seminar5 -Tích Phân Hình Học 4-2009-5

seminar5 -Tích Phân Hình Học 4-2009-5

Tích phân hình học và biến phân nhiều chiều

Khi nghiên cứu một số vấn đề hình học ta cần các công cụ khác nhau để đo kích cỡ của tập (e.g độ dài, diện tích, các tích phân vật lý, ) Cách xây dựng kinh điển của Carathéodory cho phép sinh ra rất nhiều độ đo (e.g độ đo với

số chiều thấp hơn n trong không gian Rn), phù hợp cho nhiều áp dụng khác nhau

Bài này phần đầu nêu cách xây dựng tổng quát của Carathéodory và một số

ví dụ về các độ đo hình học đáng quan tâm Các ý tưởng chính bắt đầu từ Hausdorff (1918) và Carathéodory (1914) Sau khi so sánh các độ đo đã nêu, phần còn lại sẽ nêu một số công thức cần dùng đối với độ đo Hausdorff: công thức area, công thức co-area, công thức chiếu và công thức Cauchy-Crofton Nội dung

1 Carathéodory’s construction

2 Các độ đo hình học thông dụng

3 Quan hệ giữa các độ đo hình học

4 Một số công thức cần dùng

Tham khảo

Federer H, Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)

Simon L., Lectures on geometric measure theory, Proceedings of the Centre Mathematical Analalysis, Australian National University, Vol 3 (1983)

1 Carathéodory’s construction.

Cho F là một họ các tập con trong Rn (các tập “kiểm tra”)

Cho ζ : F → [0, +∞] (hàm gauge - định cỡ/ đánh giá)

Các độ đo ban đầu φδ, 0 < δ ≤ ∞, được định nghĩa: Với A ⊂ Rn,

φδ(A) = inf{X

S∈G

ζ(S) : G đếm được , G ⊂ F ∩ {S : diam (S) ≤ δ}, A ⊂ \

S∈G

S}

Do tính chất là nếu 0 < δ1 < δ2, thì φδ 1 ≥ φδ 2, nên ta có thể đặt

ψ(A) = lim

δ→0 +φδ(A) = sup

δ>0

φδ(A)

Khi đó ψ được gọi là độ đo được xây dựng từ ζ trên F, còn φδ được xem như là độ đo xấp xỉ cỡ δ,

Mệnh đề

(1) φδ, ψ là các độ đo trên Rn, i.e các hàm tập, dưới cộng tính

(2) ψ là độ đo Borel chính qui, i.e mọi tập Borel là ψ-đo được

(3) Nếu mọi phần tử của F là tập Borel, thì ψ là độ đo Borel chính qui, i.e mọi tập A đều chứa trong một tập Borel ˜A có cùng độ đo ψ

(4) Nóichung φδ không là độ đo Borel

Chứng minh: (1) là rõ ràng

(2) Theo tiêu chuẩn Carathéodory, để chứng minh các tập Borel là ψ - đo được, ta cần chứng minh

(C) ψ(A ∪ B) ≥ ψ(A) + ψ(B), khi d(A, B) > 0

Dễ thấy φδ(A ∪ B) ≥ φδ(A) + φδ(B), khi d(A, B) > δ Cho δ → 0, ta có (C) (3) Rõ ràng

(4) Ví dụ: n = 1, F họ mọi tập mở, ζ(S) = (diam (S))1/2

Khi đó với A = (0, δ/2), B = (δ/2, δ), ta có

φδ(A ∪ B) = δ1/2 6≥ φδ(A) + φδ(B) = (δ/2)1/2+ (δ/2)1/2 2

2 Các độ đo hình học thông dụng

Với cách xây dựng trên ta có nhiều độ đo khác nhau

• Độ đo Hausdorff (Hausdorff 1918) Với α > 0, dùng hàm định cỡ (dựa trên thể tích cầu)

ζ1(S) = c(α)(diam S/2)α

trong đó c(α) = Γ(

1

2)α

Γ(α2 + 1) (Khi α nguyên c(α) là thể tích hình cầu α - chiều,

có đường kính là 1)

Khi F là họ mọi tập con khác rỗng, độ đo được xây dựng tương ứng được gọi

là độ đo Hausdorff α - chiều, ký hiệu là Hα

• Độ đo cầu (Hausdorff 1918) Với F là họ các cầu mở, và ζ = ζ1, độ

đo được xây dựng tương ứng được gọi là độ đo cầu, ký hiệu là Sα

Ta có

Hα ≤ Sα ≤ 2αHα

• Độ đo Federer (Federer 1969) Với mỗi số nguyên 0 < m ≤ n, ta dùng hàm định cỡ (dựa trên thể tích hộp bình hành)

