vận tải

98

Lưu ý: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có

phương án tối ưu và ta cũng có thể giải bằng

phương pháp đơn hình

99

Ta trình bày dưới dạng bảng vận tải như sau:

+ Dây chuyền là một tập hợp các ô chọn sao cho

không có quá hai ô liên tiếp nằm trên cùng một

+ Chu trình là một dây chuyền khép kín Số các ô trong một chu trình là số chẵn Số các ô tối đa trong bảng không tạo thành chu trình là m + n  1

Với m + n  1 ô không tạo thành chu trình ta có thể

bổ sung thêm một ô bất kỳ để có ít nhất một chu trình

Tiêu đề	Quy Hoạch Tuyến Tính
Người hướng dẫn	ThS. Nguyễn Ngọc Chương
Trường học	Trường Đại Học Kinh Tế TP.HCM
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2012
Thành phố	TP.HCM

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	1,12 MB