Mối quan hệ giữa đại số - hình học qua phép tịnh tiến

Mối quan hệ giữa đại số - hình học qua phép tịnh tiến

LỜI NÓI ĐẦU

Để hoàn thành bài tiểu luận này, em xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hoài Châu đã có sự giúp đỡ và hướng dẫn hết sức tận tình

Đây là một đề tài khá mới mẻ nên mặc dù đã có sự cố gắng và đầu tư vào bài tiểu luận, tuy nhiên khó tránh khỏi hết những thiếu sót, mong cô và các bạn khác nếu có dịp đọc bài này góp ý, sửa chữa và bổ sung để góp phần cho bài tiểu luận sẽ được hoàn chỉnh hơn Xin chân thành cám ơn

Với kiến thức còn nhiều hạn chế và các nguồn tư liệu vẫn còn thiếu cho nên khó tránh khỏi những phân tích mang tính chủ quan về chương trình, sách giáo khoa Nếu lỡ vướng phải sai sót gì, thành thật xin lỗi các tác giả sách giáo khoa Mong các tác giả thông cảm

Sinh viên thực hiện Thổ Thị Nhớ

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài :

 Đại số-Giải tích-Hình học là những bộ môn cơ bản cấu thành nên khoa học Toán học Do đó, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa ĐS-GT-HH là một việc làm rất cần thiết Hơn nữa, khi hiểu rõ mối quan hệ giữa các bộ môn này, ta

sẽ có một cái nhìn biện chứng về ngành khoa học Toán học

 Ngày nay, giáo dục trên thế giới rất coi trọng việc dạy học liên môn: giữa các môn học với nhau và giữa các phân môn trong cùng một môn học Việt Nam cũng đang dần tiếp cận với xu hướng dạy học này

 Trong chương trình Toán ở trường THPT hiện nay, bộ môn Toán thường được chia thành 2 quyển : ĐS-GT và HH Điều đó về mặt tích cực là giúp cho HS thấy được cấu trúc của chương trình và tiếp thu kiến thức một cách

có hệ thống nhưng mặt khác lại làm cho các em nghĩ rằng các bộ môn này

là độc lập lẫn nhau, không có mối quan hệ gắn bó với nhau

 Thực tế cũng đã chứng minh điều đó, hầu như đại đa số các em đều cho rằng các bộ môn này là riêng lẻ Ở bộ môn nào các em tiếp thu kiến thức và giải bài tập theo bộ môn đó mà không nhận ra được mối liên hệ giữa các bộ môn với nhau, không thấy được ứng dụng của một bộ môn với các bộ môn còn lại Về phía GV, hầu như họ không có trách nhiệm trong việc truyền thụ cho các em học sinh thấy được mối quan hệ giữa những bộ môn mà các em đang học là ĐS-GT-HH thông qua việc giảng dạy kiến thức cũng như giải bài tập Đối với họ, có thể điều đó là không thật cần thiết

 Đây là một đề tài mà từ trước đến nay rất ít người nghiên cứu và chưa có một công trình nào cụ thể

Vì những lý do trên đây, tôi quyết định chọn đề tài: Mối quan hệ giữa ĐS-GT-HH trong SGK Toán ở trường THPT hiện nay Hy vọng qua nghiên cứu nhỏ này, chúng ta sẽ thấy được rõ hơn mối quan hệ giữa ba bộ môn cơ bản của Toán học qua việc phân tích sách với lí thuyết và bài tập , mong có

thể giúp bạn đọc nắm rõ hơn về bài dạy cũng như khi học bài liên qan đến phép tịnh tiến

II Định hướng nghiên cứu:

1 Thu hẹp đề tài :

Đây là một đề tài rất rộng vì Toán học cũng như các bộ môn ĐS-GT-HH là rất muôn màu muôn vẻ Do đó, trong bài nghiên cứu này, tôi chỉ thu hẹp mối quan hệ giữa ĐS-HH thể hiện ở phần đồ thị đó là “ứng dụng của phép tịnh tiến trong nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số”

ứng dụng này có thể hiện rõ mối quan hệ giữa ĐS-HH hay không ?các đồ thị hàm số trên cùng hệ trục toạ độ luôn có mối quan hệ với nhau và bản thân việc v4 đồ thị cũng có những mối liên quan nắm được điều này thì việc vẽ đồ thị các hàm số phức tạp trở nên đơn giản

2 Mục đích nghiên cứu:

Việc nghiên cứu dừng lại ở các công việc sau đây:

2.1 Trả lời cho các câu hỏi:

Phép tịnh tiến được trình bày như thế nào trong đại số và hình học ?ứng dụng như thế nào trong nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số ?