ζ2(S) = c(m)2−msup{|(a1− b1) ∧ · · · ∧ (am− bm)| : a1, b1, · · · , am, bm ∈ S} Khi F là họ mọi tập con khác rỗng, độ đo được xây dựng tương ứng được gọi

là độ đo Federer m - chiều, ký hiệu là Jm

Do |(a1− b1) ∧ · · · ∧ (am− bm)| ≤Qm

i=1|ai− bi|, ta có Jm ≤ Hm

• Độ đo Gross (Gross 1918) Với mỗi số nguyên 0 ≤ m ≤ n, ký hiệu

O∗(n, m) là tập mọi phép chiếu trực giao từ Rn lên Rm, và Lm là độ đo Lebesgue m - chiều Định nghĩa hàm định cỡ

ζ3(S) = sup{Lm(p(S)) : p ∈ O∗(n, m)}

Khi F là họ mọi tập Borel, ta có độ đo Gross m-chiều, ký hiệu là Gm

• Độ đo Carathéodory (Carathéodory 1914) Khi F là họ mọi tập lồi mở trong Rn, và hàm định cỡ là ζ3, cách xây dựng trên cho độ đo Carathéodory m-chiều, ký hiệu là Cm

Khi m = 1, ζ3(S) = diam (S) với S lồi, vậy C1 = H1

Cho m là số nguyên 0 < m ≤ m Nhóm compact O(n) tác động truyền ứng (transitively) lên O∗(n, m) bằng hợp bên phải, nên sinh ra một độ đo xác suất Haar θn,m∗ trên O∗(n, m) Với mỗi 1 ≤ t ≤ ∞, định nghĩa hàm định cỡ

ζ4,t(S) = 1

βt(n, m)

Z

O ∗ (n,m)

|Lm(p(S))|tdθ∗n,mp

1/t

,

trong đó R |(Λmp)ξ|tdθn,m∗ p
1/t = βt(n, m)|ξ|, với mọi m-vector đơn ξ trong

Rn

• Độ đo tích phân hình học (Favard 1932, Federer 1969) Khi F là họ mọi tập con khác rỗng, và ζ = ζ4,t, cách xây dựng của Carathéodory cho ta độ đo tích phân hình học m-chiều với số mũ t, ký hiệu là Im Độ đo này có thể xem như là đo mọi hình chiếu của tập, rồi lấy trung bình (mũ t, theo độ đo xác suất Haar)

• Độ đo Gillespie (Gillespie 1940) Khi F là họ mọi tập lồi mở, và ζ = ζ4,t, cách xây dựng trên cho ta độ đo Gillespie m-chiều với số mũ t, ký hiệu là Qmt

3 Quan hệ giữa các độ đo hình học

Mệnh đề Với mỗi số nguyên 0 < m ≤ n, và 1 ≤ s ≤ t ≤ ∞, ta có mối quan hệ sau giữa các độ đo

Sm ≥ Hm ≥ Jm ≥ Cm = Qm∞ ≥ βt(n, m)Qmt ≥ βs(n, m)Qms

Gm ≥ I∞m ≥ βt(n, m)Itm ≥ βt

s(n, m)Ism Khi m = n, thì các độ đô nêu trên đều bằng độ đo Lebesgue Ln

Khi m = 0, thì các độ đo đều là độ đo điểm

Tập cầu phương được Cho m là số nguyên 0 < m ≤ n Tập E ⊂ Rn

được gọi là (Hm, m) cầu phương được (retifiable) nếuu

E ⊂ E0∪∞j=1Fj(Aj) trong đó Hm(E0) = 0, Fj : Rm → Rn là Lipschitz, và Hm(E) < ∞

Định lý Nếu E ⊂ Rn là (Hm, m) - cầu phương được, thì

Hm(E) = Sm(E) = Jm(E) = Gm(E) = Cm(E) = Itm(E) = Qmt (E)

4 Một số công thức cơ bản

Phần này nêu lên các công thức cơn bản của tích phân hình học đối với

độ đo Hausdorff: công thức area, công thức co-area, công thức chiếu và công thức Cauchy-Crofton

Trước hết ta có các gợi ý sau:

Định thức và thể tích Cho λ : Rn → Rn là ánh xạ tuyến tính Khi

đó định thức và thể tích n chiều quan hệ theo công thức sau

Ln(λ(A)) = | det λ|Ln(A), A ⊂ Rn Định lý (Rademacher 1919) Nếu f : Rn → Rm là ánh xạ Lipschitz, thì f khả vi Ln - hầu khắp nơi và đạo hàm df là hàm đo được