Sgk đã thể hiện mối quan hệ ĐS-HH ( ứng dụng phép tịnh tiến) này ra sao qua hệ thống lí thuyết và bài tập ?

Thể hiện như vậy đầy đủ hay chưa ?

Qua việc trình bày của sgk học sinh có thấy rõ mối quan hệ các phân môn toán học , chính xác hơn là có thấy được ứng dụng của phép tịnh tiến trong việc nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số không ?.

2.2 Tổng hợp lại các dạng bài toán thể hiện rõ nét mối quan hệ trên trong

hệ thống bài tập của chương trình Toán phổ thông nhằm giúp GV và HS thấy rõ mối quan hệ này.đồng thời mở rộng thêm một số dạng toán khác được giải nhờ phép tịnh tiến

III Phương pháp nghiên cứu:

 Tham khảo và tổng hợp lại một số tài liệu nghiên cứu khái niệm phép biến hình

 Phân tích 2 bộ SGK Toán :

Bộ 1:

* Đại số 10, Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, Trần Văn Hạo chủ biên

[M1]

* Hình học 10, Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, Văn Như Cương chủ biên

[M2]

Bộ 2:

* Đại số 10 ban nâng cao , bộ 1, trần văn hạo tổng chủ biên [M3]

*đại số 10, SGK ban cơ bản , bộ 1, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên [M4]

Tham khảo các đề cương bài tập Toán của các trường THPT

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

A.SƠ LƯỢC HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM

1.PHÉP BIẾN HÌNH :

Phép tịnh tiến là phép dời hình thuận phép dời hình là một dạng của phép biến hình được được nghiên cứu ở trường phổ thông do vậy việc đi nghiên cứu lịch sử phép tịnh tiến sẽ là ngiên cứu lịch sử phép biến hình

Phần này được viết dựa vào [M8 ]

Euclide là nhà Toán học, Triết học của Hy Lạp, sống vào thế kỉ thứ 3 trước công nguyên Ông đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của việc xây dựng lý thuyết hình học theo tư tưởng của phương pháp tiên đề Tác phẩm toán

học nổi tiếng của ông là bộ Cơ sở gồm 13 tập là sự đóng góp xuất sắc cho việc

xây dựng và phát triển hình học Trong hình học Euclide, đối tượng nghiên cứu

là các hình được xét trong tổng thể với tư cách là một hình dạng Phép biến hình không phải là đối tượng nghiên cứu, chỉ ngầm ẩn xuất hiện trong tình huống so sánh hai hình, và cũng chỉ được hiểu theo nghĩa là phép chuyển dời hình từ vị trí này sang vị trí khác, chưa được xem xét như một tác động lên không gian các điểm

Cho đến thế kỉ thứ 17, 18, với hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học như: Desargues (1591-1661), Pascal (1623-1662), De La Hir (1640-1718), Newton (1642-1727) …phép biến hình vẫn chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn để chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang hình kia, được sử dụng để giải một số bài toán Tuy nhiên, phép biến hình chỉ được xét trong ngữ cảnh các đường cônic, và cũng chỉ có duy nhất phép chiếu được sử dụng Phép biến hình chưa được xem là đối tượng nghiên cứu.Từ

“phép biến hình” được đưa vào như một thuật ngữ được mô tả chứ không phải như một đối tượng toán học