Ta muốn mở rộng công thức trên cho các số chiều khác nhau và cho các ánh xạ không là tuyến tính

• Công thức area

Trường hợp tuyến tính: Cho λ : Rn→ Rm là ánh xạ tuyến tính, với m ≥ n

Ta xem Rn = Rn× O ⊂ Rm Khi đó tồn tại g : Rm → Rm ∈ O(m), sao cho g(λ(Rn)) ⊂ Rn Theo công thức trên cho g ◦ λ : Rn→ Rn, ta có

Hn(g ◦ λ(A)) = | det g ◦ λ|Hn(A), A ⊂ Rn Mặt khác, (g ◦ λ)∗◦ (g ◦ λ) = λ∗◦ λ

Ta có công thức area cho trường hợp tuyến tính

Hn(λ(A)) = √

det λ∗◦ λ Hn(A), A ⊂ Rn Trường hợp C1: Cho f : Rn → Rm thuộc C1, và n ≤ m Khi đó với mọi

A ⊂ Rn là tập đo được và f là 1 − 1 trên A, ta có

Hn(f (A)) =

Z

A

J f (x)dHn(x)

trong đó J f (x) =pdet df(x)∗◦ df (x) (Jacobi suy rộng khi n ≤ m)

Định lý (Fedrerer 1945) Cho f : Rn → Rm là ánh xạ Lipschitz, và n ≤ m Khi đó

(1) Với mọi A ⊂ Rn là tập đo được, ta có

Z

A

J f (x)dHn(x) =

Z

R m

#(f−1(y) ∩ A)dHm(y)

(2) Với mọi hàm u : Rn → R, Hn - khả tích, ta có

Z

R n

u(x)J f (x)dHn(x) =

Z

R m

X

x∈f −1 (y)

u(x)dHn(y)

(3) Với mọi hàm g : Rm → R, Hm - khả tích, ta có

Z

A

g(f (x))J f (x)dHn(x) =

Z

R m

g(y)#(f−1(y) ∩ A)dHn(y)

Ví dụ

(1) Độ dài đường cong: Cho γ : [a, b] → Rn là đường cong, thỏa điều kiện Lipschitz Khi đó theo công thức area, độ dài γ là

H(γ([a, b])) =

Z b a

kγ0(t)kdt

(2) Diện tích n-chiều của đa tạp: Cho M ⊂ Rm là đa tạp n-chiều, lớp C1 Khi

đó về mặt địa phương, mỗi điểm của M có tồn tại lân cận mở U trong Rn và tham số hóa (ϕ, W, U ), trong đó W là tập mở trong Rn, ϕ : W → Rm lớp C1

và ϕ(W ) = M ∩ U Theo công thức area, ta có

Hn(M ∩ U ) =

Z

W

q det(< Diϕ(x), ∆jϕ(x) >)1≤i,j≤n dx

(3) Công thức (3) ở trên là mở rộng của công thức đổi biến

• Công thức co-area

Trường hợp tuyến tính: Cho λ : Rn→ Rm là ánh xạ tuyến tính, với m ≤ n Đồng nhất Rm = Rm× O, Rn−m= O × Rn−m⊂ Rn = Rm× Rn−m

Với p : Rn→ Rm là phép chiếu chính tắc, theo công thức Fubini, ta có

Hn(A) =

Z

R m

Hn−m(p−1(y) ∩ A)dHm(y)

Trường hợp λ toàn ánh, khi đó F = λ−1(0) là không gian vector con (n − m)-chiều Vậy tồn tại g : Rn → Rn∈ O(n), sao cho g(F ) = Rn−m, g(F⊥) = Rm

Dễ kiểm tra λ = σ ◦ p ◦ g, với σ : Rn−m → Rn−m là song ánh

Khi đó với A ⊂ Rn, ta có

Hn(A) = Hn(g(A))

=

Z

R m

Hn−m(p−1(y) ∩ g(A))dHm(y)

=

Z

R m

Hn−m(g−1◦ p−1(y) ∩ A)dHm(y)

=

Z

R m

Hn−m(g−1◦ p−1◦ σ−1(z) ∩ A)| det σ−1| dHm(z) (đổi biến y = σ(z))

Vậy | det σ|Hn(A) =

Z

R m

Hn−m(λ−1(z) ∩ A)dHm(z)

Mặt khác, λ ◦ λ∗ = (σ ◦ p ◦ g) ◦ (σ ◦ p ◦ g)∗ = σ ◦ σ∗

]Ta có công thức co-area cho trường hợp tuyến tính:

√

det λ ◦ λ∗Hn(A) =

Z

R m

Hn−m(λ−1(z) ∩ A)dHm(z), A ⊂ Rn

Trường hợp C1: Cho f : Rn → Rm thuộc C1, và n ≥ m Khi đó với mọi

A ⊂ Rn là tập đo được, ta có

Z

A

J f (x)dHn(x) =

Z

R m

Hn−m(f−1(y) ∩ A)dHm(y) trong đó J f (x) =pdet df(x) ◦ df(x)∗ (Jacobi suy rộng khi n ≥ m)

Định lý (Fedrerer 1959) Cho f : Rn → Rm là ánh xạ Lipschitz, và n ≥ m

Khi đó

(1) Với mọi A ⊂ Rn là tập đo được, ta có

Z

A

J f (x)dHn(x) =

Z

R m

Hn−m(f−1(y) ∩ A)dHm(y) (2) Với mọi hàm u : Rn → R, Hn - khả tích, ta có

Z

R n

u(x)J f (x)dHn(x) =

Z

R m

( Z

f −1 (y)

u(x)dHn−m(x))dHn(y) (3) Với mọi hàm g : Rm → R, Hm - khả tích, ta có

Z

A

g(f (x))J f (x)dHn(x) =

Z

R m

g(y)#(f−1(y) ∩ A)dHn(y)

Ví dụ.

(1) Công thức co-area là mở rộng của định lý Fubini

(2) Định lý Sard yếu: áp dụng công thức (1) cho tập điểm kỳ dị A = {x ∈ Rn:

J f (x) = 0} Khi đó vế trái bằng 0, vậy Hn−m(A ∩ f−1(y)) = 0 với Lm-hầu khắp nơi y ∈ Rm

(3) Công thức (3) ở trên là mở rộng của công thức đổi biến

• Công thức chiếu Với m ∈ {1, , n}, đặt Λ(n, m) là tập mọi hàm tăng

từ {1, , m} vào {1, , n} Với mỗi λ ∈ Λ(n, m), tương ứng phép chiếu

pλ : Rn→ Rm, pλ(x1, , xn) = (xλ(1), , xλ(m))

Định lý Pythagore tổng quát: Nếu A là hộp bình hành m-chiều trong Rn, thì

Volm(A)2 = X

λ∈Λ(n,m)

Volm(pλ(A))2

Từ đó dùng công thức co-area, ta chứng minh được:

Định lý (Federer) Cho A ⊂ Rn là tập (Hm, m) - cầu phương được Đặt

aλ = Z

R m

#(A ∩ p−1λ (y))dHm(y)

Khi đó

( P

λ∈Λ(n,m)aλ 2 )1 ≤ Hm(A) ≤P

λ∈Λ(n,m)aλ

• Công thức Cauchy-Crofton Từ mối quan hệ giữa độ đo Hausdorff và độ

đo tích phân hình học, và cách biểu diễn của độ đo tích phân hình học, ta có công thức sau:

Định lý (Federer 1947) Cho m ≤ n Nếu A ⊂ Rn là tập (Hm, m) - cầu phương được, thì

Hm(A) = c(n, m)

Z

O ∗ (n,m)

Z

R m

#(A ∩ p−1(y))dHm(y)dθ∗n,m(p)

trong đó c(n, m) = Γ(

n+1

2 )Γ(12) Γ(m+12 )Γ(n−m+12 ), và Γ(s) =

Z +∞

0

e−tts−1dt (s > 0)

Ví dụ áp dụng công thức trên cho C ⊂ Rn là đường cong khả trường, khi đó độ dài của C là

H1(C) = c(n, 1)

Z

O ∗ (n,1)

Z

#(A ∩ p−1(y))dydθ∗n,1(p)

• Tổng quát hóa Các công thức trên có thể mở rộng trên không gian metric hay trên các đa tạp

Tài liệu đọc thêm

Federer H., Geometric measures theory, Springer-Verlag (1969)

Krantz G.G và Parks H.R, Geometric Integration Theory, Birkh¨auser (2008) Lin F và Yang X., Geometric Measure Theory - An Introduction, Science Press

và Interational Press (2002)

Morgan F., Geometric Measure Theory - A Beginer’s Guide, Academic Press (2000)

Simon L., Lectures on geometric measure theory, Proceedings of the Centre Mathematical Analalysis, Australian National University, Vol 3 (1983)

Tạ Lê Lợi

Đà lạt, tháng 3, năm 2009