Cuối thế kỉ 18, phép biến hình đã trở thành đối tượng nghiên cứu của Toán học Nghiên cứu một cách hệ thống về đối tượng “phép biến hình” được Bellavitis (1803-1880) trình bày trong Lý thuyết về các hình của ông và sau đó được một số nhà toán học khác bổ sung thêm Ở giai đoạn này, quan niệm về phép biến hình gắn liền với quan niệm xem hình là một tập hợp điểm, mà hình học giải tích đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành quan niệm đó Có thể nói phương pháp tọa độ do Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665)

phát minh đã đem lại một sự thay đổi rất quan trọng trong quan niệm về hình,

nó cho phép chuyển từ cách nhìn các hình trong tổng thể vào cách nhìn theo từng điểm Cụ thể hơn, việc thiết lập mối liên hệ giải tích giữa điểm với toạ độ tất yếu dẫn đến chỗ phải hiểu hình là một tập hợp điểm Quan niệm hình như một tập hợp điểm đã đóng vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết về các phép biến hình

Đến cuối thế kỉ 19, phép biến hình không chỉ được sử dụng như công cụ để dựng hình hay tính chất của hình nữa Khái niệm nhóm các phép biến hình ra đời từ vấn đề sắp xếp các tính chất bất biến của các phép biến hình Chính từ sự phát triển lý thuyết nhóm trong đại số của Galois (1811-1832), nhà toán học Đức, Felix Klien (1849-1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm Ông đã phân loại các tính chất hình học theo những phép biến hình bảo toàn tính chất đó Với các công trình của ông, mỗi hình học được đặc trưng bởi các bất biến của một phép biến hình xác định

Việc hiểu khái niệm “phép biến hình” có thể phân thành 4 cấp độ:

+ Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa hai hình hoặc giữa hai phần của một hình (đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt) + Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm

+ Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học + Cấp độ 4: Phép biến hình được xem là phần tử của một nhóm và được dùng để phân loại các lý thuyết hình học

Trong việc dạy-học chủ đề phép biến hình ở trường phổ thông, nếu như người

ta không yêu cầu phải đạt đến cấp độ 4 ( mà chỉ mong muốn ngầm tạo nên biểu tượng về một cấu trúc đại số, làm chỗ dựa để sau này học sinh tiếp cận với toán học hiện đại ) thì cấp độ 2 lại là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp thế nào tùy từng thể chế dạy học

3 SƠ LƯỢC MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC:

Phần này được viết dựa trên [M5,6]

Trong lịch sử , quan hệ giữa Đại số và Hình học trước hết ở chỗ hình học cho phép giải một số bài toán đại số mà lời giải khó tòm thấy trong phạm

vi đại số

Trong giai đoạn đầu hình học đóng vai trò thống trị mọi bài toán đại số khó đều chuyển sang hình học

Vào thế kỉ XVII, Descartes cho công bố cuốn HÌNH HỌC và tác phẩm LUẬN VỀ PHƯƠNG PHÁP Từ tác phẩm này, môn hình học giải tích –

sự kết hợp giữa hình học và đại số đã ra đời Ngoài Descartes , Fermat cũng nghiên cứu và đưa ra cơ sở cho môn hình học giải tích Cả hai ông đều chung tư tưởng , đó là biểu diễn các quan hệ hình họcbằng những phương trình đại số thông qua trung gian là một hệ toạ độ Nhờ phương pháp này , mọi bài toán hình học đều có thể được chuyển thành bài toán đại số và việc giải bài toán thứ hai thường dễ thực hiện hơn là giải trực tiếp bài toán ban đầu

3 khái niệm đồ thị hàm số và tầm quan trọng của nó :[M9]

Khái niệm :

Đại số 9 (NXBGD 1980) :

Đồ thị của hàm số y=f(x)là quỹ tích những điểm mà toạ độ (x;y) liên hệ với nhau trong mặt phẳng toạ độ với mọi x thuộc D.

Đại số 10(NXBGD 2006) :

Đồ thị của hàm số y=f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x thuộc D.

Từ các định nghĩa đồ thị ta cũng nhận thấy rằng , đây cũng là một phương tiện phản ánh trực quan hầu hết các tính chất của hàm số :

Các hàm số ở trường phổ thông đều liên tục trong miền xác định của nó ,

do đó đồ thị của các hàm số là một đường cong liên tục điều này cho phép vẽ đồ thị bằng cách vẽ từng điểm và nối các điểm rời rạc bằng một đường cong liền

Với nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng , đồ thị được xem là phương tiện quan trọng để khảo sát hàm số Từ đồ thị suy ra sự biến thiên của hàm số ( tăng , giảm , liên tục ,cực đại , cực tiểu …) cách tiếp cận này phù hợp với đổi mới trong dạy học , giáo viên tổ chức các hoạt động cho học sinh , qua đó học sinh tự khám phá , rút ra kết luận khoa học cần thiết đồ thị trở thành một phương tiện nhận thức

Và ta cũng biết một điều rằng việc dạy học vẽ đồ thị trước và sau khi học đạo hàm là khác nhau Học sinh học toán ngoài yêu cầu làm đúng thuật toán còn đòi hỏi sự hợp lí , ngắn gọn , tư duy nhạy bén Do đó đối với đồ thị thì việc vẽ những đồ thị các hàm số phức tạp được trên cơ sở vẽ đồ thị hàm số các hàm đơn giản nhờ thực hiện các phép biến đổi đồ thị : tịnh tiến , đối xứng …

ĐIỂM QUA VIỆC DẠY PHÉP BIẾN HÌNH TRONG TRƯỜNG PHỔ THÔNG CỦA MỘT SỐ NƯỚC :[M5]

Cộng hoà Pháp :

Kiến thức phép biến hình trong trường phổ thôngcủa cộng hoà pháp từ những năm 1920 chủ đề phép biến hình được dạy rải rác trong nhiều năm , phân thành hai giai đoạn trong cả hai giai đoạn việc trình bày khái niệm từng phép biến hình cụ thể đều gắn liền với những hình học quen thuộc , nhưng đích cần đạt là cách hiểu phép biến hình như ánh xạ điểm từ không gian lên nó các phép biến hìn được ứng dụng nhiều vào việc nghiên cuu71cac1 hình học quen thuộc cũng như để giải toán

Nhật Bản :

Liên quan đến chủ đề “phép biến hình ”, chương trình ở trường phổ thông nhật bản có cấu trúc : bậc tiểu học ( lớp 1 đến lớp 6 )tập trung vào các

hoạt động hình học như gấp hình , vẽ hình , di chuyển hình , phóng đại hoặc thu nhỏ hình để có những biểu tượng ban đầu về phép dời hình và phép đồng dạng phép tịnh tiến phép đối xứng trục , phép đối xứng tâm , phép quay được giảng dạy ở lớp 8.

Liên bang Nga

Trong chương trình của trường phổ thông liên bang nga thì chủ đề phép biến hình chỉ được giảng dạy ở bậc tiểu học và THCS

B.Phân tích sách giáo khoa

Ở đây không quá chú trọng đến việc phân tích cách trình bày khái niệm phép tịnh tiến ở các Sgk ở phổ thông mà chủ yếu phân tích để thấy được góc độ thể hiện mối quan hệ giữa đại số và hình học thể hiện ở phần vẽ đồ thị hàm số và một số ứng dụng khác như : tìm giá trị (x,y)thoả mãn điều kiện cho trước

Ta hãy xem qua [M1] :

Thấy rằng bóng dáng của phép tịnh tiến xuất hiện trong chương 2, bài 3 , III trong phần 1công thức đổi trục toạ độ

Và được trình bày như sau :

Trong hệ trục toạ dộ Oxy , cho điểm I(x, y).lấy I làm gốc ,

ta dựng hệ trục toạ độ mới IXY sao cho IX song song cùng hướng

và cùng đơn vị với Ox , IY song song cùng hướng

và cùng đơn vị với Oy Gọi M là một điểm của mặt phẳng ,

điểm M có toạ độ (x;y)trong hệ trục toạ độ Oxy và có toạ độ (X;Y)

trong hệ trục toạ độ IXY

Ta hãy tìm mối liên hệ giữa các cặp toạ độ (x;y) và (X;Y) ta có :

OM=OI+IM Chiếu các vecto này lên trục Ox vàOy ta được

0

0







Công thức này được gọi là công thức đổi trục toạ độ

Như vậy ở đây tác giả đi lập công thức và chỉ ra đó là công thức đổi trục toạ

độ , không hề nhắc đến phép tinh tiến

Trong phần tiếp theo ;

Nhận dạng đồ thị (C) của hàm sốy ax 2bx c

tác giả đã vận dụng công thức đổi trục toạ độ :chuyển phương trình của đồ thị (C) trong hệ toạ độ Oxy thành Y aX2trong hệ toạ độ IXY Với :

;

b

I



 , công thức đổi trục là : 2

4

b

a

a











Tuy nhiên đó chỉ là bài tập dạng tổng quát , sang phần ví dụ ta thấy công thức đổi trục toạ độ không được nhắc đến , không được củng cố cho nên học sinh

sẽ không hiểu , mau chóng quên vì thấy rằng có biết đến cũng không dùng làm

gì cả ở đây ứng dụng của phép tịnh tiến không được sử dụng Xét rằng ứng dụng trong việc vẽ đồ thị hàm số là rất quan trọng , nó có tác động rất lớn đến

sự phát triển tư duy toán học cho học sinh

Theo [M2]:

Phép tịnh tiến được trình bày trong chương 3: các phép dời hình và phép đồng dạng , bài 3

Định nghĩa :

Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M một điểm M’ sao cho

( v là vecto cố định ) gọi là phép tịnh tiến theo vecto v.

Các tính chất của phép tịnh tiến :

Định lí :

Nếu phép tịnh biến hai điểm bất kì M , N thành 2 điểm M’, N’ thì MN = M’N’ Nói một cách khác phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách

x

Y

x 0

y

X

M Y

y

x

Từ định lí suy ra 2 hệ quả :

Hệ quả 1 : phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm thẳng hàng đó

Hệ quả 2:

Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

Biến một tia thành một tia

Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng

Biến một góc có số đo bằng nó

Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tròn bằng nó

Áp dụng ; giải 2 ví dụ

Bài tập : có 6 bài tập

Căn cứ vào nội dung trình bày ta thấy rằng phép tịnh tiến trong hình học được trình bày với nội dung không liên quan đến đại số , huống hồ là phần đồ thị Lí thuyết và bài tập đơn thuần hình học Điều này làm cho học sinh thấy giữa các phân môn không có quan hệ với nhau , đại số hoàn toàn độc lập với hình học Trong SGK hình học của ban cơ bản và nâng cao thì phép tịnh tiến không được

đề cập

Trong [M3] :

Trong mục 2 đồ thị trình bày :

Dưới đây ( xem bài đọc thêm ) ta sẽ thấy đồ thị hàm số y ax 2bx c chính là đường parabol sau một số phép “dịch chuyển “trên mặt phẳng toạ độ

Ở đây ta thấy cụm từ “ phép dịch chuyển ” thể hiện một phép biến đổi mà qua

nó một đồ thị mới được xây dựng từ đồ thị đã cho Ở đây học sinh mờ mờ khái niệm phép dịch chuyển , không hề biết nó như thế nào , tưởng là một phép biến đổi khác chứ khong nghĩ đó là phép tịnh tiến

Qua bài đọc thêm : Đường parabol nói rằng :

Trong bài 3 , ta đã khẳng định đồ thị hàm số bậc 2 y ax 2bx c là một đường parabol Dưới đây ta sẽ chứng tỏ điều đó và cho thấy đường parabol này được suy từ parabol Y aX2 như thế nào:

1 Đồ thị của hàm số : 2

o

y ax y

sau khi biến đổi công thức , đưa ra kết luận :

N

N’

M

M’

Đồ thị của hàm số 2

o

y ax y nhận được từ đồ thị của hàm số y ax 2nhờ phép tịnh tiến song song với trục tung y0 đơn vị , lên trên nếu y  o 0 , xuống dưới nếu y 0 0.

y  o 0

2 Đồ thị của hàm số y a x x   02:

đồ thị của hàm số y a x x   02 nhận được từ đồ thị của hàm số 2

y ax nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành x0 đơn vị , lên trên nếu x  o 0 , xuống dưới nếu x 0 0.

0

o

x 

3 Đồ thị của hàm số 2

y ax bx c :

Đồ thị của hàm số 2

y ax bx c nhận được từ đồ thị của hàm số 2

y ax

nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành

2

b

a đơn vị , về bên trái nếu

y

x

y

x